第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根备课素材

1、第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入师上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考(出示画板课件)：如图2522，你能说出一元二次方程x2x20与二次函数yx2x2的关系吗？图2522生一元二次方程x2x20的根是二次函数yx2x2的图象与x轴交点的横坐标师很好，我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算本节课我

2、们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根说明与建议 说明：通过一道简单的题目，让学生进一步理解体会二次函数与一元二次方程的关系，同时又训练了学生数形结合的能力，渗透了数学中“数形结合”的思想，符合新课标要求建议：学生掌握了二次函数与一元二次方程的关系，可以利用二次函数与x轴的交点求一元二次方程的近似根置疑导入如何利用二次函数的图象求一元二次方程3x2x1的近似根？图2523方法一：(1)原方程可变形为_3x2x10_；(2)用描点法作二次函数_y3x2x1_的图象；(3)观察估计二次函数_y3x2x1_的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在_1_与

3、_0_之间，另一个在_0_与_1_之间，分别约为_0.4_和_0.8_；(4)确定方程3x2x10的解：由此可知，方程3x2x10的近似根为x1_0.4_，x2_0.8_方法二：(1)用描点法作二次函数y3x2x的图象；图2524(2)作直线y1；(3)观察估计抛物线y3x2x和直线y1的交点的横坐标；由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在_1_与_0_之间，另一个在_0_与_1_之间，分别约为_0.4_和_0.8_；(4)确定一元二次方程3x2x1的解：由此可知，方程3x2x1的近似根为x1_0.4_，x2_0.8_说明与建议 说明：由于解题方法的多样性，可以考查出不同层次学生的思维能力

4、，观察问题是否仔细、全面教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识建议：以探究的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正素材二考情考向分析命题角度 利用函数图象估算方程的根在用图象估算方程根时，一定要画出尽量精确的图象，还要注意题目要求精确到的精确度例1枣庄模拟 小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x24x5的值的情况他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是(C

5、)A小明认为只有当x2时，x24x5的值为1B小亮认为找不到实数x，使x24x5的值为0C小梅发现x24x5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值D小花发现当x取大于2的实数时，x24x5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值例2利用二次函数的图象求一元二次方程x22x38的近似根解析 由于yx22x3的函数值为8时，对应点的横坐标即为一元二次方程x22x38的近似根，故可通过作出函数图象来估算方程的近似根图2525解：在平面直角坐标系内作出函数yx22x3的图象，如图2525所示由图象可知方程x22x38的根是抛物线yx22x3与直线y8的交点的横坐标左边的交点横坐标在1与2之间，另一个

6、交点的横坐标在3与4之间(1)先求交点横坐标在1与2之间的根，利用计算器进行探索x1.11.21.31.41.5y6.416.847.297.768.25因此，x1.4是方程x22x38的一个近似根(2)另一根也可类似地求出x3.13.23.33.43.5y6.416.847.297.768.25因此，x3.4是方程x22x38的另一个近似根故一元二次方程x22x38的近似根为x11.4，x23.4.现在我们用求根公式来验证一下对于方程x22x38，整理得x22x50.x1.x13.4493.4，x21.4491.4.因而利用图象法求得方程x22x38的近似根x11.4，x23.4是完全正确的

7、素材三教材习题答案P52随堂练习一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h4.9t219.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间(1)作出函数h4.9t219.6t的图像；(2)当t1，t2时，足球距地面的高度分别是多少？(3)方程4.9t219.6t0，4.9t219.6t14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图像上表示出来吗？解：(1)列表如下：x00.511.522.533.54y08.57514.718.37519.618.37514.78.5750通过列表、描点、连线可得图像如图所示(2)当t1时，h14.7, 当t2时，h19.6.(3)方程4.9t

8、219.6t0的根是指使函数h4.9t219.6t的函数值h0时， t的值它们是t0及t4.方程4.9t219.6t14.7的根是指使函数h4.9t219.6t的函数值h14.7时， t的值它们是t1及t3.图像略P52习题2.101求下列二次函数的图像与x轴的交点的坐标，并画草图验证：(1)yx2x3；(2)y2x220x49.解：(1) 抛物线yx2x3与x轴没有交点(图略)(2) y2x220x492(x210x)492(x210x2525)49，y2(x5)21，令2(x5)210，解得x15， x25.图像与x轴的交点坐标为，(图略)2一元二次方程x26x41的根与二次函数yx26x

9、4的图像有什么关系？试把方程的根在图像上表示出来解：一元二次方程x26x41的根就是二次函数y x26x4的图像与直线y1的交点横坐标把x26x41变成x26x96，则(x3)26，解得x13， x23(图略)3二次函数yx23x4的图像与一次函数y2x1的图像相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标解：相交，.4一元二次方程x2bx10(b为常数)的根与二次函数yx2bx1(b为常数)的图像有什么关系？解：一元二次方程x2bx10的根就是二次函数yx2bx1与x轴的两个交点的横坐标P55随堂练习利用二次函数的图像求一元二次方程2x24x10的近似根解：x12.2，x20.2.P57习题2.11

10、1利用二次函数的图像求下列一元二次方程的近似根：(1)2x2x150; (2)3x2x10.解：(1)x13，x22.5；(2)x10.8，x20.4.2如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是yx22x(x0)柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？解：柱子OA的高度为 m，半径至少为 m.3利用二次函数y2x2与一次函数yx2的图像，求一元二次方程2x2x2的近似根解：x11.

11、3，x20.8.P58复习题1两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图像描述乘积与因数之间的关系解：(1)设其中一个数为x, 另一个数为6x，积为y.则有yx(6x)y x26x.列表如下：x0123456y0589850根据列表、描点、连线，可得图像如图所示从表中数据之间的关系以及函数图像的走向，可以看出，当x3时， y随x的增大而减小， x3时， y的值最大为9.2求下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：(1)y22x2；(2)y3(x1)25；(3)y4(x3)21；(4)yx(5x)；(5)y12xx2；(6)y2x27x12.解：题号二次函数表达式顶点式对称轴顶点坐标(1)

12、y22x2y2x22直线x0(0，2)(2)y3(x1)25y3(x1)25直线x1(1，5)(3)y4(x3)21y4(x3)21直线x3(3，1)(4)y x(5x)y直线x(5)y12xx2y(x1)22直线x1(1，2)(6)y2x27x12y2直线x3.求下列二次函数的图像与x轴的交点的坐标，并画草图验证：(1)yx26x9；(2)y94x2；(3)y(x1)29.解：(1)令y0，得x26x90，所以(x3)20，则有 x13, x23.所以，二次函数的图像与x轴交点的坐标为(3，0)作图略(2) 令y0，得94x20，所以x2， 则有x1， x2.所以，二次函数的图像与x轴交点的

13、坐标为，.作图略 (3) 令y0，得(x1)290，(x1)29, 则有x12, x24.所以，二次函数的图像与x轴交点的坐标为(2，0), (4，0)作图略4把一根长120 cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和是多少？它们的面积和最小是多少？解：设其中一部分长为x, 另一部分长为120x，它们的面积和为y.则y，即y(x60)2450.当x60时，y最小值450.答：它们的面积和的最小值为450.5当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量某型汽车的撞击影响可以用公式I2v2来表示，其中v(km/min)表示汽车的速度(1)列表表示I与v

14、的关系；(2)当汽车的速度增加为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？解：(1)如下表：v0123I02818(2)I2(2v)242v2.则当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍6自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系是h4.9t2.我们知道，对同一物体，月球的引力大约是地球引力的，因此月球上物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系大约是h0.8t2.(1)在同一直角坐标系中作图，分别表示地球、月球上h和t的关系；(2)比较物体下落4 s时，在地球上和月球上分别下落的距离；(3)比较物体下落10 m时

15、，在地球上和月球上分别所需要的时间(结果精确到0.1 s)解：(1)略. (2) t4时， h地4.9t24.91678.4(m), h月0.8t20.81612.8(m)答：在地球上和月球上下落的距离分别为78.4 m, 12.8 m. (3) h 10时， 104.9t，100.8t，则有t地1.4 s, t月3.5 s.答：在地球上和月球上所需要的时间分别为1.4 s, 3.5 s.7二次函数yx2x5与一次函数y2x1的交点坐标是什么？利用函数表达式、表格和图像三种方法求解解：利用函数表达式求：x2x52x1，(x4)(x1)0，x14，x21，它们的交点坐标为(4，7)，(1，3)利

16、用表格求：列表如下：x210123456yx2x513553171525y2表可知，它们的交点坐标为(4，7)，(1，3)利用图像法求略8.方程x22x0的根与二次函数yx22x的图像之间有什么关系？解：方程x22x0的根即为二次函数yx22x的图像与x轴交点的横坐标9利用二次函数的图像求下列一元二次方程的近似根：(1)x211x9；(2)x23x20；(3)x22x90；(4)x233x.解：(1)x111.76, x20.76； (2) x16.22, x23.22；(3) x14.16, x22.16；(4) 无解10写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系表

17、达式，并分别计算当a1，2时三角形的面积解：Sa2，当a1时，S，当a时，S，当a2时，S.11正方形的边长是x，面积是A，周长是l.(1)分别写出A，l与x的关系式；(2)在同一直角坐标系中作出(1)中两个函数的图像，比较它们的变化趋势；(3)你所作的函数Ax2的图像与函数yx2的图像有什么不同？为什么？解：(1) l4x，Ax2.(2)画出图像如图所示两个图像都呈递增趋势.0xA；x4时，lA；x4时，Al. (3) 函数Ax2的图像只是在第一象限内的部分，而函数yx2的图像是在第一、二象限内的部分这是因为两者的自变量的取值范围不同，前者是非负数，而后者是一切实数12已知平行四边形的高与底

18、边的比是ha25，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图像观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况解：由ha25，得h.Sha.如图，由图可知，面积随底边a的增大而增大，且变化速度先慢后快13如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画(1)求小球到达的最高点的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标解：(1)yx24x(x4)28.当x4时， y最大值8.答：小球到达的最高点的坐标为(4，8)(2)由于点A同时在两个函数的图像上， x24xx，整理得， x27x0，解得x10(舍去)， x27.当x7时， y.故点

19、A的坐标为.14如图，假设篱笆(虚线部分)的长度是15 m，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？解：设矩形的一边长为x m，则矩形的另一边长为(15x)m，则yx(15x)x215x.yx215x，当x m时，矩形的面积最大，最大面积是 m2.答：矩形的一边长为 m时，即围成一个正方形时面积最大，最大面积是 m2.15如图(单位：m)，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合，设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2.(1)写出y与x的关系表达式；(2)当x2，3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长

20、时间？解：(1)因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，所以y2x2.(2)在y2x2中，当x2时，y8；当x3.5时，y24.5.(3)在y2x2中，因为当y50时，2x250，所以x225，x5(负值舍去)答：此时，三角形移动了5 s.16科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时发现，火箭的高度h(m)与时间t(s)的关系数据如下：时间t/s1510152025火箭高度h/m155635101011351010635(1)根据上表，以时间t为横轴，高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点(2)你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？(3)请由以上数据确

21、定h与t的函数表达式(4)你能由上述三种函数的表示方式求出该火箭的最高射程是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？解：(1)图略(2)h是关于t的二次函数(3)由表可知，抛物线的顶点坐标为(15，1135)所以可设ya(x15)21135，将(10，1010)代入，得1010a(1015)21135，解得a5，y5(x15)21135.(4)能，根据表格可求出最高射程为1135 m.17如图，喷水池的喷水口位于水池中心，离水面高为0.5 m，喷出水柱呈抛物线，最高点离水面 m，落水点离池中心1 m.(1)请你建立适当的直角坐标系；(2)在你建立的坐标系中，用函数表达式描述右边的这条水柱，并说明自

22、变量的取值范围；(3)描述左边水柱的函数表达式是怎样的？解：(1)建立如图所示的坐标系(2)由图可知抛物线经过点(0，0.5)，(1，0)，顶点的纵坐标为，设抛物线的函数表达式为ya(xk)2，将点(0，0.5)，(1，0)代入得0.5a(0k)2，0a(1k)2，解得k(负值舍去)，a1，y(0x1)(3)y(1x0)18把一个数a拆成两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？解：设所拆成的两个数中一个数为x，它们的积为y，则另一个数为ax，依题意，有y(ax) x x2 ax.当x时， y有最大值也就是说，当所拆成的两个数相等时，它们的积最大19相框边的宽窄影响可放入相片的

23、大小，如图，相框长26 cm，宽22 cm，相框边的宽x cm，相框内的面积为y cm2.(1)写出y与x的函数表达式；(2)作出这个函数的图像；(3)当x1，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？解：(1)y (262x) (222x) 4x296x572.(2)略(3)当x1时， y496572480；当x1.5时， y 41.52961.5572437；当x2时， y 422962572396.当x1，1.5，2时，分别可以放入面积为480 cm2，437 cm2，396 cm2的相片20竖直向上发射的物体的高度h (m)满足关系式h5t2v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/

24、s)是物体被发射时的速度某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15 m，那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01 m/s)解：在h5t2v0t中， h取最大时， h，而此时h15，15，解得v010(负值舍去)v017.32 m/s.答：喷水的速度应该达到约17.32 m/s.21如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成长方形的长为16 m，宽为6 m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8 m.(1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；(2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7 m，宽为4 m如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 解：(1)yx28

25、；(2)这辆货车能安全通过22.一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4 m时，拱顶到水面的距离是2 m当水面下降1 m后，水面宽度是多少？(结果精确到0.1 m) 解：如图，以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系设抛物线的函数表达式为yax2k，抛物线过点(0，2)，yax22.又抛物线经过点(2，0)，04a2，解得a，yx22.水面下降1 m，即y1.当y1时，有1x22，解得x1(舍去), x2.答：水面宽度为24.9 m.23已知，在ABC中，ABAC10，BC12.在ABC中截出一个矩形DEFG(如图)，设EFx，SDEFGy，写出y与x之间的函

26、数表达式，列出表格，并画出相应的图像根据以上三种表示方法回答下列问题：(1)自变量x的取值范围是什么？(2)图像的对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)你能描述y随x的变化而变化的情况吗？解：y关于x的函数表达式为yx28x.表格及图像略(1)0x12；(2)图像的对称轴为直线x6，顶点坐标为(6，24)；(3)当0x6时，y随x的增大而增大，当6x12时，y随x的增大而减小24.某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图(1)所示，成本与销售月份之间的关系如图(2)所示，(图(1)的图像是线段，图(2)的图像是抛物线)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？(收益售价成本)解：销售单价与销售月份之

27、间的关系为y1x7(x3，4，5，6)成本与销售月份之间的关系为y2(x6)21(x3，4，5，6)，所以，每千克蔬菜的收益函数为wy1y2(x5)2(x3，4，5，6)，因此5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大25.(1)如图，第n个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？(2)求13，135，1357，13579，13579(2n1)解：(1)第n个图形中，共有小方块的个数为1357(2n1) n2.(2)134；1359；135716; 1357925; ；1357(2n1) n2.26.(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？(2)完成下

28、表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？解：(1)第6个图形中，共有小圆圈的个数为12345621(个)(2)填入数见下表：1361015(3)m123456n.即mn2.27(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？(2)完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数 (3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？解：(1)第5个图形中，共有小圆圈的个数为1(1234)661(个)(

29、2) 填入数见下表：17193761(3)m11234(n 1)6，即m113n(n1)3n2 3n1.即m3n2 3n1.28.求如图所示的图形中小圆圈的总数解：99410121.图中共有小圆圈121个素材四图书增值练习专题一 二次函数与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 1. （2012,泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）.A3 B3 C6 D92. （2012，兰州）二次函数y=ax2bxc(a0)的图象如图所示，若|ax2bxc|=k(k0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.Ak3 Bk3 Ck3 Dk33画出函数的图象，根据图象回答下列问题

30、（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？4已知点A（1，1）在二次函数图象上.（1）用含a的代数式表示b；（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标.5函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标6已知二次函数，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？7已知二次函数（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；（

31、2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？【知识要点】二次函数与一元二次方程的关系.【温馨提示】考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程有实数根的条件，掌握二次函数的有关性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键参考答案1B 解析抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3，a0，即. 一元二次方程有实数根，=，即，即，解得，m的最大值为3规律总结：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a，b的关系是解答此题的关键2D 解析考虑用排除法解题. 若k=3有三个解，0k3时四个解. k3时对称轴一边一个，所以有两个解. k0无解，k=0也是两个，但是已

32、知条件中k03解：图象如下图，（1）图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，3）（2）当x1或x=3时，y0，x的取值与方程的解相同（3）当x1或x3时，y0；当 1x3时，y04解：（1）因为点A（1，1）在二次函数yx22axb的图象上，所以112ab，可得b2a.（2）根据题意，方程x22axb0有两个相等的实数根，所以4a24b4a28a0.解得a0或a2.当a0时，yx2，这个二次函数的图象的顶点是（0，0）；当a2时，yx24x4（x2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0）.所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）.5解：根据

33、题意（3a）24a0，解得a11，a29.当a1时，yx22x1（x1）2，此时与x轴交点坐标为（1，0），当a9时，y9x26x1（3x1）2，此时与x轴交点坐标为（，0）.函数与x轴的交点为（1，0）或（，0）.6解：(1)=，由，得，所以0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点（2）由，得；由，得；又由(1)知0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧（3）由，得m=2. 因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴7（1）证明： b24aca24（a2）a24a8（a2）24.（a2）2 0 （a2）240.抛物线与x轴有两个不同交点.（2）解析设抛物线与x轴交于点（x1，0），（x2，0）（x1x2），则，这两个交点间的距离为.（3）当x2时，两点间距离最小素材五数学素养提升二次函数与“看图说话”“看图说话”就是由图象给出数据信息，探求变量之间关系.因此学会看图象，并从中获取信息是必要的，从而解决实际问题的题型.这类问题来源广泛，蕴含信息丰富，能培养学会收集、整理和加工信息的能力，是近年来中考的热点. 下面仅举几例加以探讨与研究.例1:在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为( )O-12-21-3-45y2xy1图1yOxyOxyOxyOxyABCD分析:选项A中,从一次函数图象看出