正弦定理的几种证明方法x

1、 正弦定理的几种证明方法 正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （ 1）当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义， 有 CD asin B , CD b sin A 。 C a b c b 由此，得 同理可得 ， b a sin A sin sin C sin B B ， 故有 a b c A D B sin A sin B sin C . 从而这个结论在锐角三角形中成立 . （ 2）当 ABC是钝角三角形时，过点 C作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义， 有 CD asin CBD a sin ABC，CD b

2、 sin A 。由此， 得 a b 同理可得 c b sin A sin ABC， sin C sin ABC 故有 a b c sin A sin ABC sin C . C b a 由 (1)(2)可知，在 a b c A B D ABC中， sin A sin B sin C 成立 . 从而得 到： 在一 个三 角形 中 ，各 边和 它所 对角 的正 弦的 比值相等 ，即 a b c sin A sin B sin C . 1用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点 A，点 B 之间的距 AB|，可测量角 A 与角 B， 需要定位点 C，即： 在如图 ABC

3、中，已知角 A，角 B， AB c， 求边 AC的长 b 解：过 C 作 CD AB交 AB于 D，则 BD csin A c sinAcosC DC sinC sinC tan C AD ccosA cosC b AC AD DC c cosA csin A cosC c(sinC cosA sin A cosC ) csinB sinC sinC sinC 推论： b c sinC sin B 同理可证： a b c sinB sinC sin A 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知 ABC, 设 BC a, CA b,AB c,作 AD BC, 垂足为 则 Rt ADB 中 ,sin

4、B AD A AB S ABC = 1 AD 1 acsin B 同理 可证 ABC = 1 1 2 ab sin C bc sin A 2 2 2 S ABC= 1 ab sin C 1 bcsin A 1 acsin B C D 2 2 2 在等式两端同除以 ABC,可得 sin C sin A sin B 即 a b c . 3.向量法证明正弦定理 c a b sin A sin B sin C (1) ABC 为锐角三角形 ,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与 AB 的夹角为 与 CB 的夹角为 由向量的加法原则可得 AC CB AB 90 -A,j 90 -C 为了

5、与图中有关角的三角函数建立联系 ,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算 ,得到 j (AC CB) j AB 由分配律可得 AC j CB j AB |j| AC CB AB j Cos90 +|j| Cos(90 -C)=|j| Cos(90 -A a c sin A sin C 另外 过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j, 则 j 与 AC 的夹角为 与 AB 的夹 , 90 +C,j 角为 90+B,可得 c b sin C sin B ( 此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提 防止误解为 j 与 AC 的夹 , 角为 与 AB 的夹角为 a bc 90 -C

6、,j 90 -B B C sin A sin B sin C (2) ABC 为钝角三角形 ,不妨设 A90,过点 A 作与 AC 垂直的单位向量 j,则 j 与 AB 的夹角为 与 CB 的夹角为 C A-90 ,j 90 -C 由 AC CB AB ,得 j AC j +j CB =j AB 即 aCos(90-C)=c Cos(A- asinC=csinAA. a c A B sin A sin C 另外 ,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j, 则 j 与 AC 的夹角为 90+C,j 与 AB 夹 角为 90+B.同理 , 可得 b c a b c sin B . simA sin B sin C sin C 4.外接圆证明正弦定理 在 ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC 的外接圆 ,O 为圆 心 ,连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB=90， C =B， sinC=sinB= sin C c c sin B 2R 2R si