上海市2019届高三三模考试数学试题有答案

1、上海市 2019 届高三三模考试数学试题（有答案）第I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人 得分一、单选题1已知 ，下列四个条件中，使 成立的必要而不充分的条件是（ ）A B C D2设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S190，S200，S200，所以 ，且所以，所以，当 时，所以， 中最大项为 ，故选 C考点：等差数列3D【解析】【分析】结合题意逐一考查所给的选项是否正确即可 .【详解】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体 中：7对于说法：若取平面 为 ， ， 分别为 ， 分别为 ，满足 ，但是不满足 ，该说法错误；对于说法：若取平面 为 ， ， 分

2、别为 ， 分别为 ，满足 ，但是不满足 ，该说法错误；对于说法：若取平面 为 ， ， 分别为 ， 分别为 ，满足 与 相交，但是 与 异面，该说法错误；对于说法：若取平面 为 ， ， 分别为 ， 分别为 ，满足 与 平行，但是 与 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是 4.本题选择 D 选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键 .84C【解析】【分析】由题意结合向量投影的定义和函数的特征排除错误的选项

3、即可求得最终结果 .【详解】由题意可知，向量 为与 轴正半轴同向的单位向量，则当点 P 在 y 轴左侧，即 时，函数值为负值，据此可知选项 AB 错误；当点 P 位于线段 DC 上时，如图所示，由重心的性质可知 ，则点 为 的中点，据此有： ，其中 ，此时向量 在 方向的投影为 ，即 ，据此可排除 D 选项.本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的投影及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .5 -1【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可 .9【详解】由复数的运算法则有： ，则复数 的虚部为.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化

4、能力和计算求解能力 .6 -4【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可 .【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式 展开式的通项公式为：，令 可得： ，则展开式的常数项为： .【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式， 建立方程来确定指数 (求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 n r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等 )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解7【解析】【分析】

5、由题意结合题意和概率加法公式整理计算即可求得最终结果 .【详解】10由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率 ，甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率 ，据此可得取出的两球颜色不同的概率 .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式， 概率的加法公式等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .8【解析】【分析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可 .【详解】设双曲线方程为： ，双曲线过点 ，则： ，故双曲线方程为： ，即 .【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形， 再定量， 即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，

6、e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出 的值即可 .9【解析】【分析】11首先确定 所表示的平面区域， 然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果 .【详解】如图所示， 所表示的平面区域为图中的阴影区域，易知直线 与 的交点坐标为 ，不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点 位于直线 下方，据此有： ，即 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域的表示方法及其应用， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .10【解析】【分析】由题意分别确定圆锥的高和底面半径，然后求解其体

7、积即可 .【详解】由题意可知，圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，12则圆锥的体积： .【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .11【解析】【分析】由题意结合等比数列前 n 项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果 .【详解】很明显数列的公比 ，且 ，结合题意和等比数列前 n 项和公式有：，即： ，整理可得： ，据此有： ，则 .【点睛】本题主要考查等比数列前 n 项和公式， 极限的应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .12【解析】【分析】由题意结合空间几何体的几何特征首先求解 BC 的长度，然后确定 BD 的长度即可 .【详

8、解】由题意结合三视图可知 ，则 .【点睛】本题主要考查三视图及其应用， 空间几何体的结构特征， 学生的空间想象能力等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .1313【解析】【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果 .【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为： ，函数图象关于点 成中心对称，则： ，整理可得： ，则当 时， 有最小值 .【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换， 三角函数的对称中心及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .14【解析】【分析】由题意结合不等式的性质分类讨论 ，且 ，或 ，且 ，两种情况求解实数 m 的

9、取值范围即可 .【详解】由题意， ，且 ，或 ，且 ， ，且 ，或 ，且 ，14 ，或 ，n 为正整数，n=4 或 5，4? m? 5，故答案为： 4,5.【点睛】本题主要考查不等式的性质， 分类讨论的数学思想， 对数不等式的解法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .15【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形， 然后结合函数的单调性和角度的范围求得 的值， 然后求解三角函数值即可 .【详解】 ，(-2 )3-2 sin c-o2s=0，即(-2 )3+ sin(-2 )-2 =0.由 可得 .故-2 和 是方程 x3+sinx-2 =0 的两个实数解 .再由 ， ， ，所以

10、和 的范围都是 ，15由于函数 x3+sinx 在 上单调递增，故方程 x3+ sinx-2 =0 在 上只有一个解，所以， ， ，则 的值为 .【点睛】本题主要考查函数的单调性， 三角函数的性质及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .16【解析】【分析】首先确定梯形的几何特征，然后结合数量积的几何意义确定点 P 的范围，最后求解其面积即可.【详解】如图所示， ABE 中， , ， ， 分别为边 的中点，则梯形 即为满足题意的图形，以 为直径的圆 及其内部的点满足 ，则图中的阴影部分为满足题意的点 所在区域.其中 BFG 为边长为 1 的等边三角形，其面积 ，扇形 是半径为

11、1，圆心角为 120的扇形，其面积为 ，综上可得：点 所在区域的面积是 .16【点睛】本题主要考查平面几何知识， 三角形面积公式， 扇形面积公式等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .17 (1) ;(2) .【解析】【分析】（1）连结 ，易知 BD 为棱锥的高，结合棱锥的特征计算可得四棱锥的体积 .（2）解法一：取 中点 ，连结 、 ，由几何体的特征可知 为异面直线 与 所成的角，计算可得 ，即异面直线 与 所成的角的大小为 .解法二：如图以 为原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标可得 ， ， ， 则 ，异面直线 与 所成的角的大小为.17【详解】（1）连结 ， 平面 ， 平面

12、， ，为边长为 1 的菱形，且 ， ， ， ， ， ， .（2）解法一：取 中点 ，连结 、 ， 且 ， 为异面直线 与 所成的角，又 在 中， ， ，同时， ， 为等边三角形， ，即异面直线 与 所成的角的大小为 .解法二：如图以 为原点，建立空间直角坐标系，18其中 ，设 与 交于点 ，则 ， ，又 ， ，即 ， ， ， ，即异面直线 与 所成的角的大小为 .【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式， 异面直线所成的角的计算， 空间向量的应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .18 (1) 答案见解析 ;(2) ， .【解析】【分析】（1）由函数的特征可知 对应的函数为 ， 对应的

13、函数为 ，将不等式进行恒等变形可得 的取值范围是 ；（2）令 ，易知 ， 为函数 的零点，结合函数零点存在定理可得 ， .【详解】19（1） 对应的函数为 ， 对应的函数为 ，则 对任意 恒成立，所以 ；（2）令 ，则 ， 为函数 的零点，由于 ， ， ， ，则方程 的两个零点 ， ，因此整数 ， .【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别， 函数零点存在定理及其应用， 恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .19 (1) ;(2) .【解析】【分析】（1）由题意结合点 的坐标可得 ，则直线 的方程为 ；（2）设 ， ，联立直线方程与椭圆方程可得 ，结合韦达定

14、理和重心坐标公式可得 ， ，利用向量垂直的充分必要条件计算可得 .【详解】（1）因为 ： 经过 ，所以 ，得 ，又因为 ，所以 ，故直线 的方程为 ；（2）设 ， ，20由 ，消去 得 ，则由 ，知 ，且有 ， ，由于 ， ，可知 ， ，由题意可知 ， ，而 ，所以 ， ，满足 ，又因为 ，所以 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题20 (1) 见解析 ;(2) ;(3)2 分钟.【解析】【分析】（1）由题意结

15、合三角函数的性质可得： 当 时， ，当时， ；（2）结合(1) 中函数的解析式和三角函数的性质可得当 时， ；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点 被照到的时间为 分钟 .【详解】21（1）当 时， 在 上， 在 上 ，当 时， 、 都在 上， ；（2）当 时， ，由于 ，所以当 时， ；（3）在 “一个来回 ”中， 共转动了 ，其中点 被照到时， 共转动了 ，点 被照到的时间为 分钟.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用， 三角函数的性质， 三角函数最值的求解等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .21 (1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】（1）不等式等价于 ，据此分类讨论可得不等式的解集为 ；（2）由题意可得 ， ，则 ，同理分组求和