人教版初三数学上册二次函数中的平行四边形存在性问题两定两动型

1、二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）教学设计旬阳县城关一中 黄 涛目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。2 、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。过程：一、典型例题如图，抛物线经过 A（1，0），B（5，0），C（0， 52）三点（1）求抛物线的解析式；（2）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四点

2、构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由问题 1： 如何用待定系数法确定适当的解析式形式？抛物线上已知三点，可用一般式 y=ax 2+bx+c；因为在已知的三点中， A、B两点为抛物线与 x 轴交点，则可用交点式 y=a(x-x 1)(x-x 2) 。问题 2： 如何借助一定的方法通过画图的方式找到 M、N点？先确认已知点 A、C，连接 A C，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以 AC为边和以 AC 为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。问题 3： 通过怎样的方法和手段获取点 N的坐标？可利用以下四种方法或依据得出符合

3、条件点 N的坐标。依据对称性求点 N坐标利用三角形全等及数形结合思想求点 N坐标依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点 N坐标依据抛物线解析式设点 N坐标为（m，12m 22m52），利用数形结合思想借助 N点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点 N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。解：（1）解法 1： 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-5) （a0），将 C（0， 52）代入得：a(0+1)(0-5)=52解得：a=12二次函数的解析式为： y=1 (x+1)(x-5) 即 y=21 x222x52解法 2： 设抛物线的解析式为 y=ax2

4、+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，5- ）三点在抛物线上，2 ，解得 .抛物线的解析式为： y=12x 22x22x52(2) 解法 1：存在，理由如下：以 A C为边时，当 N点位于 x 轴下方时，若四边形 ACNM为平行四边形，则 C NAMN与 C纵坐标相等点 N与点 C关于抛物线对称轴直线 x=2 对称N（4， 52）当点 N在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2Dx 轴于点 D， 在AN2D与M2CO中，AN2D M2CO（ASA），N2D=OC=525，即 N2点的纵坐标为2.1252m2m=252，解得 x=2+ 或 x=2，N 2（2+ ，52）， N

5、 3（2，52）.当 AC为对角线时，根据 C NAM，过C点作 x轴平行线与抛物线交点和 N1 重合。5综上所述，符合条件的点 N的坐标为（ 4，2），（ 2+ ，52）或（ 2 ，52）.解法 2： 若四边形 ACNM为平行四边形，则C NAM，ACM N，N位于 x轴下方时A(-1 ，0) ,C （0， 52）向下平移52个单位，则M到 N也向下平移52，5N点纵坐标为2，横坐标可利用对称或解析式求解。5同理在 x轴上方时， N点的纵坐标为2，进而求解。解法 3： （N点位置 x轴上下同步求解）设N点坐标为（ m，125m ） 22m22m2C点纵坐标为525，根据平行四边形性质可知 N

6、点纵坐标的绝对值为21252m2m =252得方程：125m = 22m22m252或125m = 22m22m252解上述方程，舍去 x=0 后代入得点 N的坐标。【本题考点】二次函数综合题，待定系数法，抛物线对称轴与对称点的坐标关系，一元二次方程与二次函数关系，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质。数形结合及分类讨论等数学思想。二、变式训练变式 1：在（ 1）的条件下，点 M为x轴上一动点，在坐标平面中是否存在点 N，使以 A，C，M， N四点构成的四边形是以 AC为边的菱形？若存在，求点 N的坐标。方法指导： 1、注意条件： M在 x 轴上M在坐标平面内 AC为边的菱形 2922、依

7、据菱形的性质根据 AM=AC=，分别以 AM为边或对角线进行分类讨论，画出草图。3、依据菱形性质对边平行及四条边相等直接求得 N点坐标。4、小结符合条件的点 N坐标。解题过程略变式 2：将（1）中抛物线绕原点旋转 180 ，设旋转后的抛物线为 L，抛物线 L 与 x 轴正半轴交于点 P，与 y 轴交于点 Q，写出抛物线 L 的解析式，判断四边形 ACPQ 的形状并说明理由。方法指导： 1、注意条件：抛物线绕原点旋转 180 （即为关于原点对称）抛物线 L 与 x轴正半轴交于点 P与 y 轴交于点 Q 。2、在 a 值互为相反数的基础下，根据关于原点对称点坐标规律利用点 A、C坐标求出点 P、Q的坐标，或先求得原抛物线顶点坐标后依据对称求得抛物线 L 的顶点坐标，画出草图。3、利用 A、C、P、Q坐标求得 OA、OP、OC、O Q长度。证明对角线互相平分。4、根据对角线互相平分得出所得四边形为平行四边形， 再依据对角线互相垂直得出该四边形为菱形。解题过程略三、小结：1、已知两个点的位置，在二次函数的图象上或在平面坐标平面内找两个动点。使这四点构成平行四边形，简称 : 两定两动。 如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段