《采样数据的处理》PPT课件.ppt

1、1,第12章采样数据的处理,12.1 引言,本章主要介绍： 1)采样在何种程度上造成信息丢失，其本质为何？ 2)对连续函数采样后，能否被完全恢复，怎样做？ 3)为保存图像信息，需如何细微地对函数采样？ 4)采样对函数的频谱有何影响？ 5)采样后的函数如何假设、近似为连续函数,2,12.2.1Shah函数（无限冲激序列,12.2 采样和插值,定义III(x)： 为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列,III(x)的傅立叶变换为其自身,3,12.2.1.1相似性,根据相似定理：且,因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/的冲激序列,4,设f(x)带宽为s0（当频率s超过s0时， f(x)便为0），

2、即F(s)=0，当|s| s0时,12.2.2 使用Shah函数采样,以等间隔 对f(x)采样，则仅在x=n 处取得f(x)的样本值，在其他地方， f(x)被破坏了，这个过程相当于用III(x/ )乘以f(x) ，得到g(x),5,12.2.3 采样及其频谱,6,12.2.4 采样定理,由上可见，只要从G(s)中得到F(s)，即可从g(x)中获得f(x)。 方法：保留中心处于原点的F(s) ，消除其复制品，即用矩形(s/2s1)去乘G(s) 。其中,可见，用采样后的函数与一个形式为 的内插函数做卷积，即可从g(x)重构f(x,7,上述推导的两个限制： 1)f(x)的谱s0。 2,8,12.2.

3、5内插,g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可准确地恢复出原函数,9,12.2.6 欠采样与混叠（Aliasing,当采样间隔不够密，即时，F(s)的复制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时,频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上，称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。 当f(x)是偶函数时， F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数,10,12.2.7 采样举例,函数： 频谱： 以等间隔t对f(t

4、)采样。 f(t)的周期是1/f0,过采样： 临界采样： 欠采样： 严重欠采样： 对正弦信号的临界采样,11,1、过采样,12,2、临界采样,13,3、欠采样,变成低频了,14,4、严重欠采样,变成直流了,零频,15,5、另一种情况,相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0,16,12.2.7.1图像数字化中的混叠 聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变得模糊些，但不再混叠了,结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但只能当粗点用，否则会出现高频混叠,17

5、,18,12.3.1时域中的截取,12.3 频谱计算,对离散的f(t)样值计算F(s)，N个时域采样点将对应N个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布,假定一个信号f(t)用间距为t的N个采样点来代表，则总的采样区间宽度TNt。（T为截取窗口的宽度，T外部的信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置0了,19,12.3.2频域上的截取,离散f(t)的频谱是周期的，周期2sm=1/t ，只需计算覆盖F(s)的一个周期即可。 常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于原点的F(s)的一个周期上，即,当在F(s)的一个周期上取N个等间隔的采样点，则Ns 1/t 。其中s 1/Nt1/T是频

6、域中的采样间隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按s 1/T等间隔取，即从-sm到sm 。 Sm= 1/2t,20,12.3.3频谱计算,由上可见，一个域中的采样间隔决定了另一个域中的截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（sm ），必须在时域中细密地采样（ t ）。而要频谱中的高分辨率（ s ），必须在时域中采用大的截取窗口（T,21,采样和截取参数小结,当f(t)是复数，有N个实部和N个虚部，变换后产生频谱中的N个实值和N个虚值。 当f(t)是实数，有N个实部和N个0（虚部），变换后在频谱的右半部产生N/2个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数的F(s)是Hermite型的，频谱的左半部是右半

7、部的镜像,22,12.4.1混叠的不可避免性,12.4 混叠,根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要选择合适的采样间距就可完全避免混叠。 但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度T，这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉冲相乘，等价于将其频谱与无限持续的sinc(x)函数在频域卷积。 两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。 截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差,23,12.4.2混叠误差的上界,因为t有限，不能无限小，因此F(s)被无限展宽。 F(s)在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰

8、值随着频率升高而下降并趋于0,24,如果忽略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线，并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可以认为这是混叠的最坏情况。 定义混叠误差 F(sm)/F(0)，由于F(0)1， F(s)的包络为1/2as，因而混叠上界为,混叠误差的上界与t成正比，与T无关。因此，当t 2a脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度,25,12.4.3频谱分辨率,F(s)具有频率为a的正弦波动（周期为1/a）。用M表示在所计算的频谱F(s)上每个周期的采样点数，并用它作为频谱分辨率的量度，则,这就是说，如果使采样周期T与脉冲的半宽度a相比足够大，即可在F(s)的一个周期中取得足

9、够多的采样点,26,12.5.1计算一个边缘的频谱,12.5 截取,用宽度为T的截取窗口对f(x)截取,截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取窗口的宽度,27,对g(x)进行FT,G(s)与F(s)不一样了，仅在几个点处两者值相等，也就是cos(sT)=0时。或者sT =i /2时（i为奇数）。对应s=i/2T。此时G(s)F(s,28,29,12.5.2截取效应,上例i奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶数时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。 将G(is)即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波器1/4,1/2,1/4相卷积，可获得期望结果,30,12.

10、6 数字处理,以下考虑对连续信号（见下图）或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响,31,12.6.1截取,32,12.6.2采样孔径,在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔径中被平均,采样孔径是宽度为的窄矩形脉冲，则截取后的信号再与采样孔径函数卷积，相当于将其谱与sinc(s)相乘。 如果采样窗口是高斯脉冲，则输出谱将与高斯谱相乘。 上述采样孔的作用是降低了信号中的高频能量，频率超过s=1/时能量极性反转,33,12.6.3采样,上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与III(t/t) 相乘，得到采样结果。于是采样后的谱有了周期性（以1/t 复制原来的谱,34,12.6.4内插,

11、对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复f(t),用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值,由于sinc(st0)2随频率增加而减小，使得除了位于s=0处的主复制品外，其余所有复制品趋向于0,35,用h(t)表示对采样后函数进行内插得到的结果函数,36,12.6.5数字处理的影响,数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？ 采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样孔径宽度与采样间距t 相等。对于线性插值，t0=t 。 若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为0，截取就不会产生影响了。 采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，因而减

12、少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会改变高频能量的极性。 用sinc(x)函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余复制品，且还会减少主复制品的高频能量。 数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度，采样间距可调节，并与采样点直径相联系。对于显示图像，其内插函数就是显示点本身,37,12.7 混叠误差的控制,用采样孔径和采样间隔来控制,12.7.1抗混叠滤波器,孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一个过0点位于fN=1/2t。则fN以上的频率被大大削减,38,三角孔径宽度为4个样点宽，其传递函数的第一个过0点也位于fN=1/

13、2t。相对于矩形脉冲的谱，三角脉冲的谱下降得更快，因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是，它也降低了F(s)中低于fN部分的能量,39,12.7.2过采样,用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带。这样，即使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的数据也基本上无影响。 截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小,40,12.8 线性滤波的数字实现,可以在时（空）域或频域（变换域）来实现,12.8.1卷积滤波,对f(t)和h(t)采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同样间距t 进行采样，它们的频谱将具有相同的周期1/t 。采样后信号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到G(s)，那么G(s)也

14、是频率为t 的周期函数。当对g(t)内插时，它的频谱减为位于原点的一个复制品。 如果f(t)或h(t)带宽有限（假定在s=1/2t 以外截止） ，则g(t)的谱也带宽有限，通过内插可精确恢复。但是，截取破坏了频谱的有限性，使混叠不可避免，而数字化卷积不产生除采样、截取和内插产生的影响以外的新影响,41,12.8.2频域滤波,输入信号,输入信号的谱,采样后的信号,采样后信号的谱,相当于频域采样,因此Y(s)的反变换y(t)是连续的、无限持续的周期为T的函数。其主周期即f(t,42,复制频谱的重叠使Y(s)和某个H(s)相乘可实现频域滤波。这相应于使y(t)与h(t)进行卷积。由于y(t)是周期性的，卷积会在t=T/2附近把相邻周期向主