北师大版九年级上册11菱形的性质与判定讲义

1、菱形要点：要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、 .菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心 .菱形的面积：（ 1）一种是平行四边形的面积公式：底高（ 2）另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例 1、下列四边形中不一定为菱形的是（）

2、A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】 A【解析】 A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例 2、菱形的一个内角为 60，较短的一条对角线长 4，则菱形的周长为 _ 。【答案】 16【解析】菱形有一个内角为60，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，第 1页可得边长为4，则菱形周长为16【点睛】 此题主要考查菱形的性质和等边三角

3、形的判定的运用，难度不大， 关键熟练掌握若菱形有一个内角为60，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形例 3、菱形的两条对角线长分别是14cm 和 20cm，则它的面积为 _【答案】 140cm2【解析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，面积 S= 1 1420=140(cm 2).2例 4、如图所示，在菱形 ABCD 中， AC 8， BD 10求： (1)AB 的长 (2) 菱形 ABCD 的面积解： (1)四边形 ABCD 是菱形 AC BD ， AO 11AC ， OB BD 22又AC 8， BD 1011 AO 8 4，OB 10522在 RtABO 中， AB2OA2OB

4、2(2) 由菱形的性质可知：S菱形 ABCD11AC BD8 10 4022例 5、菱形的两条对角线长为 6 和 8，则菱形的边长为 _解：设该菱形为 ABCD ，对角线相交于 O， AC 8， BD 6，由菱形性质知：AC 与 BD 互相垂直平分，例 6、菱形 ABCD 中， A B 1 5，若周长为8，则此菱形的高等于()1A.B.4C.1D.22【答案】 C；提示：由题意，A 30，边长为2，菱形的高等于1 2 1.2例 7、如图，在ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=5， AC=6，BD =8（ 1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（ 2）过点 A 作 AH BC

5、 于点 H，求 AH 的长【答案】 (1)证明见解析 (2)245【解析】试题分析： （ 1）由平行四边形的对角线互相平分得到 AOB 的两条边OA 、OB 的第 2页长度，则根据勾股定理的逆定理判定 AOB=90 ，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形 ABCD 是菱形（2）根据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：（ 1）证明： 在ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点O，AB=5 ，AC=6 ，BD=8 ，AO=AC=3 ， BO=BD=4 ，AB=5 ，且 32+42=52，AO 2+BO 2=AB 2， AOB 是直角三角形，且A

6、OB=90 ，AC BD ，四边形 ABCD 是菱形；（2）解：如图所示：四边形 ABCD 是菱形，BC=AB=5 ，S ABC =AC?BO=BC?AH ，64=5AH ，解得： AH=例 8、在四边形 ABCD 中， AB/CD ， B= D.（ 1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（ 2）若点 P 为对角线 AC 上的一点， PE AB 于 E， PF AD 于 F，且 PE=PF,求证：四边形ABCD 是菱形 .【解析】试题分析： （ 1）根据平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；（ 2）根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可试题解析：（ 1） AB CD ， DCA= BAC

7、 ，在 ADC 与 ABC 中， ADC ABC （ AAS ）， AB=DC ，第 3页AB CD ，四边形 ABCD 为平行四边形；（ 2）四边形 ABCD 为平行四边形， DAB= DCB ，PEAB 于 E，PF AD 于 F，且 PE=PF， DAC= BAC= DCA= BCA ，AB=BC ，四边形 ABCD 是菱形课后习题：1 在下列说法中，菱形对角线不具有的性质是()A. 对角线互相垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C. 对角线相等；D. 对角线互相平分【解析】 菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴，故选 C.2如图，在菱

8、形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O， E 为 AB 的中点，且OE=2，则菱形 ABCD 的周长为（）A. 12B. 16C. 8D. 4【解析】试题解析：四边形ABCD 为菱形，AC BD ， AB=BC=CD=DA， AOB 为直角三角形 OE=2 ，且点 E 为线段 AB 的中点， AB=2OE=4 C 菱形 ABCD =4AB=44=16故选 B3已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比 3： 4，则菱形面积为（）2222A. 96cmB. 48cmC. 24cmD. 12cm【答案】 A如图，设 AO3xcm ， BO 4xcm .菱形的周长为40cm，3x22有勾股定理

9、得，4x102，S菱形 = 11216=96cm 2,故选 A.24菱形的一个内角为60，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_。【答案】 16【解析】菱形有一个内角为60，第 4页则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，可得边长为4，则菱形周长为16【点睛】 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大， 关键熟练掌握若菱形有一个内角为60，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形5如图，在菱形ABCD 中，点 P 是对角线AC 上的一点， PE AB 于点 E，若 PE=5，则点P 到 AD 的距离为 _ 【解析】 AC 是菱形 ABCD 的对角线，AC 平分 D

10、AB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P 到 AD 的距离 PE 5.故答案是 :5.6如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点 O 在原点，点C 的坐标为（ 4， 0），点B 的纵坐标是 - 1，则顶点A 坐标是A （ 2， 1）B（ 1， - 2）C（ 1， 2）D （ 2， -1）【答案】 D试题解析：连接AB 交 OC 于 D，如图所示：点 C 的坐标是（ 4， 0），点 A 的纵坐标是 1，OC=4 ， OA=1 ，四边形 OACB 是菱形，OC AB ， OD=1OC=2， OB=OA=1 ，2点 B 的坐标是（ 2， -1）；故选 D 考点： 1.菱形的性质； 2

11、.坐标与图形性质7、如图，在菱形ABCD 中， ABC 与 BAD 的度数比为1 2，周长是 32cm求：（ 1）两条对角线的长度；（ 2）菱形的面积 .【答案】 (1).BO=43 cm,BD=83 cm(2) 323 cm2.【解析】（ 1）菱形 ABCD 的周长为32cm，第 5页菱形的边长为324=8cm ABC BAD =1 2， ABC+BAD =180（菱形的邻角互补） ， ABC=60， BCD =120， ABC 是等边三角形，AC =AB=8cm ，菱形 ABCD 对角线 AC、 BD 相交于点O，AO=CO， BO=DO 且 AC BD，BO=4 3 cm， BD=83

12、cm；（2）菱形的面积：1AC?BD=188 3 =32 3 （ cm2）228、已知菱形ABCD 中， E、 F 分别是 CB 、CD 上的点，且BE=DF 求证：（ 1） ABE ADF ；（ 2） AEF= AFE 9、如图，在 ABCD中， BAD 的平分线交 BC 于点 E， ABC 的平分线交 AD 于点 F ，AE与 BF 相交于点 O，连接 EF（ 1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（ 2）若 AE 6，BF 8， CE ，求 ABCD的面积【答案】（ 1）证明见解析（ 2） 36【解析】 试题分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形ABEF 是平行四边形

13、，然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形，证得结论 ；（2）过点 A 作 AH BC 于点 H 根据菱形的对角线求出边长，然后根据面积的不变性求出平行四边形的高，从而求解 .试题解析 ：（ 1）证明：在ABCD中，AD BC DAE AEB BAD 的平分线交BC 于点 E， DAE BAE BAE AEBAB BE第 6页同理 AB AF AF BE 四边形ABEF 是平行四边形AB BE四边形 ABEF 是菱形（ 2）解法一：过点 A 作 AHBC 于点 H四边形 ABEF 是菱形， AE 6， BF 8，AE BF ， OE 3， OB 4 BE 5S 菱形 ABEF AE BF BE AH ，