西电期末考试信与系统大总结所有

1、第一章引论连续时间信号离散时间信号时间区间瞬时功率能量平均功率周期信号线性判断方法：先线性运算，后经系统的结果 二先经系统，后线性运算的结果时不变性若 f (t)yf (t)，贝y f (tto)yf(tto)1I若 x(n) y(n),贝卩 x(n n) y(n n)1系统时不变性：1电路分析：兀件的参数值是否随时间而变化2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也冋样有时移。功率信号：o p 且E能量信号：0 E 且P备注：第二、三章连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析.普通信号普通信号f(t) Kest (),sj直流信号实指数信号时间常数： 卄虚

2、指数信号正弦信号复指数信号、冲激信号冲激信号A (t)A (t) 0t 0一般定义A (t)t 0泛函定义：A (t) (t)dt A (0)A (t)是偶函数A (t)dtA筛选特性特别：f(t) (t)f(t) (t)取样特性特别：f(t) (t)dt f(0)展缩特性1a证明：1.a 0 2.a 0 3.g(t) (at b)dtg(tV (t -)dtiab阶跃信号Au (t)t0处可以定义为0,*1(个别点数值差别不会导致能量的改变)性质td1. A ( )d Au(t)2. A ()衣Au(t)斜坡信号Ar(t)性质td1. Au(t)dt Ar(t)2. Au(t) pAr(t)

3、dt咼阶冲激信号(n)(t)冲激偶信号(t)说明：1.(t)量纲是s22.强度A的单位是Vs23. (t)是奇函数筛选特性证明：对f (t) (t to) f(to) (t to)两端微分取样特性证明：关键利用筛选特性展开展缩特性特别：a 1,b 0时(t)(t)(t)是奇函数备注：1尺度变换：(a n)(n)三.卷积连续时间信号离散时间信号卷积定义交换率分配率结合率奇异信号卷积特性单位样值信号卷积特性单位兀特性延时特性积分特性冲激偶卷积四.电路元件的运算模型元件名称电路符号时域电路符号频域电路符号复 域u : i关系运算模型运算模型运算模型电阻电容电感五连续时间系统时域分析系统的特征方程：D

4、( ) D(p)系统 建立微分方程建立算子方程：D(p)y(t) N(p)f(t)0连续时间系统传输算子H ( p)冲激响应h(t)七.系统的冲激响应和单位样值响应离散时间系统传输算子H(E)样值响应h(n)六.系统的特征方程连续时间系统零输入响应连续时间系统零输入响应条件yx(t)的表式y0(n)的表达式条件n个各不相同的实数k个各不相同的实数r个重根, n-1个单根q个重根1，k-q个单根i个成对的共轭复根系统含有共轭复根八.基本离散信号单位样值信号(n)单位阶跃序列u(n)斜变序列nu(n)矩形序列Gk(n)复指数序列指数序列虚指数序列九离散信号的性质周期性2当N2 k即N k为整数时，

5、sin n才是周期序列00为数子角频率单位：弧度0为模拟角频率单位：弧度/秒0 (,)序列的累加序列的差分一阶前向：x(n) x(n 1) x(n)一阶后向：x(n) x(n) x(n 1)序列的移位单位超前算子：Ekx( n) x(n k) 单位延迟算子：E kx(n) x(n k)十.信号的分解(9直流分量与交流分量奇分量与偶分量备注：无第四章.连续时间信号与系统频域分析一. 周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：傅里叶变换：H(j ) e j h( )d点测法：y(t) ej H(j )2. 傅里叶级数和傅里叶变换在时域内周期信号分解傅里叶级数在频域内非周期信号

6、分解傅里叶变换周期信号分解傅里叶变换3. 荻里赫勒(Dirichlet )条件(只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开)to TCD f(t)绝对可积，即f (t)dttof(t)的极大值和极小值的数目应有限C f(t)如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数信号集的正父性三角形式指数形式5波形对称性与谐波特性的关系对称性傅里叶级数中所含分量余弦分量系数an正弦分量系数bn偶函数f(t) f( t)只有余弦项，可能含直流奇函数f(t) f ( t)只有正弦项半波像对称(奇谐函数)只有偶次谐波，可能含直流半周期重叠(偶谐函数f(t) f(t t2)只有奇次谐

7、波6.周期矩形脉冲信号i2T内瓣内含1条谱线7.线性时不变系统对周期信号的响应般周期信号：f(t)Fnejnn系统的输出：y(t)FnH( jn t)ejn tn二.非周期信号的傅里叶变换(备注)备注序号说明内容证明：fl(t)12R( )ej tdf2( )e j d ej td求 sgn(t)解：1由 e tu(t) j1(0)e tu(t)e tu( t)12jjj2 2证明：f (t)12F( )ej td替换f(t) 21F( )e j d2f( )F(t)e j tdt证明：f(tto)f (t to)e jtdtf ( )e j ( to)d(令t to)d n1R(t) (Jd

8、t)nF()d12.证明：dtf(t)21-F( )ddtejtdj F( )eJ tdj F()用法：信号可以分解成两个信号，其中之一的频谱是冲激或冲激串使用1.注意：要避免出现1()()及.j()等不确定的的乘积关系，如求u(t)u(t)不能用卷积定理，可先求出u(t) u(t)tu(t)，再用频域微分特性。t2.证明：f( )df(t) u(t)而 u(t)()1 j则tf( )df(t) u(t)F()1F()().，F(0)()jj备注二. 非周期信号的傅里叶变换1连续傅里叶变换性质连续傅里叶变换性质及其对偶关系傅氏变换：F( )f (t)e j tdt傅氏反变换：f(t) 2F (

9、 )eJ td连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对名称连续时间函f (t)傅里叶变换F() 备注名称连续时间函数f (t)傅里叶变换F()备注唯一性线性尺度比例变换对 称 性时移频移时域微分性质频域微分性质时域积分性质频域积分性质时域卷积性质频域卷积性质对 称 性奇偶虚实性质f (t)是实函数希尔伯特变换时域抽样频域抽样帕什瓦尔公式2 1 2 2f(t)| dt|F( ) dF( )| :能量谱密度、能量谱中心纵坐标F(0)f (t)dt(条件：lim f(t) 0)f (0)于 F( )d(条件：lim F( ) 0)2.常用傅里叶变换对常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系连续傅里叶变换对

10、相对偶的连续傅里叶变换对重要连续时间函数f (t)傅里叶变换F()连续时间函数f (t)傅里叶变换F()重要V11VVVVVVVVVVVVVV1输入信号f(t)与输出信号yf (t)的关系! 时域：yf(t) kf(t td)! 频域：Yf( ) ke j tdF()2.无失真传输系统函数H():I无失真传输满足的两个条件：iI幅频特性：H( ) k( k为非零常数)i|在整个频率范围内为非零常数|相频特性：()td ( td 0 ):I在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直I线3信号的滤波:通过系统后 产生“预定”失真 改变一个信号所含频率分量大小 全部滤除某些频率分量4. 理想低通

11、滤波器不存在理由：单位冲击响应信号(t)是在t 0时刻加入滤波器的，而输出在t 0时刻就有了，违反了因果律5. 连续时间系统实现的准则时域特性：频域特性：佩利-维纳准则(必要条件)：h(t) h(t)u(t)(因果条件)H( )1 2dH( )2四.无失真传输五.滤波滤波器名称理想频率响应理想相幅特性实际电路图实际频率特性低通滤波器高通滤波器带通滤波器备注1低通滤波器的通频带(截至频率)：H( )21的频频谱范围三.抽样与抽样恢复抽样名称信号抽样时频表示时域抽样定理:冲激串抽样时域：fs(t)f (t) T(t) f(t) (t nT)n= f (nT) (t nT)n为了使抽样信号fs(t)

12、能恢复信号f(t),必须满足来那两个条件：1. f (t)是带限信号，带宽为m (或fm )2. 抽样频率s 2 m或者抽样间隔Ts2fm脉冲串抽样时域：fs(t)f(t)PT(t)1频域：Fs( ) FTf(t) FTPT(t)2时域抽样疋理T丨恢复系统单位冲激响应：恢复：fs(t) h(t) f(nT) (t nT) Sa(！n|系统条件频域抽样疋理频域：Fs( ) F( )( ) F( )( n )n12时域：fs(t) FT 不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换Fs( ) h(t) FT 1( n )f(t n )nn第五章.离散时间信号与时域分析.离散傅里叶级数(DFT) 1信号e

13、j on基本特征信号ej周期性:gj o(n N)on20 m时有理数时具有周期性基波周期:基波频率:0不冋，信号不冋频率相差2 ，信号相冋对于任何0值，都是周期的2 m仅当2Nm时，才有周期性(N 0),m,均为整数)基波频率：0基波信号Jm00 无定义基波周期：20 0 000 无定义基波信号：20 om()02 m()02信号ej *与ej on之间的差别系数与IDFS变换对4.离散傅里叶级数的性质线性若 %(n) %(n) %(n)，则 X 3(k) X,k) X 2(k)移位时间移位若%n)垐D垎？ X(k)，则n m)噲DI? WNkn X(k)频域移位若n)垐DW? X(k)，则

14、 WNqn%n)垐D垎？ X(k q)周期时域移位N 1ooo若 %(n)%(m)%(n m)，则 X 3(k) X 1(k) X 2(k)m 0OOXi(l)X2(kol)卷积频域移位 若(门)(n)%(n),则X 3(k)N二.离散时间傅里叶变换 DTFT1. 离散时间傅里叶变换DTFT非周期信号：x(n)x(n) n0NiNix(n)离散时间傅里叶变换X()121N n2 X( )ej nd应用条件： |x(n)nx(n)e j n周期信号:2.离散时间傅里叶变换性质周期性总是周期的，周期是2 。线性若(n)X , ), %(n) X 2()则a%(n) b%(n) a X 1( ) b

15、 X 2()对称性移位时移若x(n)? X()则 x(n n)? e j 0nX()频移若 x(n)? X()则 ej 0nx(n)? X()差分求和时间尺度若 x(n)? X()则 x( n)? X()频域微分帕塞瓦尔定理|x(n)| 丄 |X( ) dX()：能量谱密度n1 原因：信号衰减太慢或不衰减(为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与 f (t)相乘)21212序列一个周期的能量：一x(n)akN n Nn N卷积性质若 y(n) x(n) h(n)则丫()X( )H ()备注连续信号离散信号第六章.连续时间信号与时域系统分析.拉氏变换定乂2.拉氏变换的导出令sj贝心象函数：F(s)

16、 LTf(t)f(t)est1原函数：f(t) LT 1F(s)2 j jdtF (s)estds3拉氏变换的收敛域F(s)存在的条件： f(t)estptlim f (t)e t 0 (充分条件)信号特点收敛域特点有始有终，能量有限坐标轴落于，全部s平面都属于收敛区幅度即不增长也不衰减而等于稳定 值，或随时间t,tn成比例增长的信号收敛坐标落于原点，s平面右半平面属于收敛区按指数规律增长的信号et，只有当时才收敛，所以收敛坐标为0右边信号收敛域在收敛轴以右的s平面，即左边信号收敛域在收敛轴以左的s平面，即双边信号收敛域为s平面的带状区域，即.拉氏反变换部分分式展开法留数法1s p)i阶级点的

17、留数ResF(s)est(s Pi)F(s) estspi2s F是k阶极点ResF(s)est1 dk 1r( uc、匚/ast 1/i八i , k 1 (s pi ) F (s) e s Pi(k 1)! ds、亠注意：留数法中的F(s)应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。三. 拉氏变换的性质1拉氏变换的性质连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系拉氏变换：F(s)f (t)e tdt1jst傅氏反变换：f(t) 才了)F(s)e ds连续拉普拉斯变换对相对偶的连续拉普拉斯变换对名称连续时间函数f (t)拉氏变换F(s)备注名称连续时间函数f (t)拉氏变换F (s)备注线性 JL

18、BBB J.J B B ilJ. H d A B J L收敛域1,21 U B a J. * BBBa亠 11 B H A Ji J收敛域为函数收敛域重叠部分尺度比例变换收敛域：cr rn im vravr m !收敛域：a c,a 0时移复频移 收敛域：cL -收敛域：c收敛域：c收敛域：0c时域微分性质s域微分性质时域积分性质其中f ( 1)(00)f(t)dts域积分性质时域卷积性质s域卷积性质初值定理终值定理2.拉氏变换的性质备注备注序号备注内容彳s1. 既有时移又有尺度变换：f (at t)u(at t) F()ea ,ca a既有时移又有复频移：e(tt0)f(t t)u(t t)

19、e s0tF(s和2. 证明：LTe s0(t t0)f(t t0)u(t t0)e s(t t0)f (t t0)e stdt令：x tt,dxdt贝y：LTes?(tt0)f(tt0)u(tt0)es0x f (x)esxest0dtest0f (x)e(ss)xdtestF(ss0)0 0注意：时移特性只适于求f(tt)u(tt)的拉式变换i;i:i右边信号可与作f(t)f(tnT)u(tnT),其中f(t) u(t) u(t t):n 0“ lim f(t)e t 0 收敛条件：l|imf(t)et 01. ( t)nf(t)興dspl2. 证明：QF(s) 0 f(t)estdt Q

20、F(s) 0 f (t)e stdt 0 f (t)匸e stdt 0 tf(t)estdt LT tf(t)000ds0t0tt0t证明：Qf (x)dxf (x)dx o f (x)dxLT f (x)dx LT f (x)dx LT f (x)dx、宀t1t t!tn 11注意：LT 0f(x)dx?F(s)。0 f (x)dxdtn 1dt1孑 F(s)1. 注意1F(s)必须是真分式，如果不是要利用长除法变成真分式项F0(s)，再利用初值定理。2初值定理是f(x)在t 0时刻的值。C T 口口L/、/C、df (t) st 亠0 df(t) st 亠df (t) st 亠2. 证明：

21、sF(s) f(0 )e dte dte dt0 dt0 dt0 dtQ 在区间(0 ,0 ),t 0, e stt0 1令s，则 f(0 ) limsF(s)s1. 终值定理存在条件：F(s)的极点全部落在左半s平面或在s 0处只有一阶级点。2. 证明：sF(s) f(0 )令s 00 dt贝S limsF(s) f(0 ) lime stdt f( ) f(0 )f( ) lim sF(s)s 0s 00dts 0则拉氏变换在2区域上存在。3.双边拉氏变换12相同的双边拉式变换式，当取不同的收敛域时，其 f(t)是各异的IT a ! !(! 9T -T E ! FB F - I2. 双边拉

22、式变换的求法对上进行双边拉氏变换3. 双边拉氏反变换1j留数法 f(t) F(s)estds 2 j j注意：F(s)应该是真分数对 的右边FB(s)est极点的留数,t 0对的右边Fb(s)es极点的留数,t 04. 双边拉氏变换对与双边Z变换对双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系双边拉氏变换对双边Z变换对重要连续时间函数f (t)像函数F(s)和收敛域离散时间序列fn像函数F (z)和收敛域重要V1,整个s平面1,整个Z平面Vsk，有限s平面(1 z1)k, | Z 0V1/s, Res 01(1 z1) , | Z 1VV1/s2 , Res 01(1 z1)2,iz 1Vtu( t)

23、, Res 01(1 z1),z 11/s2, Res 01(1 z1)2,iz 11-,Res 0 s1(1 z1)k,iz 1V1-,Res Re( a) s a1(1 az1),z aVV1-,Re s Re( a) (s a)1(1 az1)2,iz ia1-,Re s Re( a) (s a)1(1 az1)k,iz ia1,Re s Re( a) s a1(1 az1),z忖Vs-7, Res 0s 0VV20 2，Res 0s0VVs22 , Re s a(s a)0V202 , Resa(s a)0e atl, Rea 02a22 , Rea Res Re as a|n|.a

24、, a 11 1(a a )z1 1 1 ,(1 az )(1 a z )a z 1ae atlsgn(t), Rea 02s22 , Rea Res Re as aJsgnn, |a 12,1 11?(1 az )(1 a z )a 1 z |1a5. 复频域分析1拉氏变换及求解微分方程的三步法：2电路系统的分析1.对微分方程逐项取拉式变换，利用微分性质，待遇初始值。1基尔霍夫定律：对任意节点，在任意时刻流入流出节点2.对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数电流的代数和恒为零3.对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的是与表达式2.电源6.拉氏变换和傅氏变换的关系2.单边拉氏变换和傅

25、氏变换的关系c 0时,傅氏变换不存在，F ()和F (s)不能互换c 0时,F( ) F(s)sjc 0时,拉氏和傅氏变换均存在，但拉氏变换中有冲激函数和各阶导数项F(s)在j轴上有单值极点F(s)鵲Fa(s)N K亠Fa(s)为极点在左半平面的部分分式和i 1 s j i总结：任何有傅氏函数变换的有始信号，必然存在拉氏变换存在拉氏变换的任何有时信号，不一定有傅氏变换第七章.Z变换 Z变换的定义.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系2. Z变换与拉氏变换的关系3.Z平面与s平面的映射关系 s平面的原点0r 10 影射Z平面1,即Z 1的点2)不同取值的z: s平面影射关系s平面r一1j-k r J

26、r 1为常数：L左半平面虚轴I右半平面i从左向右移1 ;z平面BI:; :! r为常数：0单位圆内jhsaaaaa bs m saaaj单位圆上i单位圆外baj ebbs bLEiajad lbIi半径扩大L a d E S d.G!aS IBJ lid BBBBJ fi E ii IBM Ed LBBB时域序列和z变换收敛域的对应关系 s平面0 ,实轴 z平面0 ,正实轴 z : s影射不是单值的2H( z)ze H(ej)其中 T2ss 傅氏变换、拉氏变换和z变换的关系时域序列z变换收敛域iLi不包括z 0，但包括ja”I包括z 0，但包括i不包括z 0和z1b n HB!%!J三.Z反变

27、换围线积分与极点留数法x(n)1 ? X(z)zn 1dz 围线c是在X (z)的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线2 jcz0是一阶极点:ResX(z) zn 1X(z) zn 1(z zo)z zoz0是s阶极点:ResX(z) zn 11 ds 1(s 1)! dzsiX心讷z z1n 0 时，x(n)21j?cX(P)Pn 1dp四. 由零极点图确定傅氏变换的几何求值法M1时，即z ej时”令ej:着(z qr)X(z)肯 当 |z(z zk)k 1M(ejqr)X(ej )=|x(ej(ejzJk 1MA于是|x(ej )|唏 ()Bk、亠、 注意：1在z 0处加入或除去

28、零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。2当ej点旋转到某极点乙附近时，如果矢量长度B变短，则频率特性在该点处可能出现峰值。若极点 zi愈靠近单位圆，Bi愈短，则频率特性在峰值附近愈尖锐，如果落在单位圆上，则频率特性的峰值 趋近于无穷大k 1五.Z变换性质Z变换性质及其对偶关系Z变换：X(z)nx(n)z n傅氏反变换：x(n)1J ?/(z)zn2 jc1dzz变换对相对偶的z变换对名称离散时间函数x(n)z变换F(z)备注名称1离散时间函数z变换F(z)1备注线性m Z收敛域5|z2I ry2收敛域r1|z2尺度比例变换 IJ.L JLIB J J.收敛域：rxxlz rx收敛域：

29、rx1 -亠U4LWz rxaZ域尺度变换时移Z频移收敛域：rxxlz rx2收敛域：&zrx2收敛域：rx1 z rx2收敛域：rx1|z rx2时域微分性质IZ域微分性质时域卷积性质Z域卷积性质初值定理若x(n)是因果序列，贝y终值定理若x(n)是因果序列，且其z变换除在z 1处有 一阶极点外其它极点都在单位圆iz 1以内，则Z变换性质备注备注序号备注内容注意：只有Z变换有零、极点被抵消，收敛域一定扩大单边时移：若x(n)u(n) Z X(z)i m 1则x(n m)u(n) Z zmX(z)x(k)z kk 0六. 系统函数H(z)的应用系统特征H (z)的收敛域b1因果的收敛域位于最外

30、面极点的外边i稳定的1收敛域一定包括单位圆ii2.系统的因果性、稳定性因果、稳定的全部极点位于单位圆以内1根据系统函数H (z)零、极点分布情况，可分析单位样值响应 h(n)的变化规律亠li j.Eaaali aa j j l lhlbbb j Maujiaalgbb j !.! j极点位置h(n)的特点|单位圆上等幅|0 时，z 1|单位圆内减幅单位圆外增幅K 亠 ia l a u i.j iib a j ; abg l a u i j a j=e I无限冲激响应IIR 有限冲激响应FIR第八章.系统函数与状态变量分析七. 数字滤波器按单位样值响应h(n)的时间特性分类一. 零极点和系统稳定

31、性、因果性1. H(s)、H(z)收敛域及系统特点H的特点H (s)的特点极点收敛域内无H (s)的任何极点收敛域内无H (z)的任何极点收敛域收敛域是一些平行于虚轴的带状区域， 该区域以极点为限收敛域是在Z平面内以原点为中心的圆环，该圆环以极点为限因果系统H(s)的收敛域在S平面内最右边极点的右半开平面H(z)的收敛域在Z平面内的最外面极点的 外边稳定系统H (s)的收敛域包含虚轴H (z)的收敛域包含单位圆因果稳定系统H (s)的极点全部位于S平面的左半面H (z)的极点全部位于单位圆内、卜 、八注意:极点确定了 h(t)的时域波形，对h(t)的幅度和相位也有影响零点只影响h(t)的幅度和相位，对h(t)的时域波形无影响2. 系统稳定性定义:t , Mf为有限常数；则输出y(t)|My,t , M f为有限常数一个线性时不变系统，若它的单位冲激响应是绝对可积的，则系统一定是稳定的。3. 劳斯一霍尔维茨稳定性判据an 1San0系统特征方程为a0sn assn 1 a2sn 2ii当阵列的第一列的元素符号变化相同(同为正或同为负)，则特征方程的全部根位于左半平面，系统稳定。|2当阵列的第一列元素A出现零值 |用一个无穷小量代替零i辺把特征方程中的s换成s二. 信号流图Mason