五下第三单元因数与倍数讲解与培优(最新整理)

1、标准文档第三单元因数与倍数一、因数与倍数如果整数 a(a0)和整数 b(b0)相乘得到的整数 c，那么 a,b 是 c 的因数（因数又叫约数）；c 是 a,b 的倍数。例 1:29=18 可以说：2 是 18 的因数，18 是 2 的倍数；9 是 18 的因数，18 是 9 的倍数。注：1、因数与倍数是两个数之间的相互关系，是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。所以不能单独说 2 是因数，18 是倍数。2、研究因数与倍数时，所说的数一般指不是 0 的自然数。练习：（1）说出下面哪个数是因数，哪个数是倍数。37=2148=32139=117（2）78=56，（）和（）是（）的因数；（）是（

2、）和（）的倍数。判断：7 和 8 是因数，56 是倍数。（）（3）判断：ab=c,整数 a、b、c0，那么 a,b 是因数；c 是倍数。（） 二、找一个数的因数方法：列乘法算式使积就是这个数，两个乘数就是这个数的因数，为了做到不重复、不遗漏，可以从 1 开始列起。成对记录比较简便。例题：30 的因数有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一个数最小的因数是 1；最大的因数是它本身；一个数因数的个数是有限的。练习：（1）找出下列各数的因数：72422563（2）32 的因数有：（），最小的因数是（），最大的因数是（）。三、找一个数的倍数方法：用这个数分别去乘 1,2,3所得的积就是这个数的

3、倍数。例题：4 的倍数有：4,8,12,16,20,24（若无限制条件，一定要加省略号）注：一个数最小的倍数是它本身；没有最大的倍数；一个数倍数的个数是无限的。一个数的本身既是它的最大的因数，又是它的最小的倍数。实用大全练习：（1）找出下列个数的倍数：71156（2）2 的倍数中，最小的一位数是（）；最小的两位数是（）。 写出既是 8 的倍数，又是 72 的因数： （3） 一个数倍数的个数是（），最小的倍数是（）。（4） 一个数最小的因数是（），最大的因数是（）。（5） 一个数的因数和倍数都是 9，这个数是（）。（6） 一个数最大的因数和最小的倍数和是 16，这个数是多少？写出这个数的倍数。（

4、7） 妈妈买回 30 个苹果，他把苹果放入蓝子中让小明拿，约定既不许一次那完，也不许一个一个地拿，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿几个？小明将 40 颗棋子装入盒中，然后从中拿棋子，不许一次那完，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。有几种拿法？每次各拿几个？（8） 判断：一个数的因数一定比它的倍数小。（）ab=c(a,b,c 均为自然数），则 a 是 c 的因数，c 是 b 的倍数。（）任何数最小的因数都是 1.（）一个数的因数和倍数都有无限个。（）培优：爸爸今年 40 岁，小明和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是小明年龄的

5、 10 倍，小明和爷爷今年各多少岁？ 四、5 和 2 的倍数的特征1、5 的倍数的特征：个位上是 5 或 0。2、2 的倍数的特征：个位上是 2、4、6、8 或 0.既是 2 的倍数又是 5 的倍数的特征：个位上是 0.3、自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。也可以说个位是 2/4/6/8/0 的数是偶数，个位是 1/3/5/7/9 的数是奇数。4、偶数与奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数或奇数。最小的偶数是 0，最小的奇数是 1。练习：（1）23中，里填（）既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。（2）1/3/25/39/48/50/329/1320 中奇数有（

6、），偶数有（），2 的倍数有（），5 的倍数有（），既是 2 的倍数又是 5 的倍数有（）。（3）30 以内 5 的倍数有（）。（4）五个连续奇数的和是 75，这 5 个数分别是（）；三个连续偶数的和是 72，这三个偶数分别是（）。五、3 的倍数的特征1、3 的倍数，它各位上数的和一定是 3 的倍数。如果一个数不是 3 的倍数，那么，它各位上数的和也不是 3 的倍数。练习：（1）1，4,9,18,36,45,89,100 中，偶数是（）；奇数是（）；2 的倍数是（）；5 的倍数是（）；3 的倍数是（）；既是 2 的倍数又是 5 的倍数是（）；既是 2 的倍数又是 3 的倍数是（）；既是 3 的

7、倍数又是 5 的倍数是（）。（2）3 的倍数中，最大的一位数是（），最小的两位数是（）；1000 以内最大的 3的倍数是（）；35 加上（）或减去（）是 3 的倍数。（3） 一个三位数同时是 2,3,和 5 的倍数，这个三位数最小是（），最大是（）；能被 2、3、5 除都余 1 的最小自然数是（）；在 1100 中，同时是 2,3,5 的倍数有（）。（4） 按要求在里填上合适的数字。既是 2 的倍数又是 5 的倍数：5，13，24既是 2 的倍数又是 3 的倍数：35，74，70，7既是 3 的倍数又是 5 的倍数：18，15,20，4既是 2 和 5 的倍数又是 3 的倍数：4，20，4（5

8、） 用 0,4,3,2 四个数，按要求组成一个两位数。组成的数是 2 的倍数：组成的数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数：组成的数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数：（6） 桌子上放着 7 个茶杯，全部底朝上。每次翻转 2 个，经过多少次杯口全部朝上？（7） 有 36 个苹果，把它放在 13 个盘子里，每个盘子里只能放奇数个，这件事你能办到吗？（8） 判断：自然数中，不是奇数就是偶数。（）个位上是 0/3/6/9 的数一定是 3 的倍数。（） 所有的自然数都是整数。（）解析：错。整数包含正整数、负整数和 0；而自然数只有 0 和正整数。用 2,1,3 组成的三位数一定是 3 的倍数。（）偶数是

9、 2 的倍数，奇数是 3 的倍数。（）培优：1、在重填上合适的数，使它是 9 的倍数。（1）67（2）43（3）582、一盒羽毛球，5 个 5 个的取，最后剩下 1 个；3 个 3 个的取，最后剩下 1 个；2 个 2 个地取，最后还是剩下 1 个。这盒羽毛球最少有多少个？六、质数与合数1、一个数只有 1 和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。（只有 2 个因数）2、一个数除了 1 和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。（有 2 个以上的因数）3、1 既不是质数也不是合数。（1 的因数只有一个）注意：质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。最小的质数是 2，最小的合数是

10、 4。2 是唯一一个既是偶数又是质数的数。自然数（0 除外）可以分成质数、合数和 1.练习：（1）判断：2 既不是素数，又不是合数。（）9 是奇数也是素数。（）一个自然数（0 除外），如果不是素数就是合数。（）（2） 最小的自然数是（），最小的素数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。10 以内的素数有（），合数有（）。20 以内既是合数又是奇数的数有（）。50 以内最大的质数与最小的合数乘积是（）。有两个数都是质数，这两个数的和是 8，两个数的积是 15，这两个数是（）和（）。既不是质数，又不是偶数的最小自然数是（）；既是质数，又是偶数的最小自然数是（）；既是奇数，又是质数的最小自然数

11、是（）；既是偶数，又是合数的最小自然数是（）。既是奇数又是合数的最小自然数是（）。一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数， 个位上既是奇数又是合数，这个数是（）。一个合数至少有（）个因数。一个三位数既有因数 2，又是 5 的倍数，百位上是最小的质数，十位上是最大的一位奇数， 这个数是（）。（3） 在括号里填上合适的素数（质数）。8=（）+（）9=（）+（）12=（）+（）15=（）+（）18=（）+（）24=（）+（） 七、质因数与分解质因数1、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 1 没有质因子。 5 只有 1 个质因子，5 本身。（5 是

12、质数。） 6 的质因子是 2 和 3。(6 = 2 3) 2、4、8、16 等只有 1 个质因子：2（2 是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。） 10 有 2 个质因子：2 和 5。(10 = 2 5)2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。方法：短除法或塔形分解法。练习：（1）先找出下面的合数，再把它们分解质因数。112036495372（2） 下面的式子，（）是分解质因数。a、54=239b、42=237c、15=351d、20=45（3） 两个质数的和是 22，积是 85，这两个质数是（）和（）。（4） 一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上

13、是最小的奇数， 这个三位数是（），它同时是质数（）和（）的倍数。八、公因数与最大公因数几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。方法：找出小数的因数，在小数的因数中筛选大数的因数。例 1：找出下面每组数的最大公因数。6 和 158 和 161 和 2030 和 68 和 99 和 25.注意：1、公因数的个数是有限的。2、几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。最大公因数只有 1 个。3、不同的两个数至少有 1 个公因数 1。4、用短除法可以找出最大公因数，共有的质因数的积就是最大公因数。练习：（1）25 和 40 的因数，公因数分别填在下面的圈里。25 的因数40 的因数（2）在每

14、个分数后面的括号中写上分子、分母的最大公因数。415（）（）92792925 和 40 的公因数（）（）1530例 2、找出每组数的最大公因数。a：5 和 158 和 1610 和 203 和 9发现：倍数关系，最大公因数是小数。反之，最大公因数是小数，这两个数就是倍数关系。b、9 和 71 和 711 和 123 和 11发现：互质关系，最大公因数是 1.反之，最大公因数是 1，这两个数就互质。当两个数的公因数或最大公因数是 1 时，我们就说这两个数互质。练习：（1）写出下面每组数的最大公因数。12 和 24（）；18 和 19（）；5 和 17（）；14 和 42（）；8 和 9（）；11

15、 和 4（）；12 和 6（）；6 和 8（）；13 和 39（）；35 和 7（）。（2） 一个数既是 12 的因数又是 18 的因数，这个数最大是（）。4a=b(a、b0)，a 和 b 的最大公因数是（）。如果 a=235，b=237，那么 a 和 b 的最大公因数是（）。（3） 判断：两个合数的最大公因数不可能是 1.（ ） 两个数的公因数一定比这两个数小。（ ） 3 和 4 没有公因数。（ ）a 是 b 的倍数，那么 a、b 的最大公因数是 a。（ ） 两个数的公因数一定是这两个数的因数。（ ）例 3、(1)王先生准备将家里的贮藏室铺上地板。贮藏室长 16 分米，宽 12 分米，如果都

16、使用整块的地砖，可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？在一张长 40 厘米，宽 32 厘米的长方形铁皮上剪同样大小且面积最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形边长是多少厘米？在一间长 6 米、宽 4 米的教室里铺同样大小的正方形地板，已知市场上有边长 6 分米和 5 分米的正方形地砖，选哪种型号比较合适？为什么？（2） 两根彩带，一根长 15 厘米，另一根长 20 厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？两根铁丝，一根 16 厘米，一根 28 厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？（3） 赵阿姨买回一条 50 分米长的红彩带和一条 43 分米长

17、的绿彩带，分别把它们裁成同样长的小段，结果红彩带剩余 2 分米，绿彩带剩余 3 分米。所裁成的小段最长是多少分米？ 分别能裁成多少段这样长度相等的小段？（4） 五（2）班男生 30 人，女生 25 人，把它们分成若干小组，如果每组中男生人数相同， 女生人数也相同，最多可以分成几个小组？每组中的男生和女生各多少人？（5） 有 36 支铅笔和 40 本练习本平均奖给几个三好学生，结果铅笔多 1 支，练习本多 2 本， 得奖的三好学生至少有多少人？（6） 按要求写出两个数，使最大公因数是 1两个数都是合数：（）和（） 两个数都是奇数：（）和（）一个偶数和一个奇数：（）和（） 九、公倍数与最小公倍数几

18、个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。方法：先写出较大的数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数。例 1、3 和 4 的公倍数有哪些？其中最小的是几？注意：1、公倍数的个数是无限的，所以在没有限制的条件下在后面要加省略号。2、几个数的公倍数中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。最小公倍数只有 1 个。3、找最小公倍数可以用短除法，所有质因数的积就是这两个数的最小公倍数。练习：找出下面每组数的最小公倍数和最大公因数。10 和 46 和 85 和 104 和 912 和 1016 和 44、两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。例 2、找出下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？（1）5

19、和 611 和 83 和 47 和 4发现：互质关系，最小公倍数是这两个数的积。反之，最小公倍数是积，这两个数互质。（2）3 和 67 和 214 和 81 和 10发现：倍数关系，最小公倍数是大数。反之最小公倍数是大数，这两个数是倍数关系。练习：（1）找出下列每组数的最小公倍数（注意利用互质和倍数关系快速计算，或用短除法）3 和 713 和 395 和 224 和 122 和 1612 和 489 和 47 和 1414 和 5677 和 4424 和 36（2） 判断：两个不同合数的最小公倍数一定不是这两个数的乘积。（） 两个不同素数的最小公倍数一定是这两个数的乘积。（） 两个数的最小公倍

20、数一定比这两个数都大。（）两个数的公倍数的个数是无限的，公因数的个数是有限的。（） 如果 ab=7，那么 a，b 的最小公倍数就是 a。（）两个数的乘积是这两个数的最大公倍数。（）72 是倍数。（）所有的质数都是偶数，所有的合数都是奇数。（）9 和 13 没有最大公因数。（）（3） 任意两个相邻的自然数，它们最大的公因数是（），最小公倍数是（）。例 3：3 路、4 路公交车每天早晨 6 点同时发车，3 路每 4 分钟发一辆，4 路每 6 分钟发一辆，第二次同时发车是什么时间？练习：（1）小王和小张 7 月 10 日同去游泳，小王每 6 天去一次，小张每 8 天去一次，几月几号他们再次同去？（2

21、） 月季花 4 天浇一回水，菊花 6 天浇一回水，今天妈妈同时给它们浇了水，至少再过几天妈妈又同时给两盆花浇水？（3） 公路一侧有一排电线杆，相邻的两根电线杆之间的距离都是 30 米，现在要把相邻的两根电线杆的距离改为 45 米，如果第一根电线杆不必移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？例 4、用一张长 18 厘米，宽 15 厘米的长方形纸，若拼成一个正方形，最少需要多少张？练习：（1）用长 20 厘米，宽 15 厘米的长方形地板，至少用多少块能拼成一个实心正方形？例 5、同学们参加跳绳比赛，若 4 人一组、8 人一组或 10 人一组进行分组练习，都正好分完而没有剩余，则参加跳绳比赛的同学最少有多少人？练习：某校五年级（1）班学生的人数在 3050 之间，假期老师要分配学习小组，若 3 人一组、6 人一组或 8 人一组都恰好分完。请你算一算，这个班共有多少人？（用短除法，分解质因数到每两个都互质，所有质因数的积就是这几个数的最