2021年中考数学北师大版复习八年级下册第一章三角形的证明

1、第一章 三角形的证明,数学八年级下册北师,1等腰三角形,课时1全等三角形和等腰三角形的性质,课时1,1.2020山东菏泽模拟如图,AB,CD相交于点O,OD=OB,A=C,给出下列结论:AODCOB;AD=CB;AB= CD.其中正确的个数为 () A.0B.1 C.2D.3,答案,1.D【解析】OD=OB,A=C,AOD=COB,AODCOB(AAS),正确;AODCOB,AD= CB,OA=OC,OA+OB=OC+OD,AB=CD,正确.故选D,知识点1 全等三角形的判定和性质,2.如图,在平面直角坐标系中,B( 3 ,0),ABOB,AB=1,点B1在y轴上,点A1在第二象限.若ABOA

2、1B1O,则点A1的坐标为 () A.(-1, 3 ) B.(- 3 ,1) C.(-2, 3 ) D.(- 3 ,2,答案,2.A【解析】ABOA1B1O,AB=1,OB= 3 ,ABOB,A1B1=AB=1,OB1=OB= 3 ,A1B1OB1,又点A1在第二象限,点A1的坐标为(-1, 3 ).故选A,知识点1 全等三角形的判定和性质,3.2020山东临沂中考如图,在ABC中,AB=AC,A=40,CDAB,则BCD=() A.40 B.50 C.60 D.70,答案,3.D【解析】AB=AC,A=40,ABC=ACB= 1 2 (180-A)=70,又CDAB,BCD=ABC=70.故

3、选D,知识点2 等腰三角形的性质,4.易错题2020青海中考等腰三角形的一个内角为70,则另外两个内角的度数分别是 () A.55,55B.70,40或70,55 C.70,40D.55,55或70,40,答案,4.D【解析】分两种情况:若等腰三角形的顶角为70,则底角的度数为(180-70)2=55;若等腰三角形的底角为70,则顶角的度数为180-70-70=40.故选D,知识点2 等腰三角形的性质,5.2020广东惠州期中如图,以ABC的顶点B为圆心,BA的长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数为,答案,5.34 【解析】 根据题意,得AB=BD,B=

4、40,ADB= 1 2 (180-40)=70.C=36,DAC=ADB-C=34,知识点2 等腰三角形的性质,6.2020广东汕头潮阳区期末如图,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,则下列结论不正确的是 () A.AB=2BD B.ADBC C.AD平分BAC D.B=C,答案,6.A【解析】AB=AC,D是BC的中点,B=C,ADBC,AD平分BAC,故B,C,D项结论正确.故选A,知识点3 等腰三角形的“三线合一,7.原创题作为“一座21世纪的美术馆”的山西大同美术馆,屋顶由四块相互连接的金字塔形结构组成,从正面看都是等腰三角形,其中一个金字塔形结构(示意图如图所示)的高AD=30

5、m,跨度BC=80 m,则此金字塔形结构的边AB的长为 m,答案,7.50【解析】在ABC中,AB=AC,ADBC,BD=DC= 1 2 BC=40 m.在RtABD中,AB= 2 + 2 =50 m,知识点3 等腰三角形的“三线合一,8.2019江苏无锡月考如图,ABC的周长为32,且AB=AC,AD是ABC的一条角平分线.若ACD的周长为24,则AD的长为,答案,8.8【解析】AB=AC,AD平分BAC,BD=DC.AB+AC+BC=32,即AB+BD+DC+AC=32,AC+DC=16,又AC+DC+AD=24,AD=8,知识点3 等腰三角形的“三线合一,9.如图,在ABC中,AB=AC

6、,AD是BC边上的中线,BEAC于点E,AD与BE相交于点F. (1)求证:CBE=BAD. (2)若CE=FE,求证:AF=2BD,知识点3 等腰三角形的“三线合一,答案,9.【解析】(1)AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,CAD=BAD, C+CAD=90. BEAC,C+CBE=90, CBE=CAD, CBE=BAD. (2)由(1)可知,CBE=FAE,BEC=AEF=90, 又CE=FE,BCEAFE,AF=BC. AD为BC边上的中线,BC=2BD, AF=2BD,知识点3 等腰三角形的“三线合一,1.2019天津河北区二模规定:等腰三角形的顶角与底角度数的比值叫做这

7、个等腰三角形的“特征值”,记作k.若k= 1 2 ,则该等腰三角形的顶角为 () A.30B.36C.45D.60,答案,1.B【解析】在等腰三角形ABC中,B=C,k= 1 2 ,AB=12,5A=180,A=36.故选B,2.如图,AD平分等腰三角形ABC的顶角,点E在AB上,点F在AC上,且DA平分EDF,则下列结论错误的是 () A.BE=CF B.BDE=CDF C.BED=CFD D.BDE=DAE,答案,2.D【解析】AD平分等腰三角形ABC的顶角,EAD=FAD,AB=AC,DA平分EDF,EDA=FDA.在 AED和AFD中, =, =, =, AEDAFD(ASA),AE=

8、AF,AB-AE=AC-AF,BE=CF,故A项结论正确; AD平分等腰三角形ABC的顶角,ADBC,ADB=ADC=90,EDA=FDA,BDE=CDF,故B项结论正确;AEDAFD,AED=AFD,BED=CFD,故C项结论正确;假设BDE=DAE,则DAE+EDA= ADB=90, AED=90,DEAB,但根据条件无法判断DEAB,不能得到BDE=DAE,故D项结论错误.故选D,3.易错题2020山东枣庄期末若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25,则该三角形的底角为() A.32.5B.57.5 C.65或57.5D.32.5或57.5,答案,3.D【解析】分两种情况:当高在三角形

9、内部时,可得顶角是65,根据等腰三角形两底角相等,可得底角是57.5;当高在三角形外部时,可得顶角是115,根据等腰三角形两底角相等,可得底角是32.5.故选D,4.2020四川绵阳中考在螳螂的示意图中,ABDE,ABC是等腰三角形,ABC=124,CDE=72,则ACD= () A.16 B.28 C.44 D.45,答案,4.C【解析】如图,延长ED,交AC于点F,ABC是等腰三角形, ABC=124,A=ACB=28,ABDE, CFD=A=28, ACD=CDE-CFD=72-28=44.故选C,5.2020辽宁大连名校联考如图,已知A(0,0),B(2,0),C(3,3),如果在平面

10、直角坐标系中存在一点D,使得ABD与ABC全等,那么点D的坐标为,答案,5.(3,-3),(-1,3)或(-1,-3)【解析】如图,点D的坐标为(3,-3),(-1,3)或(-1,-3,6.2019浙江衢州中考改编“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若BDE=75,则CDE的度数是,答案,6.80【解析】OC=CD=DE,O=ODC,DCE=DEC,DEC=DCE=O+ODC=2ODC,又BDE=O+DEC,BD

11、E=3ODC=75,ODC=25,CDE=180-BDE-ODC=80,7.2020湖南衡阳期末如图,在等腰三角形ABC中,AC=BC=5,AB=6,D为底边AB上一动点(不与点A,B重合),DEAC, DFBC,垂足分别为点E,F,则DE+DF,答案,7.4.8【解析】如图,连接CD,过点C作CGAB于点G,AC=BC=5,AB=6,BG=3,CG= 2 2 = 5 2 3 2 =4. DEAC,DFBC,SABC=SACD+SDCB,ABCG=ACDE+BCDF,64=5(DE+DF),DE+DF=4.8,8.如图,已知AB=AE,B=E,BC=ED,点F是CD的中点. 求证:AFCD,答

12、案,8.【解析】连接AC,AD. 在ABC和AED中,AB=AE,B=E,BC=ED, ABCAED,AC=AD,ACD是等腰三角形, 又点F是CD的中点,即AF是等腰三角形ACD的中线, AFCD,9.2020北京六校联考在ABC中,AB=AC. (1)如图1,若BAD=30,AD是BC边上的高,AD=AE,则CDE=. (2)如图2,若BAD=40,AD是BC边上的高,AD=AE,则CDE=. (3)思考:通过以上两问,你发现BAD与CDE之间有什么关系? 请用式子表示出来:. (4)如图3,若AD不是BC边上的高,但AD=AE,是否仍有上述关系?请说明理由,答案,9.【解析】(1)15

13、AB=AC,BAD=30,AD是BC边上的高,DAC=BAD=30,ADC=90,又AD=AE,ADE=AED= 1 2 (180-DAE)=75,CDE=90-ADE=15. (2)20 AB=AC,BAD=40,AD是BC边上的高,DAC=BAD=40,ADC=90,又AD=AE,ADE=AED= 1 2 (180-DAE)=70,CDE=ADC-ADE=20. (3)BAD=2CDE(或CDE= 1 2 BAD) (4)仍有上述关系.理由如下: ADC=B+BAD,ADC=ADE+CDE, B+BAD=ADE+CDE. AB=AC,AD=AE, B=C,ADE=AED,答案,B+BAD=

14、AED+CDE, 又AED=C+CDE, B+BAD=C+CDE+CDE=C+2CDE, BAD=2CDE,这是一道从特殊到一般的题目,解决这类问题的一般步骤:先从特殊情况中发现规律,并把规律表示出来,再去验证这个规律对一般情况是否成立,最后运用所发现的规律解决问题.本题中,验证规律成立的关键是运用等腰三角形的性质发现角之间的关系,名师点睛,课时2等边三角形的性质,课时2,1.在等腰三角形ABC中,AB=AC,下列说法错误的是 () A.BC边上的高和中线互相重合 B.AB,AC边上的中线相等 C.在ABC中,顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等 D.AB,BC边上的高相等,答案,1.D

15、,知识点1 等腰三角形中的相等线段问题,2.如图,在ABC中,AB=AC,给出的下列条件中,不能使BD=CE的是 () A.BD,CE分别为AC,AB边上的高 B.BD,CE分别为AC,AB边上的中线 C.ABD= 1 3 ABC,ACE= 1 3 ACB D.ABD=BCE,答案,2.D【解析】在ABC中,AB=AC,则ABC=ACB,A项,由BD,CE分别为AC,AB边上的高,易得BCDCBE,可得BD=CE;B项,由BD,CE分别为AC,AB边上的中线,易得BCDCBE,可得BD=CE;C项,由ABD= 1 3 ABC, ACE= 1 3 ACB,可得ABD=ACE,易得ABDACE,可

16、得BD=CE;D项,由ABD=BCE,不能得到BD=CE.故选D,知识点1 等腰三角形中的相等线段问题,3.如图,ABC是等边三角形,则1+2的度数为 () A.60B.90 C.120D.150,答案,3.C【解析】ABC是等边三角形,BAC=60,1+2=180-BAC=120.故选C,知识点2 等边三角形的性质,4.2019甘肃兰州模拟如图,若等边三角形ABC的周长为18,则BC边上的高AD的长为 () A.3B.3 3 C.6D.6 3,答案,4.B【解析】ABC是等边三角形,且周长为18,AB=BC=AC= 1 3 18=6,又ADBC,BD=CD=3, AD= 2 2 =3 3 .

17、故选B,知识点2 等边三角形的性质,等边三角形的相关性质 (1)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性质;(3)等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合,即“三线合一,归纳总结,5.如图,ABC是等边三角形,BC=BD,BAD=20,则BCD的度数为 () A.50B.55 C.60D.65,答案,5.A【解析】ABC是等边三角形,ABC=60,AB=BC.BC=BD,AB=BD,BAD=BDA=20, ABD=180-20-20=140,CBD=ABD-ABC=80,BCD=BDC= 1 2 (180-80)=50.故

18、选A,知识点2 等边三角形的性质,6.2020广东六校联考如图,将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形,则图中+的度数是,答案,6.240,知识点2 等边三角形的性质,7.2020河南商丘一模三个等边三角形的位置如图所示,若3=50,则1+2,答案,7.130【解析】如图,三个三角形均为等边三角形,3=50,ABC=180-60-50= 70.ACB=180-60-2=120-2,BAC=180-60-1=120-1,ABC+ACB+ BAC= 180,70+(120-2)+(120-1)=180,1+2=130,知识点2 等边三角形的性质,8.如图,已知ABC是等边三角形,D是AC的中点

19、,延长BC至点E,使CE=CD,过点D作DFBE于点F.求证:点F是BE的中点,知识点2 等边三角形的性质,答案,8.【解析】如图,连接BD, ABC是等边三角形,D是AC的中点, BD平分ABC,ABC=ACB=60, CBD= 1 2 ABC=30. CE=CD,E=CDE, 又ACB=E+CDE, E=CDE=30, DBC=E, DB=DE, 又DFBE, FB=FE,即点F是BE的中点,知识点2 等边三角形的性质,9.2020福建三明期末ABC是等边三角形,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DEF=60. (1)如图1,若1=50,求2. (2)如图2,连接DF,若1=3,求

20、证:DFBC,知识点2 等边三角形的性质,答案,9.【解析】(1)ABC是等边三角形, B=A=C=60. B+1+DEB=180,DEB+DEF+2=180,DEF=60, 1=2, 又1=50,2=50. (2)由(1)知2=1, 1=3,2=3, DFBC,知识点2 等边三角形的性质,1.如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OBC的边长为4,则点C的坐标为 () A.(4,-2) B.(4,2) C.(2 3 ,-2) D.(-2,2 3,答案,1.C【解析】由题意知,点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(0,-4),因为OBC为等边三角形,所以点C在OB的垂直平分线上,所以点C的纵坐标

21、为-2,横坐标为OBC的边OB上的高,即2 3 ,所以点C的坐标为(2 3 ,-2).故选C,2.2020江苏扬州邗江区二模如图,直线l1l2,等边三角形ABC的顶点C在直线l2上,若1=40,则2的度数为 () A.100B.110 C.120D.140,答案,2.A【解析】如图,ABC是等边三角形,A=60,1=40, 3=1= 40, 4=60+40=100,l1l2,2=4=100.故选A,3.2020浙江宁波模拟如图,ABC为等边三角形,BD是ABC的角平分线,点F在线段BD上移动,直线CF与AB交于点E,连接AF,当AE=AF时,BCE的度数为 () A.15B.20 C.25D.

22、30,答案,3.B【解析】ABC为等边三角形,BD是ABC的角平分线,AB=BC,ABC=60,BDAC,ABD= CBD= 30,又BF=BF,ABFCBF(SAS),BAF=BCF,设BAF=BCF=,则AEF=ABC+BCE=60+, AE= AF,AFE=AEF=60+,60+60+=180,=20,即BCE=20.故选B,4.2019辽宁营口模拟等边三角形ABC的顶点A,B分别在如图所示的网格图的格点上,网格中每个小正方形的边长均为1,则的度数为,答案,4.15【解析】如图,OBE=BOE=45,ABC为等边三角形,ABC= 60, EBC=60-45=15,=EBC=15,5.20

23、19陕西宝鸡一中月考如图,ABC与DEF为等边三角形,其边长分别为a,b,则AEF的周长为,答案,5.a+b【解析】ABC与DEF为等边三角形,A=B=DFE=60,EF=DF,BFD+BDF=120, BFD+ AFE=120,AFE=BDF,AEFBFD(AAS),AE=BF,AEF的周长为AF+AE+EF=AF+ BF+EF=a+b,6.如图,ABD与AEC都是等边三角形,ABAC.给出下列结论:BE=CD;BOD=60;DBO=OCE.其中正确的是.(填序号,答案,6.【解析】ABD与AEC都是等边三角形,AD=AB,AC=AE,DAB=CAE=60,DAC=BAC+60, BAE=B

24、AC+60,DAC=BAE,DACBAE,DC=BE,故正确;DACBAE,ADC= ABE, BOD=180-BDO-DBO=180-(60-ADC)-(60+ABE)=60,故正确;DACBAE,ADC=ABE, ACD=AEB,由ABAC易得ABEACD,DBOOCE,故不正确.故正确的是,7.2020辽宁沈阳和平区期末如图,ABC是等边三角形,ACE是等腰三角形,AEC=120,AE=CE,AF平分BAC. (1)BAE的度数为; (2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由,答案,7.【解析】(1)90 ABC是等边三角形,BAC=60.EA=EC,AEC=120,CAE=ACE=30

25、,BAE=BAC+CAE=90. (2)AFCE.理由如下: ABC是等边三角形,AF平分BAC, AFBC,ACB=60. 由(1)知ACE=30, BCE=ACB+ACE=90, ECBC, AFCE,8.2020河北石家庄期末在复习课上,老师布置了一道思考题: 如图,点M,N分别在等边三角形ABC的边BC,AC上,且BM=CN,AM与BN相交于点Q.求证:BQM=60. (1)请你完成这道思考题. (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了思考,提出了许多问题,例如: 若已知BQM=60,其他条件不变,则BM=CN是否成立? 若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,其他条件

26、不变,则是否仍能得到BQM=60? 请你选择其中一个问题,给出证明过程,答案,8.【解析】(1)ABC是等边三角形, AB=BC,ABC=ACB=60. 在ABM和BCN中, =, =, =, ABMBCN(SAS),BAM=CBN. QBA+CBN=ABC=60, QBA+BAM=60,BQM=60. (2)成立.证明如下: ABC是等边三角形, AB=BC,ABC=ACB=60. BQM=60,QBA+BAM=60. QBA+CBN=ABC=60,BAM=CBN. 在ABM和BCN中, =, =,答案,ABMBCN(ASA),BM=CN. 仍能得到BQM=60.证明如下: 如图,ABC是等

27、边三角形, AB=BC=AC,BAC=ACB=60,ACM=BAN=120. BM=CN,BM-BC=CN-AC,即CM=AN. 在BAN和ACM中, =, =, =, BANACM(SAS),NBA=MAC, BQM=BNA+NAQ=BNA+MAC=BNA+NBA=BAC=60. 故仍能得到BQM=60. (选择其中一个证明即可,课时3等腰三角形的判定与反证法,课时3,1.已知ABC三个内角的对边分别为a,b,c,则下列条件中,不能判定ABC是等腰三角形的是 () A.a=3,b=3,c=4B.abc=456 C.B=50,C=80D.ABC=112,答案,1.B【解析】A项,a=3,b=3

28、,c=4,a=b,ABC是等腰三角形;B项,abc=456,abc,ABC不是等腰三角形;C项,B=50,C=80,A=180-B-C=50,A=B,AC=BC,ABC是等腰三角形;D项, ABC=112,A=B,AC=BC,ABC是等腰三角形.故选B,知识点1 等腰三角形的判定,2.原创题如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=36.将A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.求证: BC=CE,答案,2.【解析】AB=AC,A=36, B= 1 2 (180-36)=72. 由折叠的性质可得A=ECD=36, BEC=A+ECD=36+36=72, BEC=B, BC=CE,知识点1 等腰三

29、角形的判定,3.下列数可以用来说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的是 () A.3B.4C.8D.6,答案,3.D【解析】A项,3不是偶数;B项,4是偶数,且能被4整除;C项,8是偶数,且是4的2倍;D项,6是偶数,但不能被4整除.故选D,知识点2 反证法,4.用反证法证明“在三角形中,至少有一个内角大于或等于60”时,应先假设,答案,4.在三角形中,没有一个内角大于或等于60,知识点2 反证法,5.用反证法证明:等腰三角形的两底角必为锐角. 证明:假设等腰三角形ABC的底角B,C都是直角,则+=,从而180,这与矛盾. 假设等腰三角形ABC的底角B,C都是钝角,则B+C180,从而,

30、这与矛盾. 综上所述,假设, 所以B,C只能为. 故等腰三角形的两底角必为锐角,答案,5.BC180A+B+C三角形三个内角的和等于180A+B+C180三角形三个内角的和等于180均不成立锐角,知识点2 反证法,知识点2 反证法,反证法的解题步骤 (1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能情况,如果结论的反面只有一种情况,那么否定一种就可以了,如果结论的反面有多种情况,那么必须一一否定,归纳总结,6.如图,在ABC中,B=C,点D,E分别是边AB,AC上的点,AE=2 cm,且DEBC,则AD=cm,答案,6.

31、2【解析】DEBC,ADE=B,AED=C,又B=C,ADE=AED,AD=AE=2 cm,知识点3 等腰三角形判定的应用,7.如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点P,过点P作DEBC交AB于点D,交AC于点E,若BD=5,CE=4,则DE的长为,答案,7.9【解析】BP,CP分别是ABC和ACB的平分线,DBP=PBC,ECP=PCB.DEBC, DPB= PBC,EPC=PCB,DPB=DBP,ECP=EPC,DP=BD,PE=CE.BD=5,CE=4,DP=5,PE=4,DE=9,知识点3 等腰三角形判定的应用,8.如图是某斜拉桥的剖面图.BC是桥面,AD是桥墩,设计大桥时工

32、程师要求斜拉的钢绳AB等于AC.大桥建成后,工程技术人员要对大桥质量进行验收,由于桥墩AD很高,无法直接测量钢绳AB,AC的长度.请你用两种方法检验AB,AC的长度是否相等.(检验工具有刻度尺、量角器,检验时,人只能站在桥面上,答案,8.【解析】方法1:用量角器度量B,C的大小,若B=C,则AB=AC(等角对等边). 方法2:如图,用刻度尺在B,C的两边上分别度量BE,CF,BP,CQ的长度(使EP,FQ的长度可以度量),使BE=CF,BP=CQ,再度量EP,FQ的长度,若EP=FQ,结合BE=CF,BP=CQ,可得BEPCFQ,所以B=C,所以AB=AC. (方法合理即可,知识点3 等腰三角

33、形判定的应用,9.2020河南期末如图,点O是ABC的边AC上的一个动点,过点O作直线MNBC,MN交ACB的平分线于点E,交ACD的平分线于点F. (1)求证:OE=OF. (2)若CE=8,CF=6,求OE的长,知识点3 等腰三角形判定的应用,答案,9.【解析】(1)如图,MN交ACB的平分线于点E,交ACD的平分线于点F, 2=5,4=6. MNBC,1=5,3=6, 1=2,3=4, OE=OC,OF=OC, OE=OF. (2)如图,2=5,4=6, 2+4=5+6=90. CE=8,CF=6, EF= 8 2 + 6 2 =10, 由(1)得EF=2OE,OE= 1 2 EF=5,

34、知识点3 等腰三角形判定的应用,1.2019浙江衢州期末用反证法证明命题“在ABC中,若AB+C,则A90”时,可以先假设 () A.A90B.A90 C.A90D.A90,答案,1.B,2.如图,点O是ABC中ABC与ACB的平分线的交点,ODAB交BC于点D,OEAC交BC于点E,若ODE的周长为20 cm,则BC的长为() A.16 cmB.18 cm C.20 cmD.22 cm,答案,2.C【解析】ODAB,ABO=BOD.BO平分ABC,ABO=OBD,OBD=BOD,BD=OD.同理可得CE=OE,ODE的周长为20 cm,OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=20 cm.故

35、选C,1)等腰三角形判定定理的主要作用是证明两条线段相等,即将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系;(2)一般情况下,在同一个三角形中,“欲证边相等,先证角相等”“欲证角相等,先证边相等”,这是等腰三角形的判定与性质在解题中的具体体现;(3)判定等腰三角形,除了“等角对等边”,还可应用等腰三角形的定义,即有两边相等的三角形是等腰三角形,名师点睛,3.易错题2020黑龙江哈尔滨一模在ABC中,AB=AC,BAC90,点E在边BC上,要使ABE和ACE都为等腰三角形,则EAC,答案,3.36或72【解析】如图1,当B=BAE,CEA=CAE时,EB=EA,CA=CE,设B=BAE=x,则AEC=

36、CAE= 2x,AB=AC,B=C=x,CEA+CAE+C=180,5x=180,x=36,EAC=72;如图2,当C=CAE, BEA=BAE时,同理可得EAC=36.综上,EAC的度数为36或72,4.如图,在ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,BAD=BCE,AD与CE相交于点F,试判断AFC的形状,并说明理由,答案,4.【解析】AFC是等腰三角形.理由如下: 在BAD与BCE中,B=B,BAD=BCE,BD=BE, BADBCE,BA=BC, BAC=BCA,BAC-BAD=BCA-BCE, 即FAC=FCA,AF=CF, AFC是等腰三角形,5.如图,在ABC中,AB=

37、AC,在AB边上取点D,在AC的延长线上取点E,使得BD=CE,连接DE,交BC于点G.求证:DG=GE,答案,5.【解析】解法一如图1,过点D作DFAC,交BC于点F, 则DFG=ECG,DFB=ACB. AB=AC,B=ACB, B=DFB,BD=DF. BD=CE,DF=EC, 又DFG=ECG,DGF=EGC, DFGECG,DG=GE,答案,解法二如图2,过点E作EMAB,交BC的延长线于点M. AB=AC,B=ACB, EMAB,M=B, ACB=MCE,M=MCE, CE=ME. BD=CE,BD=ME. 在DGB与EGM中, =, =, =, DGBEGM(AAS), DG=G

38、E,6.2019辽宁大连西岗区期末如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为底边BC的延长线上任意一点,过点D作DEAB,与AC的延长线交于点E. (1)CDE的形状是; (2)在AC上截取AF=CE,连接BF,DF,判断BF,DF的数量关系,并给出证明,答案,6.【解析】(1)等腰三角形 AB=AC,ABC=ACB. DEAB,ABC=CDE, 又ACB=DCE, DCE=CDE,CE=DE, CDE是等腰三角形. (2)BF=DF.证明如下: ABDE,A=E. AF=CE,CE=DE, AF=DE,AF+CF=CE+CF,AC=EF=AB. 在AFB与EDF中, =, =, =, AF

39、BEDF(SAS), BF=DF,7.2020浙江金华模拟如图,在ABC中,AB=AC=2,B=40,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作ADE=40,DE交线段AC于点E. (1)当BDA=115时,BAD=;点D从点B向点C运动的过程中,BDA逐渐变(填“大”或“小”). (2)当DC等于多少时,ABDDCE?请说明理由. (3)当BDA为多少度时,ADE是等腰三角形,答案,7.【解析】(1)25小 当BDA=115时,BAD=180-B-BDA=25;由题图可知,在点D从点B向点C运动的过程中,BDA逐渐变小. (2)当DC=AB=2时,ABDDCE.理由如下: A

40、B=AC,B=C,答案,ADC=ADE+CDE=B+BAD,ADE=B=40, BAD=CDE, 又AB=DC,ABDDCE. (3)AB=AC,B=40,C=B=40. 当ADE为等腰三角形时, 若AD=DE,则DAE=DEA= 1 2 (180-ADE)=70, BDA=DAE+C=110; 若AE=DE,则DAE=ADE=40, BDA=DAE+C=80; 若AD=AE,则AED=ADE=40, 此时AED=C,点D与点B重合,不符合题意. 综上所述,当BDA为110或80时,ADE为等腰三角形,课时4等边三角形的判定与含30角的直角三角形 的性质,课时4,1.下列三角形中,不一定是等边

41、三角形的是 () A.有两个角等于60的三角形 B.有一个外角等于120的等腰三角形 C.三个角都相等的三角形 D.一边上的高也是这边上的中线的三角形,答案,1.D【解析】D项,由“一边上的高也是这边上的中线”只能得到等腰三角形,不一定是等边三角形.故选D,知识点1 等边三角形的判定,2.在ABC中,已知AB=AC,A=C,则对ABC的形状描述最准确的是 () A.ABC是等腰三角形 B.ABC是等腰直角三角形 C.ABC是等边三角形 D.不能确定,答案,2.C【解析】AB=AC,B=C,又A=C,A=B=C,ABC为等边三角形.故选C,知识点1 等边三角形的判定,3.2019安徽芜湖期中如图

42、,已知ABC是等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分ACD,且CE=BD.求证:ADE为等边三角形,知识点1 等边三角形的判定,答案,3.【解析】如图,ABC为等边三角形, B=ACB=60,AB=AC, ACD=180-ACB=120. CE平分ACD,1=2=60. 在ABD和ACE中, =, =1, =, ABDACE(SAS), AD=AE,BAD=CAE, BAD-CAD=CAE-CAD,即BAC=DAE, 又BAC=60,DAE=60, ADE为等边三角形,知识点1 等边三角形的判定,4.2019山东济南槐荫区期末如图,AB=AC,DB=DC,ABC=60,BE=3 cm,则

43、AB= cm,答案,4.6【解析】在ABD和ACD中, =, =, =, ABDACD,BAD=CAD.AB=AC,BE=3 cm,EC= BE=3 cm,BC=6 cm.AB=AC,ABC=60,ABC为等边三角形,AB=6 cm,知识点2 等边三角形性质与判定的综合,5.如图,点C为线段AB上一点,ACM,CBN都是等边三角形,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF. 求证:(1)AN=BM; (2)CEF是等边三角形,知识点2 等边三角形性质与判定的综合,答案,5.【解析】 (1)ACM,CBN都是等边三角形, AC=CM,BC=CN,ACM=BCN=60, ACM+MCN=B

44、CN+MCN,即ACN=MCB. 在ACN和MCB中, =, =, =, ACNMCB,AN=BM. (2)ACNMCB,ENC=FBC. ECN=180-ACM-NCB=60, ECN=FCB. 在ECN和FCB中, =, =, =, ECNFCB, CE=CF, 又ECF=60,CEF是等边三角形,知识点2 等边三角形性质与判定的综合,6.2019湖南长沙天心区期末如图,一棵树在一次强台风中从离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30角,这棵树在折断前的高度为 () A.6米B.8米 C.10米D.12米,答案,6.D【解析】C=90,A=30,BC=4米,AB=2BC=8米,这棵树在折断

45、前的高度为4+8=12(米).故选D,知识点3 含30角的直角三角形的性质,7.2020北京海淀区二模如图,在ABC中,AB=BC,ABC=120,过点B作BDBC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长为,答案,7.2【解析】BDBC,CBD=90,ABD=ABC- CBD=120-90=30, AB=BC,ABC=120, A= C=30,A=ABD,BD=AD=1,在RtCBD 中,C=30,CD=2BD=2,知识点3 含30角的直角三角形的性质,8.2020江苏南京模拟图1所示的是某超市入口的双翼闸门,当它的双翼展开时,示意图如图2所示,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的

46、边缘AC=BD=54 cm,且与闸机箱的夹角PCA=BDQ=30.求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度,知识点3 含30角的直角三角形的性质,答案,8.【解析】如图,过点A作AECP于点E,过点B作BFDQ于点F, 在RtACE中,ECA=30,AC=54 cm, AE= 1 2 AC= 1 2 54=27(cm), 同理可得,BF=27 cm. 点A与点B之间的距离为10 cm, 通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm). 答:当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为64 cm,知识点3 含30角的直角三角形的性质,1.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,1

47、=2,BE=CD,则ADE的形状是 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定,答案,1.B【解析】ABC为等边三角形,AB=AC,BAC=60.在ABE和ACD中,AB=AC,1=2,BE=CD, ABEACD(SAS),AE=AD,CAD=BAE=60,ADE是等边三角形.故选B,2.如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM= () A.3B.4 C.5D.6,答案,2.C【解析】如图,过点P作PDOB于点D.在RtOPD中,POD=60,OP=12, OPD= 30, OD= 1 2 OP=6.PM=

48、PN,PDMN,MN=2,MD=DN= 1 2 MN=1,OM= OD-MD=6-1=5.故选C,3.2020山东济南一模如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30方向上,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60方向上,当轮船到达灯塔C的正东方向上的D处时,轮船航程AD是 () A.20海里B.40海里 C.60海里D.80海里,答案,3.C【解析】由题意得CAB=30,CBD=60,ACB=30,BC=BA=220=40.CDB=90,DCB=30, BD= 1 2 BC=20,AD=BD+AB=20+40=60,则轮船航程AD是60海里.

49、故选C,4.2020山东临沂期末如图,在ABC中,AB=AC,D,E是ABC内的两点,AD平分BAC,EBC=E=60.若BE=6 cm, DE=2 cm,则BC的长为 () A.4 cmB.6 cm C.8 cmD.12 cm,答案,4.C【解析】如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N.AB=AC,AD平分BAC, AN BC,BN=CN.EBC=E=60,BEM为等边三角形.BE=6 cm,DE=2 cm,DM= 4 cm.BEM 为等边三角形,EMB=60.ANBC,DNM=90,NDM=30, NM= 1 2 DM=2 cm,BN=6-2=4(cm),BC=2BN=8 cm.

50、故选C,5.2019黑龙江鸡西期末如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个,答案,5.D【解析】如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作MPN=60.OP平分AOB,EOP=POF=60. OP= OE=OF,OPE,OPF是等边三角形,EP=OP,EPO=OEP=POF=60,又MPN=60,EPM=OPN. 在PEM和PON中, =, =, =, PEMPON(ASA),PM=PN.MPN=60,PNM是等边三角形, 只要MPN=60,PMN就是等边三角

51、形,故这样的三角形有无数个.故选D,6.如图,在ABC中,D为AB上一点,AD=CD=BC,且A=30,AD=5,则AB,答案,6.10【解析】A=30,AD=CD,ACD=A=30,BDC=A+ACD=60,又CD=BC,BCD是等边三角形,BD=CD,BD=AD=5,AB=AD+BD=10,7.如图,在四边形ABCD中,A=60,B=D=90,AB=4,CD=2,则BC的长为,答案,7.4 3 -4【解析】如图,分别延长AD,BC交于点O,B=90,A=60,O=30,又AB=4,OA=2AB=8. CDO=90,O=30,CD=2,OC=2CD=4.在RtOAB中,由勾股定理得OB= 2

52、 2 =4 3 ,BC=OB-OC= 4 3 -4,8.如图,在ABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQAD于点Q. 求证:(1)ADCBEA; (2)BP=2PQ,答案,8.【解析】(1)AB=BC=AC,ABC是等边三角形, C=BAC=60, 又AC=BA,CD=AE,ADCBEA. (2)ADCBEA,CAD=ABE. CAD+BAD=60, ABE+BAD=60,BPQ=60, 又BQAD,PBQ=30, BP=2PQ,9.如图,在等边三角形ABC中,AB=9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm

53、/s的速度运动.P,Q两点同时出发,它们运动的时间为t s. (1)当点Q在AB上运动时, 你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来; 经过几秒,PBQ为等边三角形? (2)若P,Q两点都按顺时针方向沿ABC三边运动,请问经过几秒,点P与点Q第一次相遇在ABC的哪条边上,答案,9.【解析】(1)ABC为等边三角形,BC=AB=9 cm. 点P的运动速度为2 cm/s,运动时间为t s,BP=BC-CP=(9-2t)cm. 点Q的运动速度为5 cm/s,运动时间为t s, BQ=5t cm. 若PBQ为等边三角形,则BP=BQ, 即9-2t=5t,解得t= 9 7 , 经过 9 7 s,PB

54、Q为等边三角形. (2)设经过t0 s,点P与点Q第一次相遇. 根据题意得,5t0-2t0=18,解得t0=6, 即经过6 s,点P与点Q第一次相遇. 此时,点P运动的路程为26=12(cm), 而91218,此时点P在AB边上, 经过6 s,点P与点Q第一次相遇在AB边上,专项1有关等腰三角形的 性质与判定的应用,1.如图,在等边三角形ABC中,BD平分ABC交AC于点D,过点D作DEBC于点E,若CE=1.5,则AB的长为 () A.3B.4.5 C.6D.7.5,答案,1.C【解析】ABC是等边三角形,ABC=C=60,AB=BC=AC,DEBC,CDE=30,CE=1.5,CD= 2C

55、E=3. BD平分ABC交AC于点D,AD=CD=3,AB=AC=AD+CD=6.故选C,类型1 求线段的长度,2.2020湖北荆门中考如图,ABC中,AB=AC,BAC=120,BC=2 3 ,D为BC的中点,AE= 1 4 AB,则EBD的面积为 () A. 3 3 4 B. 3 3 8 C. 3 4 D. 3 8,答案,2.B【解析】如图,连接AD,AB=AC,BAC=120,D为BC的中点,ADBC,B=C=30,BD= 1 2 BC= 3 .在RtABD中,B=30,AB=2AD,根据勾股定理,得AB2-AD2=BD2,即3AD2=3,AD=1.AE= 1 4 AB,SEBD= 3

56、4 SABD= 3 4 1 2 BDAD= 3 3 8 .故选B,类型1 求线段的长度,3.2019广东广州番禺区期末如图,在ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若CAE=16,则B的大小为 () A.32B.36 C.37D.74,答案,3.C【解析】AD=AC,E是CD的中点,AECD,ADC=C,AEC=90,ADC=C=90-CAE=74. AD=BD,B=BAD= 1 2 ADC=37.故选C,类型2 求角度,4.2020广东江门期末如图,在ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BE=CF,BD=CE. (1)求证:DEF是等腰三角形

57、. (2)当A=40时,求DEF的度数,类型2 求角度,答案,4.【解析】(1)AB=AC,B=C. 在DBE和ECF中, =, =, =, DBEECF(SAS),DE=EF, DEF是等腰三角形. (2)由(1)知DBEECF,BDE=CEF. AB=AC,A=40, B= 1 2 (180-40)=70, BDE+BED=110,CEF+BED=110, DEF=180-(CEF+BED)=70,类型2 求角度,5.如图,已知RtABC中,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,交BD的延长线于点E,BA,CE的延长线相交于点F. 求证:(1)BCF是等腰三角形; (2)BD=2CE,答案

58、,5.【解析】(1)BD平分ABC,FBE=CBE. CEBD,BEF=BEC=90, 又BE=BE,BEFBEC, BF=BC,BCF是等腰三角形. (2)BF=BC,CEBD,CF=2CE. ABD+ADB=90,ABD+AFC=90, ADB=AFC, 又AB=AC,BAD=CAF=90, ABDACF,BD=CF=2CE,类型3 证明线段的等量关系,6.2020安徽池州期末如图,ABC是等边三角形,D是AC边上一点,DEAB,并交BC于点E. (1)求证:CDE是等边三角形. (2)连接BD,延长BC至点F,使得FD=BD.求证:AD=CF,答案,6.【解析】(1)ABC是等边三角形,

59、 A=ABC=ACB=60. DEAB,CDE=A=60,DEC=ABC=60, CDE=DEC=DCE=60, CDE是等边三角形,类型3 证明线段的等量关系,答案,2)如图,过点D作BC的平行线交AB于点G. 同理(1)可以证明ADG是等边三角形, 则AG=AD=GD, BG=CD. ABC是等边三角形,ACB=ABC=60, CDF+DFB=60. FD=BD,DBF=DFB, 又DBF+GBD=ABC=60,CDF=GBD. 在CDF和GBD中, =, =, =, CDFGBD,CF=GD, AD=CF,类型3 证明线段的等量关系,易错疑难集训,集训,1.已知一个等腰三角形的腰长为5,

60、底边长为4,底角为.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是 () A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为 B.两个角是,它们的夹边长为4 C.三条边长分别是4,5,5 D.两条边长是5,一个角是,答案,1.D【解析】选项A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”, 选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”,选项C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”,因此,它们都能确定该三角形与已知三角形全等.故选D,易错点1 定理用对了吗,2.如图,在ABC中,AB=AC,BDAC,垂足为D,A=40,则DBC的度数为,答案,2.20【解析】在ABC中,AB=AC,A=40