高等数学课程教案讲义（下）

第九章重积分

一、教学目标与基本要求

1、教学目标

本章从曲顶柱体的体积和平面薄片的质量这两个实际例子引入二重积分的概念，不加以

证明地指出二重积分存在的充分条件。对二重积分的性质只加以叙述，而不予证明，将三重

积分自然地看成是二重积分的推广。总的精神就是对概念和性质不作分析上的严格要求，而

把重点放在讨论二重积分和三重积分的计算上，计算二重积分和三重积分的基本途径是将它

们化为二次与三次积分，但在直角坐标系下计算二次与三次积分有时会比较困难，因此需要

考虑采用其它的坐标，我们将分别讨论最常见的平面极坐标，空间柱面坐标与球面坐标下重

积分的计算方法，此外对二重积分的一般换元法进行简单介绍。最后采用元素法介绍重积分

在几何与物理问题中的某些应用。

2、基本要求：

（1）理解二重枳分、三重枳分的概念，了解并会应用重枳分的性质。

（2）熟练堂提利用直角坐标和极坐标计算二币积分的方法

（3）会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

（4）会用重积分求立体体积、曲面面积、平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯

量，平面薄片和空间立体对空间一质点的引力等几何与物理量。

二、教学内容及学时分配

第一节二重积分的概念与性质2学时

第二节二重积分的计算法2学时

习题课2学时

第三节三重积分2学时

第四节重积分的应用2学时

习题课2学时

三、教学内容重点与难点

1、重点：二重积分概念，二重积分和三重积分的计算。

2、难点：对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序。

四、教学内容的深化和拓宽；

1、二重积分、三重积分概念的深刻背景

2、二重积分、三重积分的换元积分法

3、重积分的实际应用

第一节二重积分的概念和性质

一、内容要点

1、引例

例I曲顶柱体的体积

例2平面薄片的质量

通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般

地抽象出二重积分的定义。

2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。

3、二重积分的性质1-6,注意将其与定积分性质加以比较，

例3关于估值定理的应用

例4关于中值定理的应用

4、二重积分的几何意义一一曲顶柱体的体积。

二、教学要求和注意点

理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

三、教学设计安排

时间分配：

（1）由向顶柱体的计算引出二重积分的定义（20分钟）；

（2）由二重极限和二次极限的关系引出二重积分的计算方法（20分钟）：

（3）平面区域在直角坐标系中的表达方法（10分钟）：

说明1：讲解二重积分要注意立体图的形象，对不同积分顺序的平面区域表示方法必须介绍

清楚，这对以后计算重积分带来影响。

说明2：有些函数的原函数不能用初等函数来表达，只能用一种积分顺序。

说明3：积分顺序的更换是常见的问题，必须熟练。

四、作业同步训练习题

一、二重积分的概念

先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体枳。（二）求平方薄片的质量。

（-）求曲顶柱体体体积：

设z=f（x.,y）是定义在有界区域性D上的非负连续函数。我们称曲面片f（x,y）,xoy平

面上的区域D和准线为D的边界，母线平行于z轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在

的问题是求这个曲顶柱体的体积V。

首先用一组曲线T把区域D划分为n个小区域A6(i=l,2,…,n)这样就把原柱体分

为n个小曲顶柱体Vi。又记Ab,为R的面积，入i为的直径，对于△巴来说，由于f(x,

y)在A6连续。故当L很小时，f(x,y)在△内上各点的函数值近似相等，从而可视△。，上

的曲顶柱体为平顶柱体，为此在△巴中任放一点以/(专,乙)为高的小平顶柱体的体积为

于白,亦巴。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积M把所有这些小平顶柱体的体积加起

来便得曲顶柱体的体积的近似值：

v=%产七卜巴

1=1;=1

最后，当分割T的细度［0|=，WaXjfO时有：

;=1

即：丫=1胆。/©力，必巴

(2)、平面薄电的质量

设薄电占有xoy平面上的区域D且在点(x、y)的D外的面密度为P(x,y)>0求该

平面薄纯的质量M。

如果P(x,y)为常数p那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S。

当p(x,y)不是常数时其求法同(1)相符。

首先，把该薄电划分为n小块6。当?直径4很小时，由于p(x,y)在巴上连续，可

视每小块为均匀薄片。在巴上任意一点(£,?)，则每一块的质量近似的「(4,〃,)△巴。

进一步：用力P©，7)Ab,代替整个薄电的质量。且当a="以4f。时，有

1=1N

M=1皿苫。(。，7公6。

由(1)、(2)知求由顶柱体的体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，

3、取极限这三个步骤得到的。这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不

同的是府象为定义在平面区域D的二元函数，这就是二重积分的实际背景。

定义：设D是：XOy平而上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线(一般指D的可求面

积)，f(x,y)为定义在D上的函数，用光滑的曲线网把D分成n个小区域：

....以△巴表示△区的面积，这些小区域构成D的一个分割T,以4表

示A6的直径，记T的细度为IITII=MaxXi,在每一个上任取一点(配？)，作和

式：6/©,7口巴

;=|

称之为函数r(x,y)在D上属丁分割T的一个积分和。

如果当IITII-0时，该积分和的极限存在，就称此极限值为f(x,y)在区域D上的

二重积分，记作：JJf(x,y)ci(y

D

即：jj以X，y)d。=limZf&,7)AB

!)MT%

其4*f(x,y)称为被积函数，/(x,y)db称为积分表达式，称为面积元素，x,y

称为积分变量，D称为积分区域。

【注】：1由定义知，若fix,y)在D上可积，应对于任何分割T,及任意的点(。，?)

£△5上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D,则每

一个小区域的面积为△6=Ax.Ay,-,进而有da=dxdy,故：

DD

以后在讲重积分计算基本上都采用后一种形式。

2、并非任一函数f(x,y)在区域D上的积分都存在，如

一、口X,)，为有理数

/(xy)=3，心甘.

|0为其他

在［0,1；0,1］上的重积分不存在，但当f(x,y)连续时，其二重积分存

D

在，故以面在不加说明的情况下，总认为f(x,y)在D上的重积分是存在的。

3、如果f(x,y)>0,gJ7(x,)，)db在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f(x,y)

JJ卢

=1,口口/(乂)，)"。的值就等于积分区域口的面枳。如果f(x,y)W0,柱体就在XOy平

面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。如果f(x,y)在D上的

某n个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。

二、二重积分的性质

性质1、被枳函数的常数因子可提到二重积分号的外面：

\Jkf(xy)da=k\\f(xy)da(K为常数)

DD

性质2、函数的和(差)的二重枳分等于各函数的二重枳分的和(差工

JJ"(X,y)土g(x,=fJ/(-V,y)db±JJg(x,y)da

DDD

性质3、若O=DUZ)2U…u。”,且。n。,=①，那么

IJ/(X,y)db=£JJf(x,y)da

Dr=lD,

性质4、当f(x,y)=l时，fff(x,y)d(y=ffdcr—O的面积

DD

性质5、如果在D上，有f(x,y)Wg(x,y)则有

Hy)da<JJg(x,y)db

DD

性质6、H/(x,y)dc^<n|/(x,y)\d(r

性质7、若在D上有：mWf(x,y)<M,则有

ma<\\f(x,y}d(j<Mo(o■为D的面积)

D

特别地，当M,m分别为f(x,y)在D上的最大，小值时，上式亦成立。

性质8、(二重枳分的中值定理)若f(x,y)在不可少闭区域D上连续，则存在(虞/7)

ED,使得：=(。的D的面积)

D

第二节二重积分的计算法

一、内容要点

利用直角坐标计算二重积分

1、从几何入手，利用计算”平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为

二次积分：

①若D为X一型区域：{(x,y^(px(x)<y<(p2(x\a<x</?}则

Jf/(X,y)da=j：公j；：：/(x，y)dy

②若D为Y一型区域：{(x,y)|0](y)<x<6(y),c<y<d}则

jj/(X，y)db=£由'『::f(x,y)dx

③若D既非X一型，又芈Y一型区域，则将D划分为若干子区域，使每一个子区域为

X—型或Y一型。

2、介绍“对称性”在二重积分计完中的应用。

例I化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。

例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。

例3关于利用对称性计算二重积分的例子。

例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或戢小道等函数的例子。

利用极坐标计算二重积分

1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。

2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D的边界曲线用极坐标方程表示比

较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。

3、确定积分上下限的办法。

例I将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分

例2利用二重积分计算概率积分e'x2dx

例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分

例4利用极坐标计和二重积分

二、教学要求和注意点

1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法

2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，

因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。

3、在二重积分的计算时及尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。

三、教学设计安排

（1）由二重极限和二次极限的关系引出二重积分的计.算方法（10分钟）;

（2）平面区域在直角坐标系中的表达方法（15分钟）；

（4）用直角坐标计算二重积分（20分钟）:

（5）二重枳分更换枳分顺序（20分钟）。

（6）极坐标系中平面区域的表达方式（15分钟）；

（7）极坐标系中区域的面积元素（15分钟）；

（8）极坐标系二重积分的计算方法（30分钟）：

（9）平面坐标变换和二重积分的换元法则（30）

四、作业同步训练习题

一、二重积分的计算（X一型区域，Y一型区域）

定理1:设f（x,y）在矩形区域［a,b：c,d］上可积，且对Vx£⑶b）,

积分：『/（%）；）4y存在,且累次积分：

加"7*，）'）力心虱:阳；"。,y）"），也存在，且有：

1/（X，y）dxdy=〃句：/（x,y）dy

本定理1这里就不证了，可从几何意义来说明：（1）体积、（2）质量。

定理2：设f（x,y）在矩形区域［a,b；c,d］上可积，且对g『c,dj,积分

。/（羽）'）。1都存在,（11：/（乂）'）公］"）由「山£力工）'）公也存在。且有:

Hf{x,y）dxdy=J：y）clx

特别地,当f（x,y）在［a,b；c,d］上连续，则有

\\f{x,y）dxdy=f勾:f（x,y）dy=办yyfy

这时，也记/（x,y）dxdy/（x,y）dxdya

［例年计算JJ（x+y）2为"y,其中D=1o,i：o,i］o

D

2

解：JJ（X+），）2公由'同理也可用L44（；（X+）'）来计党。

D

JJ(x+y)2dxdy=廿？)-^-]dx=\

然而，口/(匕)，)〃。中的区域口一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，

D

通常可分解为下两类区域来计算：

若D可表示为D={(x,y)；(尤)WyWg(x),aWxWb}则称之为X—型区域。若

D可表示为口={(x,y),(p、(y)WxW(p、(y),cWyWd}则称之为Y—型区域。

X一型区域的特点是：垂直于X轴的直线X=X03<*<卜=与D的边界至多只有两个

交点，Y一型区域也有类似的特点。

许多常见的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的X一型区域可y型区域，如

果解决了X一型区域与Y一型区域上的二重积分的计算法，那么-•般区域上的二重积分也

就可以计算了。

定理3：若/(X,)，)在X一型区域D={(x,y)(p\(QW、W(p人X),aWxWb}上连续,

其中®(x),/(x)在⑶“上连续则：H/(x,y)dxdy=/(x,y)dy

定理4：若/(x,y)在Y一型区域

连续其中例(y),/(y)在[c,d]上连续，则:

H/(x,y)dxdy=J：力窗;/(x,y)dx

【注】：定理3-4可从定理1,2,也可从几何意义来说明。

[2例]计算口(戈2+y2)dtdy其中D为y=x与y=x2所围区域

D

解：D可表示为X—型区域：

D={(x,y),OWxWl,x?WyWx}

H(x2+心力=(可3*+y2)dy

2236

=f('[(x(x-x)+1(x-x)]cbc

=冷-小

解法2,D可表示为Y一型区域:

D={(x,y):O<y<\,y<x<4}

Hf(xy)dxdy='(x2+y2)dx

£[1(//2-/)+y2(/y-y)Mv

ri13/2435,21124123

L[r-y一一y')+y'”dy=_x----x-+-=—

Jo33-3534735

［例3］求曲线y=x,y=x2与x2+y2=l在第一象限所围区域的面积。

解：y=x与x2+y2=l在第一象限里的交点为（

y=x2与x2+y2=i在第一象限里的交点为与1）

/.。=Q]UA，其在A={(x,y):0Vx4^,x2<y>x)

。2={(X，:4VXW<y>Vl-X2

二.。的面积=JJdxdy=ffdxdy+\\dxdy

二、如何选取积分公式

（I）、当先对X或y积分难易程度相当时，原则：根据积分区域D图形来选择。

x2+y2=\

y=x+2

【例】：JjxydcrD：1、«x=02、《

Dy=x2

y=0

解：1、岗:「”)，=!：

DO

2、

DO

(2)、当先x积分与先对y积分难易差别较大，尤其是对某个变量积分无法积分时，选

择先积分简单的公式。

【例】：/=Jjx'e'doD：x=O,y=1以及y=l围成。

解：本题显然先y后x积分无法得出结果。

所以先对X后对y枳分。

1=Hx2e'：da=[冽:；^e^dy=

[最后一步采用分部积分，将一个y提到d后面。令，=)/]

(3)、交换积分次序

【例】：交换积分次序。i'dvj^siny2dy

解：其实在本题中原题给出的积分是无法求得的。

所以要交换积分次序，这在以后的习题和应用中也同样会有这样的问题。

*

画图可知区域可由积分上下限决定：o=r?=A-n]A==

\y=2\x=3

\<x<y+1

D=\，所以J：岗；siny-dy=siny2dx

0<y<2

利用极坐标计算二重积分

当积分区域是园域或为园域的总部分，或者被积函数的形式为/(x2+y?)在区域D上

连续，现在以原点0为极点，X轴正向为极轴正向构成极坐标系，这样.f(x,y),在极坐标

系中为./Vcosedsin。)，其r为极半径，。为极角，现在我们用r=常数的一族同心园，

和0=常数的一族过极点的射线来分割区域D(如图)将D分为n小块△?.(i=1,2,……)

旦Abj的面积A<7,为n小块：ACT,（/=1,2,,〃），且Abj的面积为:

A<7,=g[△〃,();+A/;)2-\0jxz；2]=(/+gAz;)A/;A<9,

除去一个更高级的无量小量不计，有△5=/；△，△/；

由此，我们长话短说，面枳元素，db=d夕切•（其详细证明可参见课要P99或其它参

考书，当然证明的方法是多种多样的）d。必•称为极坐标系中的而积元素，从而：

y）do=ff/（rcossinO）rdrdO

tx=rcosO

其中，D'为xoy平面上的区域D在极坐标变换iy=rsin0

下的r。平面上的区域，有时也写成JJf（x,y）dxdv

D

若不考虑厂,6的实际意义，右端的积分也可视为横轴为r轴，纵横为轴,

ff/（rcos^-rsin^）rdrd6

D'

眼下的问题是，如何用r力来表达何,如果。可表示为:

。'={(r,6>):伙3)<0<(f>AO\a<0>P\0一型区域

则有:\\/(rcosOirsin。)rdrdO=康吗：/(rcos/sin6)M

D'

若〃可表示为；

D'={(r,<9):^(r)<r<(p2(r),r[<r>r2]r一型区域

则有f\/(rcos^rsin0)rdrdO=j"f(rcos^rsinO)rdO

OJr)^(P\(€/)

注：对于。一型区域，致虑两种特殊情况：（1）如果D是曲边扇形，则有以（6）=0

（2）如果少包含了极点，且边界方程为

r=0（。）此时则有：Z>={（r,l9）:0<r<2^}

同前面的一样，一般的区域都可分解为若干个o一型及「一型区域，这些我们从例题中

反映出来。

［例1］求积分\\xy^dxdy,其中D为园域x2+y2=a2

D

解：D经过极坐标变换后为。'={（r。）：OWrWa,OW0W2n}

.'.JJxydxdy=Jfrcos分sinOrdrd8=［fr3sinOco^OclrdO

DD'；y

=『de］：/sinOcQsOdr-sinOcosO\dO

=—f^sin20d0=0

8

［例2］求球面x?+y2+z2=R2与圆柱面x2+y2=Rx所围的休积

解：我们只要求出第一象限内的部分，尔后来4即得,而在第一象限内的立体是以

Z=《R2_£_y2为曲顶的柱体,其定义域为D={(x,y),y20,x2+y2=Rx)经过极坐标

变换，有V=4j)^k2-x2-y2dxdy=4JJ尿。rdrdB

DD'

其中0={(r,0)：0<r4Rcosa，<〃W}

=4点［1/?3(l-sin38)M6=g/?3(1-$

所围体枳为3/?3(2—2)

323

［例引把/=JJ/熄』+『心力，化为单重积分,其中D二(x.y)x2+y2=1}

D

解：D的图形如左，我们将高分为四个部分：

我们先考虑第一部分(1)

令x=/cos。,y=rsin6

jjf+ylclxdy=|jf(r)rdOrdr

Di0

，-⑺

［例4］求(x2+y2)=2(x2-y2)>(x2+y2^1)的面积。

解：在此之前，我们先求一下求面积的公式：

<T=dxdy=JjrdrdO(o■为D的面积)

DD'

若u=：(p\g)we&%(e),a&e&

。=仅嘴?=嫄/⑹-硝e)k/e

现在求［例4］的面积,令x=rcosO,y=rsin。

r4=2/cos2<9,r=2cos219

该曲线如图，由x?+y2=I,r=1,至此使本［例4］所求面积为F=2cox2。所围的面积中r

21的部分，根据对称性，只要求出在第一象限的部分，然后乘以4即可。

71

先求於=28乂20与r=l的交点，不难使交点为（1,（）

.•.。=40以，d。其中口」为（图一a）中的阴影部分

is

，$7T

且有：D,={（r,/9）:I<r<V2cos2^,0<6><-}

6

.•（2cos2。-l）d。-2［sin2^|j一a—2［乎一g-卜一g

所以所求面积：V3--0

3

［例5］求「6.公

解：『小=limJ；，1R=JQ~dx

=J；LdxJ；Ldx=J；dx•J；e-y\ly=，:J；一「一1椒/)，=JJr1-厂clxdy

DR

其中DR={(x,y)},oWxWR,xWyWR，

令Ds={(x,y)：x2+y2^R2},OWxWy；Ds={(x»y)；x2+y2^2R2),x20,y20

显然D、UDRU“且由e"->’>0

22,22,22

\\e~(x+y}dxdy<\\e-!x+y\lxdy<+y}dxdy

DsDRDS

又0相(/+产)小力,=Ue-2tM3

DsDs'

(〃={ae)C■噌产”吟(4-1)1

同理\\e-{x2^dxdy=-(\-e-2铲)

0产产）公仆々-_2屐）

4（1一"厂）DR4

令：R->-^=>hmll=-lim1R=—

Z?T84RtB2

即:博/小字

第四节重积分的应用

一、内容要点

1、曲面面积；A=JJ，l+z：+z：dcr

%

2、物体的质量：

平面薄片质量M=JJ〃(x,y)da

D

空间物体质量M=JJJ〃(x,y,z)小

3、物体重心:

平面薄片的重心:

^v=—JJJ弘("z)公

MQ

空间物体的重心:^=7?Iff»/(乂y,z)dv

7z〃(x,y,z)dv

Ma

4、转动惯量：

平面薄片对坐标轴及原点的转动惯量：

fx=JJ)『〃(x,yWb

D

2

ly=JJx//(x,y')da

D

/()=JJ*2+V)〃*，y)do

D

空间物体对于坐标面、坐标轴及原点的转动惯量:

lXy=jffZ"(X,)，,Z)小

Q

【x=JJJ(.v2+22”/(x,y,z)小

c

10=Iff，+)>2+z?)//(x,J,z)dv

5、引力：G〃(》);)(…。)小

例1求曲面面积

例2求物体的重心

例3求转动惯量

二、教学要求和注意点

1、掌握三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)的算法。

2、用元素法解决实际问题

三、作业同步训练习题

二重积分也相应地有元素法,我们的求以z=f(x.y)为顶,区域为D的曲顶柱体为例：

奖D分割成若干小块，从中任取一块，并设为db，(x,y)为其中一点，那么有db上的部

分量AV=f(x,y)dcr,事实上，AV与f(x,y)d(7的差为4。的高阶无穷小，从而称f(x,

丫)(1。为量丫的元素，且记为dV=f(x,y)以r的元素作为被积表达式，在区域D上积分，

得：V=^dv=^f(x,y)da

DD

当然，二重积分的元素法也需要可加性。

一、曲面的面枳

设曲面S：Z=f(x,y)是定义在xoy平面上的区域D上，并Hf(x,y)在D上有连续的偏

导数，现计算S的面积。

现将划分为若干小块，从中任取一块47中任取一点p(x,y)相应地，得到S上的一部

M(x,y)、f(x,y)过M点作S的地平面T,又以db的边界为准线作母线平行于Z轴的柱

体，截S得S上的一小块曲而ds,截T得T上一小块面14,由于do很小，因而可用44来

代替ds,不知T的法向向量为〃={/(x,y),力(乂四厂」设厂为与Z轴正向的夹角，

从而|cos"=1/力1(x,y)

另外，不难知道，T与du的夹角也为r,因此，do-=\cosr\dA

dA=-J1+2(x,y)+(x,y)da

2

：.d3=yj1+/x(x,y)+fy(x,y)da

这就是曲而面积的元素。

S=Jjds=jj11+f；(X,)，)+(x,y)db

注：1、类似可求定义在KOZ、yoz平面上的区域上的曲面面积。

［例1］求圆锥Z=Jf+y2被圆柱x2+y2=x所截部分的面积

解S二jjJ1+〃2+⑶2公,办其中D={(X,y)：X2+)，2</2}

D

z=Jf+y2n及=t:,,Zy=//,

/-+)，一Jx-+»

/.y]\+zx2+zy2=V-=V2

.•.3=]]血以修=拒.0的面积=万山2万=立乃

D24

二、平面薄片的重心

设一平面薄片占据xoy平面上的区域D,且在点(x,y)ED处的密度为P(x,y)在

D上连续，求该薄片的重心。

-M-M

设该薄片的术心坐标为&J)则应有:4=1/,)，=亍其中Mx，My分别为薄片

对X轴，Y轴的静力矩，M为其质量由9.1知，M现在的问题是求Mx和

D

^4yo

将D分割成为若干个小区域，从中任取一个并从〃o■中任取一点(x,y),由于

很小，故可认为db上质量集中在(x,y)点上，从而，对X轴，Y轴的静力矩的部分量为

XP(x,y)db和Yp(x,y)do,它们即为Mx和My的元素dmx和drriy,即

dmx=Xp(x»y)d(ydmy=Yp(x»y)dcr=>

Mx=jjdMx="空($,y)dr,my=JJ)'P(x,y)da

JJx〃(x,y)d<7_Jj.V〃(x,y)db

薄片的重心坐标为1二/----------J=看-----------

Jjp(x,y)daJJP(%，)')"b

DD

从上公式知，当P(x,y)三常数时，有：

x=A,xd。,y=/Ijjydcy其中A=JJdb为D的面积。

这时，重心只与D的形态有关，而与其它无关，因此也称之为D的形心。

［例2］求均匀密度的半椭圆二十二41，y20的重心。

a~b~

解：根据对称性，不难知1=0下面求亍

4h

所求重心为（。,一一）

371

三、平面薄片的转动惯量

设某平面薄片占有xcy平面上的区域D,且在点（x,y）WD处具有密度P（x,y）,

假定P（x,y）在D上连续，求此薄片对于X轴，Y轴及坐标原点的转动惯量。

其方法同前面二个相似，这里不必多述，及三种惯量为：

4=If）'2P（M）'）〃S/、=JJx2p（x,y）（/a

DD

D

［例3］：求密度均匀的园环D：R：4/+y2《8对于x粕及对于垂直于园环面中心轴

的转动惯量：

2R

解:lx=\\yp{x,y)dc=^de\Rpr2sin'Ordr

=〃（sin2夕；（R；—A：）=京用=R：）=苧R；—R：）

=：（耳+R；）。（m为圆环的质量）

同理得：Iy=；（R；+R：）nJ°=Ix+/,=5（R；+吊）

4三重积分的概念及其计算方法

一、内容要点

1、三重积分的概念，存在性及性质

2、三重积分在直角坐标系下的计算

①先单积分后二重积分

②先二重积分后单积分

3、更换积分次序

例1将三重积分化为三次积分

例2更换积分次序

例3先二重积分后单积分

4、柱面坐标系下三重积分的计算。

S、何时选用柱面坐标一一当。是柱形.锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其

部分，或者被积函数含有式子夕（，+）/）等时，常用柱而坐标计算。

6、球而坐标系下三重枳分的计算。

2

7、何时选用球面坐标——当复是球体或其部分，或被积函数含有式子+），2+z）

时，常用球面坐标计第。

例I化三重积分为柱面坐标系下的三次积分。

例2化三重积分为球面坐标系下的三次积分。

例3利用二重积分求体积或质量。

二、教学要求和注意点

1、在直角坐标系中，当用“先一后二”法计算三重积分时，如何恰当选择第一次单积

分的枳分变量颇为关键，一般方法是：先把围成C的各边界曲面通过显式方程表出，如果X,

y,z中的某个变量恰好出现在两个显式方程的左端，并且不出现于任一方程的右端，则可

选该变量作为第一次单枳分的枳分变量。

2、在重积分的计算中，换元法也是强有力的手段。

三、教学设计安排

时间分配：

（1）直角坐标系中三维区域的表达方式（10分钟）：

（2）直角坐标系中计算三重积分例题（20分钟）；

（3）对三重枳分先做二重积分再做一次定积分的计算方法（20分钟）：

（4）例题（20分钟）。

（5）柱面坐标系（10分钟）：

（6）用柱面坐标计算三重积分（20分钟）；

（7）球面坐标系（10分钟）；

（8）用球面坐标计算三重积分（20分钟）；

（9）二重积分技巧补充。

说明1：有了区域上一般黎曼积分的定义与计算二重积分的基础，三重积分的概念是比较容

易接受的，在方法上则必须先把三维区域的表达方式讲明白。

说明2：空间图形在计算重枳分的过程中对确定枳分限是非常关键的一个步骤，讲解时的示

意图要画得规正；

说明3：先计算二重积分再计算:一次定积分的计算方法有时可以使三重积分的计算简化，这

种方法学生接受有一定的难度

四、作业同步训练习题

一、三重积分的概念

与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分

背景：空间一非均匀物体的质量。

定义：设f（x,y,z）是空间有界闭区域。上的有界函数，用一组空间曲面T把。分

为若干小块Vi，V2……Vn,A匕.表示其体积，再从每个小区域Vi中任取一点（八小,&），

作和式△匕，若当IITII-0时，该和式的极限存在，就称该极限值为函数f

1=1

（x,y,z）在区域Q上的三重积分，记为

ffjf（x,y\z）dv

Q

即01/（乂Xz9=肥X/©，%7,）△%

a1110

其中du称为体积元素，其它的记号类似二重积分。

同理，上面的极限对于任一种划分T都应存在且值相等。现用平行于三个坐标面的三

族平面来划分C,此时，则有Ai;=AA;A>,.AZZ,进而dv=clxdydz=>

fff/(x,y,=fff/(x,)，,z)clxdydz

并称dxdydz为宜角坐标系中的体积元素。

当上面的极限存在时，可称f(x,y,z)在Q上可积。但并不是对任何的f(X,y,z)

在。上都可积。当f(x,y,z)在。上连续时，f(x,y,z)在Q上可积的，以后在不再作

特别说明时总认为f(x,y,z)在Q上连续或可枳。

显然，当f(x,y,z)=1时，|||小?二。的体枳。

又当f(x,y,z)表示某物体在(x,y,z)6。处的密度，。为其占有的空间区域，

且f(x,y,z)连续，则[0/(尤)，,2),加=该物体的质量。

Q

二、三重积分的性质。

类似二重积分，这里不多说了。

三、计算三重积分一直角坐标系：

定理1：若f(x,y,z)在长方体。=[a,b;c,d;e,fj上连续，则有

JJJ/(X,y,Z)dv=£公[dy^f(x,y,z)dz

然而，对于•般的空间区域Q,并不像上述的那样简单，有时相元复杂，这样就需要我

们一步一步地将。分解为若干个较简单的区域。比如：

将。向xoy平面上投影及xy平面上一区域D,以D的边界为准线，母线平行于z轴作

一柱面.又设过D内的点且立行于z轴的直线与。边界的交线不超过两个.这时，。的边

界被分为三个部分S2和&)。其中Si，S2分别为Q在D内的C的边界的下面部分和上面

部分，So为C的边界与柱面的公共部分。

Si：z=z(x,y,z),S2：z=z(x,y),此时，有

Q=｛(x,y,z)：zi(x,y)WzWz2(x,y),(x,y)£D)

nffj/(MFz)"u可用求质量的道理来解释。JJdM)D*,y,z)dz

AD-i(z)

若口=｛仪，y)：aWxWb,yi(x)WyiWy2(x)｝则进一步:

J]J/uy,z)dv=｛或峨:峨：：f(w)dz

而此时，Q={(x,y,z)：zi(x,y)WzWz2(x,y),y)(x)WyWyz(x)»aWxWb,}

与此相仿，还有其它五种化三重积分为三次积分的方法。这关键在于如何将Q表示成与

上面相仿的形式，这件事并非容易。

［例1］计算。其中C为由平面X=l,X=2,Z=0,Y=X,Z=Y所围成的区域。

QX+y

解I：现把C向xoy平面上投影及投影区域口={仪，y)：OWyWx,IWXWZ)而在D上，

有OWzWynQ={(x,y»z)：OWzWy,OWyWx,IWXWZ}

即时时房H时也，

=f；ln(f+y2)

y=0J22

解2：将Q向xc7.平面卜投影.将投影区域D={(x.z)：IWXWZ2}在D卜有

zWyWx=>

Q={(x,y,z)：zWyWx,OWzWx,IWXWZ)

=「可y令龙=fq一店arct§，扣，+d/

=—-—+—ln(x2+x2)=—Inx2)cbc=f—hi2dx=—In2

J144x2222

本例也可向yoz平面上作投影，但计算更繁。

［例2］求川\/3小；”ydzQ为z=xy,y=x,x=l及z=0所围的区域。

解。={汽，y,z)：OWzWxy,OWyWx,OWxWl!

H^dxdydz=£办(办，「xy2zydz

=f时:盯254)"Ma")，

=—[—x5x7tZv=—[xndx=———=—!—

44)728人1328368

上面所讲的积分法则，我们习惯称为“先二后一”。

利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

一、利用柱面坐标H算三重枳分

设M(x,y,z)为空间内任一点，将M向xoy平面上投影，得xoy上投影点P(x,

y),再P点的坐标用极坐标表示，其极坐标为(几。)，r=Jx2+y2,6^=arctan—,

x

这样，r,e,z三个数也就确定空间的M点，我们称(几e,z)为M点的柱面坐标不难

oo

及到r,O,z的取值范围为：OWrW+8,0-°°<z<+,它们x,y,z之间的

关系为；

x=rcosO,y=rsin0,z=z这实际上就是一个柱面坐标变换，由前的经历

=JJJ/(x，Fz)dxdydz="/(rcos^,rsin<9,z)rdrdOclz

【注】1、当积分区域在坐标面上的投影为圆形，环型，扇型且被积函数为

/(x2+/,z),/(/)采用柱面坐标。

2、柱面坐标求体积：v=JUdOrdrdz

c

[例1]计算其中肝/+)，2城0必。是2(x2+y2)=z与片4所围的区域。

n

解：将。在xy平面上投影，及投影区域D={(x,y)：x2+y2^z}

令x=rcos。,)，=rsinO,z=z,此时，曲面2俨+丫2)=7变为z=2F,

则C'={(厂，/z):zr2<z<4,U<r<女,。<0<17r]

JJJ(x2+y2=J|j(r2-r)drdOdz=『dO^dr^,r'dz=—

Q(Y02r3

二、利用球面坐标计算三重机分

设M（x,y,z）为空间任一点，连接0M,令r为OM的长，。为OM与z轴正向的夹角，

再招M在xy面上的投影得到P点，乂令。为从z轴正向往原点方向看，X轴正向按逆时针

方向到0万的转角，这样/•，夕。也能确定一个空间上的M点，我们称（厂,夕。）为点M的

球面坐标。它们的变化范围为OWrV+8,OWOW2n,它们之x,y,z之间

的关系为x=rsin0cos。，y=rsin0sine,z=rcos。，这实际上就是一个球面坐标变

换，由此可知：

川/（X，）'，z）"u="/（rsin^cos^,rsin^sin9,rcos^X/v,其中Q'为C经过球面坐标变

Qn'

换而得到的区域。

接下来我们来讨论，如何将6必，,也转化为公"阻眼。

结合课本P.125图8-37,我们可以知道dv=clxdydz=d。sin弧虾dr

所以我们有此三重积分公式：

jjjf（X,yyz）dv=JJj/（rsin。cos。,rsin0sin0,rcos@k/6sin叙坤宁dr

QQ'

此公式要求大家牢记。

【注】1、体积u=川4。sin阿勿"c"

a

2、主要适应与被积函数包含有：因子V+y+z?,以及积分区域为球面，锥面和球

面围成，球面和球面围成的三重积分。

222

【例工求JJJZy]x+y+zdv,其中y:£+V+z?4i以及z>73-4£+y?所围

V

成。

owes2万

解：采用球面坐标公式：v:r1<l,rcos^>rV3sin^=>-0<（!）<—,

0<r