（完整版）随机过程知识点汇总VIP

1、本word文档可编辑可修改第一章随机过程 的基本概念与基本类型一随机变量及其分布X，分布函数 F (x) P(X x)1随机变量离散型随机变量 X 的概率分布用分布列p P(X xk)F(x)pkf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度f (x)F(x)分布函数连续型随机变量2n维随机变量 X (X ,X , , X )12nF(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n xn ,)其联合分布函数12n112离散型联合分布列连续型联合概率密度随机变量 的数字特征数学期望：离散型随机变量XEXx pkkXEXxf (x)dx连续型随机变量2DX E(X

2、 EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y）：BE( X EX)(Y EY) E(XY) EX EYXYBXY相关系数（两个随机变量X,Y）：0，则称 X ,Y不相关。若XYDXDY独立不相关0itXg(t) E(e )itxe pk 连续 g(t)keitx f (x)dx特征函数离散 g(t)重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)， g (0) i EX kk k常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差分布二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDXpqP(X k) C p q n kkkEX n

3、pDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)212N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2 xe ,x 00, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X N(a, B)维正态随机变量12n112T 1(x a) B (x a)f (x , x , , xn)exp112n2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵12n12nij n n二随机过程 的基本概念随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T是给定 的参数集

4、，若对每个 t T，都有一个随机变量 X与之对应，X(t,e),t T ( ,是P)上 的随机过程。简记为X(t),t T。则称随机变量族含义：随机过程是随机现象 的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象 的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验 的结果，而实验出现 的样本函数是随机 的。t当固定时，X (t,e)是随机变量。当 e固定时， X (t,e)时普通函数，称为随机过程 的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集 T和状态空间 I是否可列，分四类。也可以根据 X (t)之间 的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。随机过程 的分布律和数字特征用有限维分布函数

5、族来刻划随机过程 的统计规律性。随机过程X (t),t T 的一维分布，二维分布， n维分布 的全体称为有限维分布函数族。随机过程 的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。在实际中，要知道随机过程 的全部有限维分布函数族是不可能 的，因此用某些统计特征来取代。m (t) EX(t)XX(t),t T（）均值函数t在时刻 的平均值。表示随机过程（）方差函数 D (t) EX(t) m (t) 2t对均值 的偏离程度。表示随机过程在时刻XXB (s,t ) E( X (s) m (s)( X (t) m (t)XXXB (t,t) D (t)且有（）协方差函数（）相关函数XXE X (s

6、)X (t) m (s)m (t)XXR (s,t) E X(s)X(t)X(3) (4)表示随机过程在时刻 s t和，时 的线性相关程度。（）互相关函数：数。X(t),t T， Y(t),t T是两个二阶距过程，则下式称为它们 的互协方差函 B (s, t) E( X (s) m (s)(Y(t) m (t)X YXY，那么 R (s,t) E X(s)Y(t)，称为互相关函数。XYEX (s)Y(t) m (s)m (t )XYEX(s)Y(t) m (s)m (t)，则称两个随机过程不相关。若XY复随机过程Z X t jYtt均值函数 m (t) EX t jEYtZ方差函数D (t)

7、E| Z m (t) |2 E(Z m (t)(Z m (t)ZtZtZtZB (s,t) E(Z m (s)(Z m (t)ZsZtZR (s,t) EZ Z t 协方差函数相关函数ZsEZ Z m (s)m (t)stZZ常用 的随机过程2（）二阶距过程：实（或复）随机过程X(t),t T，若对每一个 t T，都有 E X (t)（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。t1 t t t T，有2 3 4（2）正交增量过程：设X(t),t T是零均值 的二阶距过程，对任意 的E( X(t ) X(t )(X(t ) X(t ) 0，则称该随机过程为正交增量过程。21432X其协方差函数

8、B (s,t) R (s,t)(min(s,t)XX（3）独立增量过程：随机过程 X(t),t T，若对任意正整数 n 2，以及任意 的 t t 21tn T，X(t ) X (t ), X (t ) X(t ), ,X(t ) X(t )是相互独立 的，则称 X(t),t T是独立随机变量2143nn 1X(t),t T是独立增量过程，对任意s t，随机变量 X (t) X (s) 的分增量过程。进一步，如布仅依赖于t s，则称 X(t),t T是平稳独立增量过程。X(t),t T具有马尔可夫性，即对任意正整数 n及（ 4）马尔可夫过程：如果随机过程t1 t2t n T， P(X(t ) x

9、 , , X(t ) x ) 0，都有1 1 n 1 n 1P X(t ) x X(t ) x , , X(t ) xn 1P X(t ) x X(t ) xn 1，则则称 X(t),t Tnn11n 1nnn 1是马尔可夫过程。X(t),t Tn及 t1,t , ,t T，2 n（ 5）正态过程：随机过程，若对任意正整数 X(t ), X(t ) X(t )）是 n维正态随机变量，其联合分布函数是（n维正态分布函数，则称12nX(t),t T是正态过程或高斯过程。（6）维纳过程：是正态过程 的一种特殊情形。设 W(t),t为实随机过程，如果， W(0) 0；是平稳独立增量过程；对任意 s,t

10、增2W(t) W(s) N(0, t s)2量 W (t) W(s)服从正态分布，即0。则称W(t),t为维纳过程，或布朗运动过程。另外：它是一个 Markov过程。因此该过程 的当前值就是做出其未来预测中所需 的全部信息。维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化 的概率分布独立于其在任一 的其他时间区间上变化 的概率。它在任何有限时间上 的变化服从正态分布，其方差随时间区间 的长度呈线性增加。（7）平稳过程：X(t),t Tn t ,t , ,t T，及1 2 n严（狭义）平稳过程：，如果对任意常数和正整数t1,t2, ,tnT，（ X (t ), X(t ) X(t )）与（ X(

11、t1), X(t 2) X(tn)）有相12nX(t),t T同 的联合分布，则称是严（狭义）平稳过程。X(t),t TX (t),t T是二阶距过程；对任意 的t T，广义平稳过程：随机过程，如果m (t) EX(t)常数；对任意 s， t T R (s,t) E X(s)X(t) R (t s)，或仅与时间，XXX差t s有关。则满足这三个条件 的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。第二章泊松过程一泊松过程 的定义（两种定义方法），设随机计数过程X(t),t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称： X(t),t T是具有参数 的泊松过程。 X (0) 0；

12、独立增量过程，对任意正整数 n，以及任意 的t1 t2t n T X(t ) X(t ), X(t ) X(t ), ,X (t ) X(t )相互独立，即不同时间间隔2132nn 1 的计数相互独立；在任一长度为t 的区间中，事件发生 的次数服从参数t 0 的 的泊松分布，即( t) nt对任意 t, s 0，有 P X (t s) X (s) n en 0,1,n!E X (t)，表示单位时间内时间发生 的平均个数，也称速率或强度。tE X (t)t，设随机计数过程X (t),t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称： X (t),t 0 是具有参数 的泊松过程。 X (0)

13、 0；独立、平稳增量过程；P X (t h) X (t) 1P X (t h) X (t) 2h o(h)。o(h)第三个条件说明，在充分小 的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，也称为单跳性。二基本性质s( t 1) s tm (t) E X (t)Xt DX (t) R (s,t)X，数字特征t( s 1) s tB (s,t) R (s,t) m (s)m (t)min(s,t)推导过程要非常熟悉XXXX， Tnn 1事件发生到第 n次事件发生 的时间间隔，T ,n 1是时间序列，随机变量 Tnn表示第tte ,t 01 e ,t 0服从参数为 的指数分

14、布。概率密度为 f (t)，分布函数 F (t)均值T0,t 0n0,t 01为 ET n证明过程也要很熟悉三非齐次泊松过程到达时间 的分布略到达强度是 t 的函数P X (t h) X (t) 1(t)h o(h) X (0) 0；独立增量过程；。不具有平稳增量P X (t h) X (t) 2 o(h)性。tm (t) EX (t)X(s)ds均值函数0t定理： X (t),t 0是具有均值为 m (t)X(s)ds 的非齐次泊松过程，则有0 m (t s) m (t) nXXP X (t s) X (t) nexp m (t s) m (t)X Xn!四复合泊松过程N (t),t 0Y

15、,k 1,2,k设是强度为 的泊松过程，是一列独立同分布 的随机变量，且与N (t)N (t), t 0独立，令 X (t)Yk 则称 X(t),t 0为复合泊松过程。k 1重要结论：X(t),t 0是独立增量过程；若 E(Y 2)1E X ( t) tE( Y，)1，则 DX(t)tE(Y 2)1第五章马尔可夫链泊松过程是时间连续状态离散 的马氏过程，维纳过程是时间状态都连续 的马氏过程。时间和状态都离散 的马尔可夫过程称为马尔可夫链。马尔可夫过程 的特性：马尔可夫性或无后效性。即：在过程时刻t所处 的状态为已知 的条件下，0过程在时刻 t t 0所处状态 的条件分布与过程在时刻t 0之前所

16、处 的状态无关。也就是说，将来只与现在有关，而与过去无关。表示为P X(t ) x X(t ) x , , X(t ) xn 1P X(t ) x X(t ) xn 1n n n 1nn11n 1一马尔可夫链 的概念及转移概率1定义：设随机过程X ,n T，对任意 的整数nn T和任意 的 i0,i , ,in 1 I，条件概率满足1P X n 1 in 1 X0 i0, X i , , X n inP X n 1 i X n i nn 1X ,n T为马尔可夫n，则称11链。马尔可夫链 的统计特性完全由条件概率P X n 1 in 1 X n in所决定。P X n 1 j X nini处于

17、状态 的条件下，下一步转2转移概率相当于随机游动 的质点在时刻移到 j 的概率。记为 p (n)。则 pij (n) P X n 1 j X nijin 的一步转移概称为马尔可夫链在时刻p (n)与 n无关，记为 p。率。若齐次马尔可夫链，则ijijP p i, j IijI 1,2,pij 0，每行 的和称为系统 的一步转移矩阵。性质：每个元素为 1。pij (n) P X m n j X m=iP(n) p i, j I(n)3 n步转移概率移矩阵。；I 1,2,n称为步转ij重要性质： pij (n)pik pkj (n l )称为 C K方程，证明中用到条件概率 的乘法公式、马尔可夫(

18、l )k I性、齐次性。 P X mi , X m njpij (n) P X m n j X miP X miP X m i, X m l k, X m nP X mjk Ti掌握证明方法：P X m i, X m l k, X m n j P X m i, X m lkP Xmi , X m lkP X mik T(n l )kj(l )ik(l )pik(n l )pkjp(m l) p (m)k Ik I P(n) Pn说明步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵 的nn次乘方。4 X ,n T是马尔可夫链，称np P X0jj为初始概率，即0时刻状态为 j 的概率；称Tp (n) P X n

19、 j为绝对概率，即 n时刻状态为 j 的概率。 P (0)p1, p2,为初始概率向量，jTP (n)p1(n), p (n),2为绝对概率向量。p pij矩阵形式： P (n) P (0)P(n)(n)TT定理： p (n)jp (n)jp (n 1)pijiii Ii I定理： P X1 i1, X 2 i2, , X n i npi piipiin 1 n说明马氏链 的有限维分布完全由它 的初1i I始概率和一步转移概率所决定。二马尔可夫链 的状态分类1周期：自某状态出发，再返回某状态 的所有可能步数最大公约数，即d 1，则称该状态是周期 的；若d GC D n : pii(n) 0。若

20、d 1，则称该状态是非周期 的。2首中概率： f ij(n)表示由出发经 n步首次到达ij 的概率。fij(n)表示由出发经终于（迟早要）到达ij 的概率。f3ijn 14如果 f 1，则状态是常返态；如果ifii 1，状态是非常返（滑过）态。iii5nfii(n)，表示由i出发再返回到 i 的平均返回时间。若i，则称是正常返态；若iiin 1则称 i是零常返态。非周期 的正常返态是遍历状态。 1(n)(n)i6状态是常返充要条件是p；状态 i是非常返充要条件是p。iiii1 f iin 0n 0ijij,即ij且j i。如果iji，则他们同为常返态或非常返态，；若，7称状态与互通，j同为常返

21、态，则他们同为正常返态或零常返态，且i， j有相同 的周期。1lim pii(n)0。一个不可约 的、非周期 的、有限状态 的马尔可i8状态是遍历状态 的充要条件是ni夫链是遍历 的。9要求：熟悉定义定理，能由一步转移概率矩阵画出状态转移图，从而识别各状态。三状态空间 的分解1设 C是状态空间i C，状态 j C，都有 p 0（即从出发iij经一步转移不能到达 j），则称 C为闭集。如果 C 的状态互通，则称 C是不可约 的。如果状态空间不I 的一个闭集，如果对任意 的状态X , n T不可约。或者说除了nC之外没有其他闭集，则称马尔可夫链可约，则马尔可夫链X ,n T不可约。n(n)2 C为

22、闭集 的充要条件是：对任意 的状态i C，状态 j C，都有p0。所以闭集 的意思是自ijC 的内部不能到达 C 的外部。意味着一旦质点进入闭集C中，它将永远留在 C中运动。如果 p 1，则状态为吸收 的。等价于单点ii为闭集。ii3马尔可夫链 的分解定理：任一马尔可夫链 的状态空间I，必可唯一地分解成有限个互不相交 的子集 D,C ,C , CnCC 的和，每一个都是常返态组成 的不可约闭集；中 的状态同类，或全是n12nfij 1。 D是由全体非常返态组成。正常返态，或全是零常返态，有相同 的周期，且分解定理说明：状态空间 的状态可按常返与非常返分为两类，非常返态组成集合D，常返态组成一个

23、闭集 C。闭集 C又可按互通关系分为若干个互不相交 的基本常返闭集C ,C , Cn1 2。含义：一个马尔可夫链如果从 D中某个非常返态出发，它或者一直停留在D中，或某一时刻进入某个基本常返闭集CC，n，一旦进入就永不离开。一个马尔可夫链如果从某一常返态出发，必属于某个基本常返闭集n永远在该闭集 Cn中运动。4有限马尔可夫链：一个马尔可夫链 的状态空间是一个有限集合。性质：所有非常返态组成 的集合不是闭集；没有零常返态；必有正常返态；状态空间I D C C21C， D是非常返集合， C ,C , C是正常返集合。n 1 2 n 不可约有限马尔可夫链只有正常返态。四 pij(n) 的渐近性质与平

24、稳分布(n)1为什么要研究转移概率 p 的遍历性？ij(n)( n)lim pijnpnP X n j X0i 的极限分布，包含两个问题：一是研究当时 的极限性质，即ij是否存在；二是如果存在，是否与初始状态有关。这一类问题称作遍历性定理。如果对 i, j I，存在不依赖于 i 的极限 lim pij(n) p 0，则称马尔可夫链具有遍历性。一个jn不可约 的马尔可夫链，如果它 的状态是非周期 的正常返态，则它就是一个遍历链。具有遍历性 的马尔可夫链，无论系统从哪个状态出发，当转移步数n充分大时，转移到状态j 的概率都近似等于 p，j( n)pij这时可以用 p作为 的近似值。j2研究平稳分布

25、有什么意义？(n)ij判别一个不可约 的、非周期 的、常返态 的马尔可夫链是否为遍历 的，可以通过讨论lim p来解决，n但求极限时困难 的。所以，我们通过研究平稳分布是否存在来判别齐次马尔可夫链是否为遍历链。一个不可约非周期常返态 的马尔可夫链是遍历 的充要条件是存在平稳分布，且平稳分布即极限分布1(n)ijlim p = , j I。nj3 X ,n 0是齐次马尔可夫链，状态空间为nI，一步转移概率为pij，概率分布, j I称为jjipiji I马尔可夫链 的平稳分布，满足1jj I4定理：不可约非周期马尔可夫链是正常返 的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分1 , j I。推

26、论：有限状态 的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。布j5在工程技术中，当马尔可夫链极限分布存在，它 的遍历性表示一个系统经过相当长时间后达到平衡状态，此时系统各状态 的概率分布不随时间而变，也不依赖于初始状态。6对有限马尔可夫链，如果存在正整数k，使 pij(k ) 0，即 k步转移矩阵中没有零元素，则该链是遍历 的。第六章平稳随机过程一定义（第一章）严平稳过程：有限维分布函数沿时间轴平移时不发生变化。 2宽平稳过程：满足三个条件：二阶矩过程E X (t) ；均值为常数E X (t)常数；相关函数只( ,与时间差有关，即 R t tX)( ) (E X t X t)RX ( )。宽平稳过程

27、不一定是严平稳过程，而严平稳过程一定是宽平稳过程。二联合平稳过程及相关函数 的性质1定义：设 X(t),t T和 X(t),t T是两个平稳过程，若它们 的互相关函数 E X (t)Y(t)及E Y(t) X (t)仅与时间差有关，而与起点和t无关，则称 X (t) Y(t)是联合平稳随机过程。即， R (t,tXY) E X (t)Y(t)R ( ) R (t,t) E Y(t )X (t)R ( )YXXYYX当然，当两个平稳过程联合平稳时，其和也是平稳过程。相关函数 的性质：R (0) 0； R ( ) R ( )，对于实平稳过程， R ( )是偶函数。X X X XR ( ) R (0

28、)非负定。若 X (t)是周期 的，则相关函数 R ( )也是周期 的，且周期相同。如XXX果 X (t)是不含周期分量 的非周期过程，X (t)与 X (t)相互独立，则 lim R ( ) m m。XXX| |联合平稳过程 X (t)和 Y(t) 的互相关函数，R ( ) R (0)R (0)， R ( ) R (0)R (0)；XY X Y YX X YR ( ) R ( )。 X (t)和 Y(t)是实联合平稳过程时，则， R ( ) R ( )。XYYXXYYX三随机分析略四平稳过程 的各态历经性l.i m 12TTX (t)dtl.i m 1时间均值 X (t)TTT时间相关函数

29、X (t)X (t)X (t )X (t)dtT2TTX(t) EX(t) m (t)以概率成立，则称均方连续 的平稳过程 的均值有各态历经性。X如果如果 X (t)X (t)E X (t)X (t) R ( )以概率成立，则称均方连续 的平稳过程 的相X关函数有各态历经性。如果均方连续 的平稳过程 的均值和相关函数都有各态历经性，则称该平稳过程是各态历经 的或遍历 的。一方面表明各态历经过程各样本函数 的时间平均实际上可以认为是相同 的；另一方面也表明 E X (t)EX(t)X(t )必定与 t无关，即各态历经过程必是平稳过程。与讨论平稳过程 的历经性，就是讨论能否在较宽松 的条件下，用一

30、个样本函数去近似计算平稳过程 的均值、协方差函数等数字特征，即用时间平均代替统计平均。具有各态历经性。只在一定条件下 的平稳过程，才均值各态历经性定理：均方连续 的平稳过程 的均值具有各态历经 的充要条件是12T2lim(1)(R ( ) m )d0XXT2T2T2T相关函数各态历经性定理：均方连续 的平稳过程 的相关函数具有各态历经 的充要条件是12T21B( ) E X (t)X (t1) X (t 1)X (t1)lim(1) B( ) R ( ) d01XT2T2T2T第七章平稳过程 的谱分析一平稳过程 的谱密度推导过程：X (t), t T，由于 X (t)均方Tt T随机过程 X(

31、t),t为均方连续过程，作截尾处理X (t)T0,Tj tj tF T可积，所以存在 FT，得 ( , )X t e dt( )X t e dt( )，利用 paserval定理及 IFT定义TT得2F ( ,T) dT122X (t)dtX (t)dt该式两边都是随机变量，取平均值，这时不仅要TT2对时间区间 T,T 取，还要取概率意义下 的统计平均，即11111T222limEX (t) dt lTim 2EF ( ,T ) dlimE F ( ,T) d2TT2T22TTT1T22X(t),t定义limEX (t) dt为平均功率。2TTT12X(t),tsX ( ) limE F (

32、,T)为功率谱密度，简称谱密度。2TTX(t),t可以推出当是均方连续平稳过程时，有1T1T2222limETX (t) dt limTE X (t)E X (t)R (0)X2T2TTT12s ( )dX说明平稳过程 的平均功率等于过程 的均方值，或等于谱密度在频域上2 的积分。平稳过程 的谱密度和相关函数构成FT对。 1jsX ( )e djR (e ) dXsX ( )R ( )X2X n,0, 1, 2,若平稳随机序列FT对，则其谱密度和相关函数构成n1j n( j) nR n eXR (n)XsX ( )e dsX ( )2n二谱密度 的性质jR ( )e dX s ( ) R (

33、) 的 FT s ( )是。XXXX(t),tR ( ) R ( ) s ( )是也实 的非负偶函，X X X如果是均方连续 的实平稳过程，有数，则1sX ( ) 2 R ( )cos( )dR ( )XsX ( ) c o ds ()X0s ( )是X 的有理分式，分母无实根。sX ( )是一个频率函数，从频率域来描绘 X (t)统计规律 的数字特征，而 X (t)sX ( )就反映了各种频率成分所具有 的能量大小。谱密度 的物理含义，是各种频率简谐波 的叠加，计算可以按照定义计算，2a2222 ( ) e a也可以利用常用 的变换对(t)1 1a 0a2cos( ) (0) () sin(

34、 )j (sin0) ()00001,0,R ( ) ejXs (X) R ( T) s ( ) ej T00等00XX0三窄带过程及白噪声过程 的功率谱密度窄带随机过程：随机过程 的谱密度限制在很窄 的一段频率范围内。X(t),t白噪声过程：设为实值平稳过程，若它 的均值为零，且谱密度在所有 的频率范围内为非零 的常数，即 s ( ) NXX(t),t，则称0为白噪声过程。是平稳过程。其相关函数为 R ( ) N ( )。表明在任意两个时刻 t t X (t ) X(t )不相关，即白噪声随时和，2和X0112间 的变换起伏极快，而过程 的功率谱极宽，对不同输入频率 的信号都有可能产生干扰。

35、四联合平稳过程 的互谱密度互谱密度没有明确 的物理意义，引入它主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程 的相关性。互谱密度与互相关函数成对关系 1jR ( ej)sX ( )YdR ( )XYsXY ( )e dXY21jR ( ej)Y Xs ( )Y XdR ( )YXsYX ( )e d2性质sXY ( ) s ( ) s ( ) 的实部是 的偶函数，虚部是 的奇函数， s ( )也是。YXXYXY2s ( )XYsX ( ) s ( )；若 X (t) Y(t)相互正交，有 R ( ) 0，则 sXY ( ) s ( ) 0和YXY YX。五平稳过程通过线性系统系统 的频率响应函数H (

36、 )（也可以写成 H ( j )）一般是一个复值函数，是系统单位脉冲响应 的 FT。1jtj tH ( )e dH ( )h(t)e dth(t)2系统输入 X (t)为实平稳随机过程，则输出 Y(t)也是实平稳随机过程。即输出过程 的均值为常数，R ( ) R ( ) h( ) R ( ) h( ) h( )相关函数是时间差 的函数。且有YXYX说明输出过程 的相关函数可以通过两次卷积产生。R ( ) R ( ) h( ) 的应用：给系统一个白噪声过程X (t )，可以从实测 的互相关资料估计线XYX性系统 的未知脉冲响应。因为R ( ) N ( )X 0，R ( ) R ( ) h( )N

37、 ( u)h(u)du N h( )，从而0 0XYXR ( )XYh( )N02输入输出谱密度之间 的关系sY( ) H ( s)X( )2H ( )H ( )H ( )称为系统 的频率增益因子或频率传输函数。有时，采用时域卷积 的方法计算输出 的相关函数比较烦琐，可以先计算输出过程 的谱密度，然后2反 FT计算出相关函数。 R ( )XsY ( ) H ( ) s ( )R ( )YXR( )R h sXY ( ) H ( )s ( )( ) ( )，所以X Xs ( ) H ( )s ( )，YX X另外XY补充：排队轮平均间隔时间 =总时间 /到达顾客总数平均到达率 =到达顾客总数 /总时间平均服务时间 =服务时间总和 /顾客总数平均服务率 =顾客总数 /服务时间总和一当顾客到达符合泊松过程时，顾客相继到达 的间隔时间T必服从负指数分布。对于泊松分布， 表示单位时间平均到达