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文档简介
1、一阶线性递推数列的通项公式的 5 种求法研究一阶线性递推数列 an = can-1 + d ,( c 0 , c 1 , d 0 ), a1 = a 的通项公式各种求法,分析各种解法的适用条件,比较各种解法的优劣,挖掘各种解法的本质,探寻各种数列通项公式求法.解法一:等式两边同除法a = ca+ d 可化为 an = an-1 + d,令b = an ,则b= a , b - b= d ,nn-1cncn-1cnncn1cnn-1cn因此, b - b = (b - b) + (b- b) +l+ (b - b ) = d ( 1 +1 +l+ 1 ) ,n1nn-1n-1n-221cncn-
2、1c2d (cn-1 - 1)adn-1d即: bn =(c - 1)cn+ c ,所以, an = (a + c - 1)c-.c - 1解法二:构造法 由解法一可知, an+ dc - 1= (a +dc - 1)cn-1 ,那么 an = can-1 + d 一定可化为an + m = c(an-1 + m) ,比较 an,= can-1+ d 和 an = can-1+ cm - m 可知 m =dc - 1,即 an+ dc - 1= c(an-1 +d )c - 1令 b = a + dnnc - 1,则b = a + d1c - 1, bn = cbn-1 ,因此,数列 b 是以
3、b = a + d为首项,以c 为公比的等比数列.n1c - 1所以, bn= b cn-1 = (a +dc - 1)cn-1 ,即: a= (a +dc - 1)cn-1 -d.c - 11n解法三:“不动点”法设 x 是函数 f ( x) = cx + d 的不动点,则 x = cx+ d ,解得 x = d ,00001 - c那么 an= can-1+ d 可以化为an- d1 - c= can-1+ d -d1 - c= c(an-1- d ) 1 - c下同解法二.解法四:“升降下标作差”法由 an = can-1 + d 可得an+1 = can + d-得an+1 - an
4、= c(an - an-1 ) , n 2 .令bn = an+1 - an ,则bn = cbn-1 ,且b1 = a2 - a1 = ca + d - a ,所以bn= (ca + d - a)cn-1 ,即an+1- an= (ca + d - a)cn-1 ,n1nn-1a - a= (a - a) + (a- a) +l+ (a- a ) = (ca + d - a)(1 + c + c2 +l+ cn-2 )n-1an = (ca + d - a)(1 - cn-1n-2211 - c) + a = (a + d )cc - 1n-1- d.c - 1解法五:待定系数法由以上解法得
5、出的结果看,满足 an = can-1 + d ,( c 0 , c 1 , d 0 ), a1 = a 的nn2数列 a 的通项公式就是a = acn-1 + b 型,由于a = ca + d ,所以有a1 = a + b = adda 2= ac + b = ca + d 解关于 a、b 的方程组得, a = a +, b = -.c - 1c - 1故an= (a +dc - 1)cn-1 -d.c - 1“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn a
6、re very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited by my s
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