人教A版必修一2.1.2指数函数及其性质(3)学案练习(教师版)

1、登陆 21 世纪教育 助您教考全无忧课题： 2.1.2 指数函数及其性质（ 3）精讲部分学习目标展示（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质（ 2）掌握指数型复合函数的单调性；（3）会解决有关指数函数的综合问题衔接性知识1. 判断函数2x 1f (x) 2 与2x 1g( x) 2 的单调性并用定义加以证明2. 判断函数12 x 1f (x) ( ) 与212 x 1g( x) ( ) 的单调性并用定义加以证明23.由来 1 与 2 的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？基础知识工具箱函数y a a ，且 a 1) 的单调性结论 f ( x) ( 0f ( x) ( 0当 a 1时 y af (

2、x ) 的单调性与 y f (x)相同当 0 a 1时 y af ( x ) 的单调性与 y f (x)相反典例精讲剖析例 1. 已知函数x 1f (x) a (x 0) 的图象经过点1(2 , )2，其中 a 0 且 a 1.(1)求 a的值；(2)求函数 y f ( x) (x 0) 的值域分析 由函数 f (x) 的图象经过点1(2 , )2知，1f (2) 可求得 a的值， 由 f (x) 的单调性2可求 f (x) 的值域解析 (1) 函数图象过点1(2 , )2，2 1 1a ，则2 1a . 2(2)1x 1f (x) ( ) (x 0) ，设 u x 1，则 x 0，得 u 1

3、21uy ( ) 是u 的减函数，且 u 1，所以21 1u0 ( ) ( ) 2 21，即 0 y 2所以函数 y f (x) (x 0) 的值域为 (0 , 2 21 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第 1 页 （共 10 页） 版权所有 21世纪教育网登陆 21 世纪教育 助您教考全无忧例 2.（1）求函数12 2x xy ( ) 的单调区间（ 2）求函数2x x 2 22 2y 2 的单调区间（3）已知 a 0，且 a 1，讨论函数x x 2 22 2y a 的单调性解：（1）10 1，212x 2xy ( ) 的单调性与22 2y x x 相反而2 2 ( 1)

4、2 1y x x x ，2 2y x x在1, ) 单调递增，在 ( ,1 单调递减所以1x x2 2y ( ) 在1, ) 单调递减，在 ( ,1 单调递增2故1x x2 2y ( ) 的递增区间为 ( ,1 ，递增区间为 1, )2（2） 2 1，2 2x xy 2 的单调性与2 2y x x 相同而2 2 ( 1)2 1y x x x ，2 2y x x在1, ) 单调递增，在 ( ,1 单调递减所以12 2x xy ( ) 在1, ) 单调递增，在 ( ,1 单调递减2故1x x2 2y ( ) 的递增区间为 1, ) ，递增区间为 ( ,12（3）2 2 ( 1)2 1y x x x

5、 ，2 2y x x在1, ) 单调递增，在 ( ,1 单调递减当 a 1时，x x 2 22 2y a 在1, ) 单调递增，在 ( ,1 单调递减；当 0 a 1时，2 2x xy a 在1, ) 单调递减，在 ( ,1 单调递增；例 3. 若函数f (x)xa x 1是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为 ( )(4 2a) x 1 x 1A(1，) B(1,8) C(4,8) D4,8)x分析 f (x) 在 R 上是增函数， 故在(，1上和 (1，)上都单调增， 即 y a (x 1)和y (4 2a)x 1 ( x 1) 都是增函数，且在 (， 1上的最大值不大于在(1， )

6、上的最小值 21 教育网x解析 因为 f(x)在 R 上是增函数， 故在(，1上和(1，)上都单调增， 即 y a (x 1)和 y (4 2a) x 1 ( x 1) 都是增函数，且在 (， 1上的最大值不大于 在(1， )上的最小值故结合图象知 2121 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第 2 页 （共 10 页） 版权所有 21世纪教育网登陆 21 世纪教育 助您教考全无忧a 1a 1a4 0 a 82a 4a4 2 a2，解得 4 a 8，故选 D.例 4. 已知函数xa 1f (x) (a 1)xa 1（1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（2）

7、求 f (x) 的值域；（3）证明 f (x) 在( ， ) 上是增函数解：(1) f (x) 的定义域为 R11x x xa 1 a 1 a a 1xf ( x) f (x)x 1 x xa a a1 1 1 1xa，所以 f (x) 是奇函数；(2)由已知，得x xa 1 (a 1) 2 2f (x) 1x x xa 1 a 1 a 1x xa 0 ， a 1 1，10 1，xa 222 0xa 1，21 1 1xa 1所以 f (x) 的值域为 ( 1,1)(3)设 x1 x2，则 x xa 1 1 a2 1f (x ) f (x ) =1 2 xxa 1 1 2a 1(ax11)(xa

8、2(ax1x1)(a1x1)( a21)( a1)x21) a 1，x x ，1 2x xa a . 又1 2xa 1 1 0 ，xa 2 1 0 ，f (x ) f ( x ) 0 ，即 f ( x1) f (x2 ) .1 2函数 f (x) 在 ( ， ) 上是增函数21 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第 3 页 （共 10 页） 版权所有 21世纪教育网登陆21 世纪教育 助您教考全无忧精练部分A类试题（普通班用）1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）1x x2 1y ( ) 在 ( , 0) 上为减函数； y 2 在 (0 , ) 上为增函数；21

9、2xy ( ) 在3(0 , ) 上为增函数；3 xy 2 在 R 上是增函数A 1 B2 C3 D4、答案 B解析 1 x 2 1x2 1y ( ) 与22 1y x 的单调性相反，所以1 x 2 1x2 1y ( ) 在 ( , 0) 上为增函数，2x x 错误； 2y 与 y x 的单调性相同， 所以 y 2 在 (0 , ) 上为增函数， 正确；1 x2y ( ) 与3y1x的单调性相反，所以在12y x 在 (0 , ) 上为增函数，正确；( )33 xy 2 与 y 3 x的单调性相同，所以3 xy 2 在 R 上是减函数，错误。选B2. 当 a 1时，函数f (x) 1xa21是

10、( )A 奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数答案 Ax解析 由 a 1 0 得 x 0，此函数定义域为( , 0) (0 , ) ，又f ( x) 1x2 a 1x xa 1 a 1，x x x x a 1 (a 1) a 1 af ( x) f (x)x x x xa 1 (a 1) a 1 a y f ( x) )为奇函数3列函数中，值域为R 的是 ( )A 1y 4 x B311 2xy ( ) C41x xy ( ) 1 D y 1 4 4答案 B解析 1y 的值域为 y|y0 且 y1 ，43 x1xy ( ) 1的值域为 y|y 0 ，421 世纪教育网 www.21

11、cnjy. com 精品资料 第 4页（共 10页） 版权所有 21世纪教育网登陆21 世纪教育 助您教考全无忧xy 1 4 的值域为 y|0 y0 且 y1 ，1xy ( ) 1的值域为 y|y 0 ，4xy 1 4 的值域为 y|0 y1 ，故选B.4函数2|1 x|y ( ) 的单调递减区间是 _；单调递增区间是 _3答案 1， )解析 法 1：y2x 1( ) (x 1)2 3|1 x|( )3 21 x( ) (x 1) 3，因此它的减区间为1, ) 法 2：2|1 x|y ( ) 与 y |1 x | 的单调性相反，由 y |1 x | 的图象可知， y |1 x | 在31, )

12、递减，在 ( ,1递增，所以因此它的减区间为 1, )5若2x 1f (5 ) x 2 ,则f (125)答案 0解析 令 2x 1 3 ，得 x 2，将其代入2x 1f (5 ) x 2，得 f (125) 06设函数f (x)x x2 1 ( 0)x (x 0)，若f (x ) 1，则x0 的取值范围是0A (1,1) B(1， ) C(， 2)(0， ) D(， 1) (1， )答案 D解析 当 x0 0时，xf (x ) 2 0 1 1，0x2 0 2，x0 1， x0 1当x0 0时， f (x0 ) x0 1， x0 121 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第

13、 7页（共 10页） 版权所有 21世纪教育网登陆 21 世纪教育 助您教考全无忧所以，x0 1或 x0 1，即 x0 的取值范围是 ( , 1) (1, )7对于函数1x x2 6 17y ( ) ，(1)求函数的定义域、值域； (2)确定函数的单调性2解析 (1) 设2 6 17u x x ，函数1uy ( ) 及22 6 17u x x 的定义域是 R，函数2 6 17u x x 的定义域是 R.2 6 17 ( 3)2 8 8u x x x ，1 1 1u 8( ) ( )2 2 256，又1u( ) 0 2，函数的值域为 1(0 , 256(2)函数2 6 17u x x 在3 ,

14、) 上是增函数，在 ( , 3 上是减函数 10 1 2，所以1x x2 6 17y ( ) 的单调性与22 6 17u x x 相反所以12 6 17x xy ( ) 在3， )上是减函数，在（， 3上是增函数28已知函数12 4 3ax xf ( x) ( ) . 3(1)若 a 1，求 f (x) 的单调区间； (2)若 f (x) 有最大值 3，求 a的值解析 （1）当 a 1，则12 4 3x xf (x) ( )3由 10 1 3，得12 4 3x xf (x) ( ) 的单调性与32 4 3y x x 的单调性相反而2 4 3 ( 2)2 1y x x x2 4 3y x x 在

15、2 , ) 上递增，在 ( , 2 上递减所以12 4 3x xf ( x) ( ) 在( , 2 上递增，在 2 , ) 上递减3从而 f (x) 的单调递增区间为 ( , 2 ，单调递减区间为 2 , )（2）设2h(x) ax 4x 3，则 1f (x) ( ) 3h( x)若 f (x) 有最大值 3，则 h(x) 的最小值为 1 ，21 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第 8 页 （共 10 页） 版权所有 21世纪教育网登陆21 世纪教育 助您教考全无忧a 0从而有12a 164a1， 解得 a 19设a 0， f (x)x2aax2是 R 上的偶函数(1)求

16、 a的值； (2)证明 f (x) 在 (0 , ) 上是增函数； (3) 解方程 f ( x) 2 .解析 （1） f (x)是偶函数， f ( x) f (x) 恒成立，即x x2 a 2 ax xa 2 a 2，整理得2 2 x( 1)(2 1) 0a对于任意的实数 x恒成立，所以2 1 0a ，又 a 0，所以 a 1（2）由（ 1）知xf ( x) 21x2任取x1 , x2 (0, ) ，且 x1 x2 ，x x1 1 (2 2 2 1 ) x x x xf ( x ) f ( x ) 2 2 (2 2 )1 2 1 21 2 x x x x2 2 2 21 2 1 2x x x

17、x x x1 (2 1 2 2 ) (2 1 2 2 1)(2 2 ) 1 1 2x x x x2 2 2 21 2 1 2x1 , x2 (0 , ) ，且x x ，1 2x x1 2 21 2，x x2 1 2 2 1，x x2 2 01 2f ( x ) f (x ) 0即1 2f (x ) f (x )1 2所以 f (x) 在 (0 , ) 上是增函数（3）由 f ( x) 2 ，得x12 2x ，2x 2 x(2 ) 2 2 1 0，x 2(2 1) 0所以 2x 1，即 x 0 ，方程 f (x) 2 的根为x 0x10已知函数 f (x) b a （其中 a，b为常量， a 0 ，且 a 1）的图象经过点 A(1, 6) ，B(3 , 24) (1)求 f (x) ；(2)若不等式1 1x x m( ) ( ) 0a b在 x ( ，1时恒成立，求实数m的取值范围21 世纪教育网版权所有x解析 （1）将 A(1, 6) ， B(3 , 24) 代入 f (x) b a ，得ab3a b624，而已知 a 0 ，且 a 1，解得ab2x ，所以 f (x) 3 2321 世纪教育网 www.21cnjy. com 精品资料 第 9页（共 10页） 版权所