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文档简介

1、集合,内点,补集,开集,闭集,有界集,紧集,有界闭集称为紧集,邻域,性质,定义：设SEn,若对x(1),x(2)S及0,1,都有 x(1)+(1-)x(2)S 则称S为凸集,凸集分离定理,定义,定理1,证明,定理1,证明,定理1,证明,定理1,证明,定理2,证明,定理3,证明,推论4,定理5,证明,定理6,Farkas定理,证明,Farkas定理,Gordan定理,证明,Gordan定理,证明,证法正确吗,凸函数,凸函数：设S是En中的非空凸集， f(x)是定义在S上的实函数，如果对于每一对x1，x2S及每一个a，0a1,都有 f(ax1+(1a)x2)a f(x1)+(1a)f(x2) 则称

2、函数f(x)为S上的凸函数上式中，若变为，则称为严格凸函数。 若-f(x)为S的凸函数，则称f(x)为S上的凹函数,凸函数性质,1) 设f1(x)，f2(x)是凸集S上的凸函数，则函数f1(x)+f2(x)在S上也是凸函数。 (2) 设f(x)是凸集S上的凸函数，则对任意的a0，函数af(x)是凸的。 推广：设f1(x)，f2(x), , fk(x)是凸集S上的凸函数，ai0,则a1f1(x)+a2f2(x)+ + akfk(x)也是凸集S上的凸函数. (3) 设f(x)是凸集S上的凸函数，对每一个实数c，则集合 Scx | xS，f(x)c是凸集,4)设S是En中的非空凸集，f是定义在S上的凸函数，则f在 S上的局部极小点是整体极小点，且极小点的集合是凸集,证明,凸函数的判别,梯度,Hesse矩阵,方向导数,方向导数通常用下面的公式计算,定理(一阶充要条件,证明,几何意义,f(x)是凸函数当且仅当任意点处的切线增 量不超过函数的增量,证明,例：判断下列函数是否为凸函数,凸规划,凸规划：求凸函数在

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