《线性代数Ⅱ》课程试题

1、线性代数H课程试题（A卷）、填空题（每小题 3分，共18分）1. a 32 aii a2 k a 51 a 43是5阶行列式中带负号的项，则 i =, k =设A为3阶方阵A =_4,设Aj为A的第i个列A = ( A1 , A2 , A3 )n阶方阵 A的伴随阵和逆矩阵，则A33 A1,2 A2,5 A1-_01/20A =1/2100004.矩阵.0-303.设A5, A A分别为0 1-30一 3 _对应的实二次型f ( X!, x21-11A5.设2 4a-3-35，且A的特征值为如果A有三个线性无关的特征向量，则a =n阶方阵A具有n个不同的特征值是 A与对角阵相似的 条件.、简答题

2、（每小题 4分，共12 分）2 2 21 .举反例说明等式（AB） = A 2AB B是错误的，并指出A, B满足什么条件时此式成立2若方阵A可逆，A的特征值是否一定不为零？为什么?A = I和方阵B = f11 I相似吗？为什么?3.方阵一01一01三、计算题（一）（每小题8 分卜，共32分）000100020003100041101209876501120矩阵X满足2AX + E = A + X ,求矩阵011计算行列式的值:1A = 02设矩阵X：23.设有向量组A:=(1,一1,2,4),=(0,3,1,2), J =(3,0,7,14),-4 =(1,-1,2,0)4设矩阵=(2,1

3、,5,6)求A组的一个最大线性无关组。四、计算题003二)1（每小题12分，共24 分）1 .讨论取何值时，方程组X1 X2-X32亠X3有惟一解、无穷多解及无解，并在有解的情况下求出解。2.设矩阵A与B相似，且求a, b之值；1_11 120024_2B =020L-.一定不为零。右 A的特征值，二0，则存在x = 0使得Ax二，x二0即方程AX=0有非零解，所以 A ，即A不可逆，与已知矛盾。 .不相似。否则有可逆阵 C使C AC=B即A=B,矛盾。三、计算题（一）（每小题8分，共32分）1.值为120 （答案错误可适当给步骤分）。_3a100bA 二八.1求可逆矩阵P，使P Ap = B

4、五.证明题（每小题7分，共14分）A.1.设n阶方阵A可逆，证明A 也可逆，且2.设向量-可由向量组1 ,2 ,s线性表示。证明：该表示法惟一的充分必要条件是向量线性代数nA卷试题答案、填空题（每小题 3分,共18分）1. i = 5 , k = 4;5.- 2 ；6. 充分。2 . 40 ;n _2 4X22 2X2_ 6X2X4 _3Xq ；二、简答题（每小题 4分,12分)1.举出任何反例皆可。当AB 二 BA 时, 2等式(A B) = A2 22AB B成立2 .解由2AX + E = A +X化简得(A-E ) X20 1 X = A + E =030可逆，所以10 2。3.-10

5、3 1一 tT-130 -1严1 ,0(2, 03,04,0(5r2 172解：42140= (AE)(A+E) A Eu1,故 A_E21031210 110 150 0 0 1 16s .0 0 0 0 0故?1-2-4或1宀3宀4为一个最大线性无关组（或其他正确答案）4 解：利用分块矩阵一1，则_3-3Ar1A1_00-V6-V61/200_231/30007怡V6_1/24_3-2000一11/20004-2067-13A21四、计算题（二）（每小题12分，共24 分）21 解：方程组的系数得列式D =（ ）（ 2）（1）当D =0,即及 = -2时，方程组有惟一解;&+11（九+1）

6、2X1 二 , X 2, X 3 2 2 2（2）当时，原方程组的三个方程成为 X1 X2 X3二1 其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解,其解为（X2X3为任意实数）或写为X1 -X2 -X3（ X2,X3为任意实数）（3）当=-2时，R（A）=2 = R（A） =3，此时原方程无解。2 解：（1）因 A =（人一2）认一（a +3）九 +3（ a 1） ,B =（九一2）（丸一b）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即/ 一 A =_B ,解得a =5,b=6.（2）当=2时,求解齐次方程组（2 E - A） x = 0 ,其基础解系为:（1,-1,0）T ,

7、4=（1,0,1）丁=6时，求解齐次方程组|11=a g o（3）=1oI01（6E _ A）x = 0,其基础解系为1 1-23 一，则有使PAPJ =（1,一2,3）丁五. 证明题（每小题 7分，共14分）1 证明：由宀汙悟宀A厂故阳计AT。，所以a可逆。EA得2 .证明：必要性反证法，设1，2,Cs线性相关，则有不全为零的数ki,k2,ks，使得ki-i k2、f2 亠 亠 ks、s = 0:可由1，2,，亠线性表出，设表示式为=aa.aa.ki、i k2、社2 亠 亠 ks、；sta*两式相加得：(kikJ： i (k2k2): 2 爲嘉(ksks): s - -因ki，k2, -ks不全为零，故ki，k2, -ks与kiki，k2 k22,Vs线性表示且表示法惟一矛盾。充分性：设-有两种表示ki： i