北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程学案：一元二次方程的概念与解法讲义(不含答案)

1、一元二次方程的概念与解法讲义【学习目标】1了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；2了解一元二次方程的根的意义；3能够根据一元二次方程的定义求解待定字母的值；4会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程【教学重难点】掌握一元二次方程的解法考点 1：一元二次方程的概念知识点与方法技巧梳理：1一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元二次方程我们把 ax22， bx，c 分别称为bx c 0（ a，b，c 为常数， a0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项

2、系数【例 1】 1 下列方程：2x211 ； 2 x25xy y20 ； 7x 210 ； y 20 3x2其中一元二次方程是（）A 和B和C和D和【变式】 下列方程是一元二次方程的是（）A y 2 0B x 2 y 1 0C x3 2x 1 0D x2 x 2 0x【例 2】关于 x 的方程 (m2) xm 2 2mx 10 是一元二次方程，则 m _【变式1】已知 (4m)x m2(m4) x30是关于 x 的一元二次方程，则m _【变式2】若 x1是关于 x 的一元二次方程ax2bx c0（ a0）的一个根，求代数式2016( a b c)2的值【例 3】把一元二次方程( x1)( x2

3、)2(x 21) 化成一般形式为 _ 【变式】 把一元二次方程(82x)(52x)18 化成一般形式 _ 考点 2：用直接开平方法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：直接开平方法：如果方程(xm) 2n （ n 0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解【例】 用直接开平方法解下列方程：（ 1） x2250（2） 12( x1)290【变式】 用直接开平方法解下列方程：（ 1） m214（2） 4(3x1)2124第 1页（ 3） 1600(2x1) 2900（4）1(2x 1) 28 02（ 5） (3 x 2) 2(x 4)2（6） 4( x 2) 2(2 x 3)2考点 3：用配方法解一

4、元二次方程知识点与方法技巧梳理：配方法 ：通过配成完全平方公式的方法来求出方程的解用配方法解一元二次方程 ax2 bx c 0（ a 0）的一般步骤是：化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使得方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；化原方程为( xm)2n ；如果 n0 就可以用两边直接开平方法来求出方程的解；如果n0，则原方程无实数解注意： 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2( x 4)2 3( x 4) 中，不能随便约去 ( x 4) 【例】 用配方法解下列方程：（ 1） x214 x7（2） x23x 3 9x

5、5【变式】 用配方法解下列方程：（ 1）x24x3 0（ ） x212x2802（ 3） 2x212x9（4） 4x 24x116（ 5） x2x 13x 2（ 6） x24x 1 2x 3考点 4：用公式法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：公式法： 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法求根公式是通过配方推导出来的一元二次方程 ax2 bxc 0（ a 0）的求根公式是 xbb24ac （b 4ac 0）22a应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定系数 a、b、 c 的值；求出 b 2 4ac 的值； 若 b24ac 0，则代入求根公式，求出x1、x

6、2；若 b 24ac 0，则方程无实数解【例】 用公式法解下列方程：（ 1） x23x2 0（ 2） (x 1)( x 2) 2x 5【变式】 用公式法解下列方程：（ 1） x22x8 0（ 2） 2x 27x 2 0（ 3） x23x1（ 4） x( x 2 2) 5 04考点 5：用因式分解法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：因式分解法： 用因式分解求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法因式分解法的理论根据是：由ab 0 可得 a 0 或 b 0第 2页因式分解法的步 是：将方程右 化 0；将方程左 分解 两个一次因式的乘 （提公因式或乘法公式或十字相乘法等）令每个因式等于 0，得到两个

7、一元一次方程，解 两个方程，它 的解就是原一元二次方程的解注意： 方程两 不能随便 去含有未知数的代数式如 2( x 4) 2 3(x 4) 中，不能随便 去 ( x 4) 解一元二次方程 一般不使用配方法（除特 要求外），但又必 熟 掌握解一元二次方程的一般 序是：开平方法 因式分解法 公式法【例】 用因式分解法解下列方程：（ 1） x23x2 0（2） 6x 27x 1 0（ 3） 7x22x（4） 3x(2 x3)2 x3【 式】 用因式分解法解下列方程：（ 1） 3xx2（2） 4x(2 x1)3(2 x 1)（ 3） 2x(3 x 1) 3x 1（4） 3( x2) 24(2x)（

8、5） x2 2x 15 0（6） 4x2 6x 10 0【能力提升】1已知1x m 1( m 1)x4 0 是关于 x 的一元二次方程， m 的 _m12关于 x 的方程是 ( m2 1 ) x2 ( m 1 ) x 2 0当 m_ ，方程 一元二次方程；当m_ ，方程 一元一次方程3已知关于 x 的一元二次方程(a 1)x2xa 2 1 有一个根 0， a 的 _4一元二次方程 x26x 4 0 可以化成 ( xm)2n 的形式， m _ ， n _5已知三角形的两 分 是2 和 9，第三 是一元二次方程214 x 48 0 的两根， 个三角形x的周 是（）A 11B 17C 17 或 19

9、D 196方程 x22 x 30 的解是 _7 a， b是一个直角三角形两条直角 的 ，且(a2b 2 )( a2b21) 12， 个直角三角形的斜 为 _8已知一元二次方程ax 2 bx c 0的一个根是 1，且 ba 11a2 ， 此一元二次方程的解是_ 9已知 x1， x2 是二次方程 ax2 bxc 0 的两根， S1 x1x2， S2 x12 x22， Sn x1n x2n， aSnbSn1 cSn 2 的 _10已知 a 是方程 x23x 1 0 的一个根，求下列各式的 ：2（ 1）a1（2） 2a 25a3a 49a2a21熟 一元二次方程的概念和几种解法，下次 要背或默写作 1用配方法解一元二次方程x28x1 0 ，配方后得（）第 3页A (x 4)217B ( x 4)215C ( x 4)217D (x 4) 2152的一个解，则2a 1 的值为 _2已知 2 是关于 x 的方程 x 2a 03已知关于 x 的一元二次方程 ( a 1 ) x2x a 2 1 0 的一个根是0，则 a 的值为 _4一元二