《概率论课件第三章》PPT课件.ppt

1、1,第三章,随机变量的数字特征,2,2.1 数学期望,引例,3.1.1 数学期望的定义,某射击运动员射击结果如下,10 10 9 9 9 8 8 8 8 8,则他的平均命中的环数为,3,若用X 表示他射击时命中的环数，则X 是一个随机变量，其分布律可表示为,上面的 可理解为以概率为权数的“加权”平均值,我们称之为随机变量的“数学期望”或“均值,4,定义1 离散型随机变量的数学期望,5,关于定义的几点说明,3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同,1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也

2、称 均值,2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变,6,试问哪个射手技术较好,例1 谁的技术比较好,甲射手,乙射手,7,故乙射手的技术比较好,解,8,例2 泊松分布,则有,9,例3 袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出第一个合格品之前已取出的废品数为随机变量X ,求E(X,X 的可能取值为0，1，2，3. 为求X 的分布律，先求取前面这些可能值的概率，易知,解,10,于是，得到 X 的分布律为,则有,

3、11,连续型随机变量数学期望的定义,定义2,数学期望简称期望，又称为均值,12,例4 均匀分布,则,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点,13,例5 指数分布,则,某电子元件的寿命X 服从参数为 的指数分布(单位：小时),求这类电子元件的平均寿命,由已知,X 的分布密度为,解,14,即这类电子元件的平均寿命为1000小时,由 得,指数分布是常用的“寿命分布”之一，由上述计算可知，若一个电子元件的寿命服从参数为 的指数分布，则它的平均寿命为,15,解,例6 设 (X ,Y ) 的联合分布律为,16,事实上，我们不需要先求关于X 和Y 的边缘分布律，可以直接由的联合分布律求X 和Y 的数学期望,

4、17,1o当二维离散型随机变量(X,Y )的联合分布律为 时,2o当二维连续型随机变量(X,Y )的概率函数为 时,18,例7 设二维连续型随机变量(X,Y )的联合密度为,求 和,解,19,问题的提出,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢,3.1.2 随机变量函数的数学期望,20,如何计算随机变量函数的数学期望,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(

5、X)的分布，一般是比较复杂的,21,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢,下面的基本公式指出，答案是肯定的,类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式,22,定理1: 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)= pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为 f(x,推广到两个以上r.v的基本公式，见教材,23,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便,24,例8 设随机变量X 的分布律为,解:利用定理1计算得,同理,25,例9 设随机变量X

6、的分布密度为,求:(1) ;(2) 的数学期望,解:(1,2,26,例11 设(X,Y )服从以点 为顶点的三角形区域 A上的均匀分布,试求函数 的数学期望,解 三角形区域 A 如图3-1, 易知 A 的面积为1，故,27,于是,28,1. 设C 为常数, 则有,证,2. 设 X 是一个随机变量，k,b 是常数, 则有,3.1.3 数学期望的性质,证 设X 的分布密度为 ，则,29,3. 设 X、Y 是任意两个随机变量，则,证 设 的联合密度函数为 ,边缘概率密度分别为 和 ,则,30,4. 设 X、Y 是相互独立的随机变量, 则有,推广,推广 若 为相互独立的随机变量，则有,31,例12 设

7、随机变量 的分布密度分别为,1)求,2)若设 相互独立，求,解 (1,32,2,33,3)由 相互独立，易得,小 结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值,34,2.数学期望的性质,35,常见离散型随机变量的数学期望,36,常见连续型随机变量的数学期望,37,3.2方 差,一、方差的定义,38,方差是一个非负值，常用来体现随机变量X取值的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取值越分散, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好,说 明,39,由

8、方差的定义，我们不难发现方差实际上就是随机变量的函数 的数学期望，于是,离散型随机变量X 的方差,连续型随机变量X 的方差,其中 为X 的分布密度,40,证明,利用数学期望的性质，可得到计算方差的一个简便公式,41,例1 甲、乙两人射击结果分别用X、Y 表示（单位：分）。经统计得X 和Y 的分布律如下,试问二人谁更稳定些,解 由 得,由 得,可见，二人平均水平相当，但甲更稳定些,42,例2 设X 服从区间上 的均匀分布，求,解 在上一节例3中已求得 ，而,于是,43,进而,例3 设随机变量X 服从参数为 的指数分布,求,解 X 的分布密度为,44,证明,二、 方差的性质,1、设 C 是常数,

9、则有,2、设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,45,4、设X和Y是两个随机变量，则,特别地， 若 X, Y 相互独立, 则有,证明,46,X,Y 相互独立时,从而有， X,Y 相互独立时,事实上，“相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立”.这是一个很有用的结论,47,推广,48,解 利用数学期望和方差的性质得,49,我们称数学期望为0，方差为1的变量为标准化变量，且称 为随机变量的标准化。由于标准化变量是无量纲的，所以可用于不同单位的量的比较，因而在统计分析中有着广泛的应用,50,3.3 协方差与相关系数,3.3.1 协方差,问题的提出,51,定义,设(X,Y )为二维

10、随机变量，若,存在，则称它为随机变量X 与Y 的协方差,记作 或 ，即,52,由协方差的定义易知协方差具有下列性质,1,2,5、若X 和Y 相互独立，则,7,6,3,4,常用作协方差的计算公式,53,例1 设二维随机变量 的联合分布律为,解 由已知易得X,Y 以及XY 的分布律分别为,54,进一步有,于是,55,例2 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度函数为,求 ，,解 因为,56,所以,又,利用对称性易得,所以,57,3.3.2 相关系数,协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受 X 与Y 本身度量单位的影响. 例如,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y,为了

11、消除量纲的影响，我们可将随机变量标准化,可以验证,标准化随机变量消除了量纲的影响,58,定义,设 D(X)0, D(Y)0,计算公式,特别地，当 时，称 X 与Y 不相关,59,思考 随机变量的不相关与相互独立之间存在怎样的联系呢,不难看到，若X 与Y 相互独立，那么协方差为0，即X 与Y 相互独立时，X 与Y 一定不相关.那么反之是否成立呢？看下面例题,例3 若 ，且 ，问X 与Y 是否不相关？是否独立,60,解 因为X 分布密度为偶函数，所以,于是,进一步，有,这说明与是不相关的,61,相关系数的性质,性质1,证,性质2,证,62,性质2,证,63,相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个

12、度量(参见如下的示意图, |的值越接近于1, Y与X 的线性相关程度越高, |的值越接近于0, Y与X 的线性相关程度越弱,64,我们已知道如下命题,注意,以上逆命题一般不成立,即X与Y 不相关时,不 一定独立.然而，在正态分布的场合,独立性与不相 关性是一致的,若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关,65,二维正态分布,由前面章节讨论可知,66,67,68,结论,69,3.3.3 矩,其中 k 是正整数,协方差Cov(X,Y)是X 和Y 的二阶混合中心矩,称它为X和Y 的k+l 阶混合(原点)矩,称它为X和Y的k+l 阶混合中心矩,设X和Y是随机变量，若,70,在数学中大家都注意到这样的现象：

13、有时候一个有限的和很难求, 但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如, 若对某一 x ,要计算和,而一经取极限，则有,简单的结果,3.4大数定律与中心极限定理,71,事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况,72,73,3.4.1 切比雪夫不等式,或,74,3.4.2 大数定律,定理1（切比雪夫大数定律,设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的

14、方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2,切比雪夫,则对任意的 有,或,75,证,两边夹,即得结论,76,解释,取值接近于其数学期望的概率接近于1,77,推论（伯努利大数定律,或,伯努利,下面给出的伯努利大数定律, 是定理1的一种特例,设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 ,有,78,引入,i =1,2,n,则,而,由切比雪夫大数定律,79,是事件A发生的频率,伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小,这就是频率稳定性的理论解释,历史上，伯努利第一个研究了这种类型的极限定理

15、，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现伯努利大数定律的时刻算起,80,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在,设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,补充定理（辛钦大数定律,辛钦,辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径,81,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计,82,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产

16、生总影响,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响,3.4.3 中心极限定理,83,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见,84,中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为什么实际中遇

17、到的随机变量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位,85,下面介绍几个常用的中心极限定理,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理,86,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化随机变量,的分布函数的极限,87,定理3（独立同分布的中心极限定理,88,证略,89,此定理说明,当n充分大时,有,或,90,上述定理也称列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理,下面给出上述定理的一个重要特例,定理4（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,设随机变量 服从二项分布 ， ，记 ，则,91,

18、或,即有近似计算公式,92,解,由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有,良种数,93,94,设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率,补 充 例 题,1. 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，是否有理由认为这枚硬币不均匀,2,3,95

19、,假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立,问对序列Xk,能否应用大数定律,1)设,k = 1,2,在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球, 从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,4,5,1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率,2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品,96,2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95,3) 用中心极限定理计算在100次抽取中, 数码“0”出现次数在7和13之间的概率,97,将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，是否有理由认为这枚硬币不均匀,解 设X为10000次试验中出现正面的次数,若硬币是均匀的, 则,XB(10000, 0.5,1,由D-L定理,此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的,98,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率,2,解,由中心极限定理,99,100,3,设在某保险公司有1万个人参