2019年大学高数公式大全.doc

1、导数公式:(tgx)二 sec x(ctgx)二-esc2 x(secx) =secx tgx (cscx) - -cscx ctgx (ax=ax In a1(log ax)xln a基本积分表:Jtanxdx = In cosx +CJcotxdx = In sinx +CJsecxdx = ln secx + tgx +CJcscxdx = In cscx ctg +C dx.22a x dx2 2x -adx.22a -xdx1 ,1 x -aInC2a|x a1 ,a xInC2aa-xC诃csinx1丄xarctg C a a高等数学公式(arcsin x) =1v1-x2(arc

2、cos x)=,1 2V-x2(arctgx)1 +x(arcctgx)1 + xdxJ 2-cos xdx2sin xsecx tgxdxsecx C2=sec xdx = tgx C2-jcsc xdx 二-ctgx Ccscx ctgxdx - - cscx Cxaxdx C In ashxdx 二 chx Cchxdx 二 shx C二 In(x 、x2 _ a2) C712二 sinn xdx 二0xdx = n11 n 2n 2 / Jx2 十 a2 dx = Jx2 十 a2 十 a In(x + 寸 x2 十 a2) + C2 2, _ 2 jJx2 _a2dx = x x2

3、_a2Inn cos0- In x + *x2 -a2 +Ca2 -x2dx=x a22 2-x2 arcs inx C2三角函数的有理式积分:2usin x 2,1 +u2cosx 二匕，dx2du22 u第1页共15页一些初等函数:两个重要极限:x. x双曲正弦：shx=e -2x ,_x双曲余弦：chx=-2lim沁x刃x=1lim （1 ）x =e =2.718281828459045 j x第20页共15页x_x双曲正切:thx二空=-x电 chx e +earshx =1 n（x . x21）archx 二 ln（xx2 -1）arthx21 -x三角函数公式:诱导公式：-和差角公

4、式:函数角 A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 +a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 +asin acos atg actg a-和差化积公式:sin（： 二 I ） =sin ： cos二cos： sin

5、: cos（： ：） =cos： cos ： -sin ： sin :Ra + P a - Psin ： sin 2sin cos2 2tg ； -tg :1 二 tg： tg ：ctg（二 i ）=ctg ： ctg ： _1 ctgi 二ctg：sin 匚-sin :Ct二 2cos2a - P011 12cos： cos：a+ 1 0E-P=2cos2cos2COS； -COS :a+ Pa-P一 2sin2-sin2倍角公式:sin 2： = 2sin ： cos：cos2：2 2二 2cos 1 =1 2sin cos2 sin ：sin3： = 3sin： -4sin3:ctg 2

6、:-2_ ctg 12ctg :3cos3： = 4cos ： -3cos二tg2,洱于1 -tg a3丄 c3tga tg atg32_1-3tgaa1 -cos：sin=斗2 2a1 - cos：tg2=+ i；1 cos：-半角公式:1-cosjsi nsin ：1 cos：1 cos：cos2 2丄a：1+cosa1 cos：si n。ctg2. 1 - cos：si n：1 - cos：余弦定理：c2 = a2 b2 -2abcosC正弦定理：abc 2Rsin A sin B sin C-反三角函数性质:Ttarcs in x 二arccosx2Ttarctgx arcctgx2高

7、阶导数公式 莱布尼兹(Leibniz )公式：n (uv)(n)八 C：u2)v(k)k(n)丄(nJ) * 丄 n(n 一0 (n_2) 丄丄 n(n 一1厂(n-k*1) (n_k) (k)丄丄(n)二u v nu vu vu 十uv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) = f ()(b-a) 柯西中值定理：如IM二山F(b)-F(a) F 徉)当F(x) =x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds二1 y 2dx,其中y tgt平均曲率：从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。 m点的曲率：k =泌|纠=罔=(卜丨.必

8、 |加丨 Idsl 1(1+y2)3直线：K =0;半径为a的圆：K =丄.a定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab - a(y。 ynj)nb梯形法：f (x)a:口by。yJ %yZn 2b抛物线法：f (x)ab a(yo yn)2(y2 目43nyn)4(yiy3yn)定积分应用相关公式：功：W = F s 水压力：F = p A引力：F =km,k为引力系数r函数的平均值:babf(x)dxa均方根:bf2(t)dta空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d = M1M2 =1(x2 X1)2 +卜2 -yJ2 +(Z2 zi)2 向量在轴上的投影：PrjuAB二AB cos严是

9、AB与u轴的夹角。Prju(Q a?) =Pr ja1 Pr ja?a b = a b cos =axbx +ayby +azbz,是一个数量,两向量之间的夹角:COSTaxbx+ayby+azbz. a/ a/ a/ . b b/ bz?-i jcuaFhaxaybxbykaz,c=|a，bsi n。.例：线速度：vnwr.bzax 向量的混合积：abc =(aHb) c = bxaybyCxCyazbz =ab 98曲3为锐角时,Cz代表平行六面体的体积平面的方程：1 点法式:A(x -X。)B(y -y) C(z -Zo) =0,其中 n =A, B,C, Mo(x, y,Zo)2、一般

10、方程：Ax By Cz 0 3、截距世方程：-a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d =咫 +Byo+CZo+D|x = x0 mt“ y = y0 + ntz = z0 + ptJA2 + B2 +C2空间直线的方程： 口0二土必二口0 “,其中s=m,n,p;参数方程: mnp二次曲面：2 2 21、椭球面:笃.与刍=1a b c2 22、抛物面：x y =z,（p,q同号）p 2q八3、双曲面：2 2 2单叶双曲面：笃 刍=1a2 b2 c22 2 2双叶双曲面：二生二=1（马鞍面）a2 b2 c2多元函数微分法及应用全微分：dz = U dx 三dy exdydu 二昱 dx d

11、y dz excycz全微分的近似计算：:z : dz 二 fx（x, y） ：x fy （x, y） ：y多元复合函数的求导法z = fu(t),v(t)dz dtz =fu(x,y),v(x,y):z-：u.z.:u: z:v*:t；:v .:t.z-：u :z;:vT 1-:xfu:x:v当 u=u(x,y)，v = v(x, y)时,cu亠edu dx dyx:ydvdx.:v-dyy隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) =0,dyFxd2ydx Fyd （号凹dx2 Fy：y Fy dx隐函数 F(x, y,z)二 0,：z Fx:zFy:xFz:yFz隐函数方程组：F(x,y，u，

12、v)=o2(x,y,u,v)=0j _ ”F,G).:(u,v)奇-alCG一CUV VF Gu UF G哥別CGCV:u1；:(F,G):v1；:(F,G).Xj：(x,v):Xj：:(u,x).:u1；:(F,G)：v1；:(F,G)yj汽y,v):yj：:(u, y)微分法在几何上的应用：x = (t)空间曲线y，(t)在点M(Xo,y,Zo)处的切线方程：兰 (to) (to)(to)Z = ： (t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0) (t0)(yy0)(toz-Zo) = 0若空间曲线方程为：伏y：0,则切向量IFyFzFzFxFxFyGyGzGGx,GxGy曲面F(x, y

13、,z)=0上一点 M(xo,y,Zo),则:1、 过此点的法向量:n 叫 Fx(X。，yo, Zo), Fy(X。, yo, Zo), Fz(xo, yo,Zo)2、 过此点的切平面方程:Fx(xo,y,Zo)(x-Xo) Fy(xo,y,Zo)(y-yo) FZ(xo,yo,z)(z-z) =03、过此点的法线方程:x - xoy - yoz -ZoFx(Xo,yo,Zo) Fy(xo,yo,Zo) Fz(x。，y。，Zo)方向导数与梯度：函数z=f(x,y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：-ff cof si n，cldxcy其中为x轴到方向I的转角。f: f 函数 z=f(

14、x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i jexcy它与方向导数的关系是：丄=grad f (x,y) e，其中e=cos，sin，为I方向上的单位向量。-f是gradf(x,y)在l上的投影。-l多元函数的极值及其求法：fxy(x,y) = B,fyy(x,y) = C设fx(Xo,yo) = fy(Xo,yo) =0,令：fxx(Xo,yo) = A,口 2门时；A 0时,工如士0,(x0, y0)为极小值 则：AC-B2 c0时，无极值ACB2=0寸,不确定I重积分及其应用：11 f (x, y)dxdy f (r cosyr sin Rrdrd vDD 2d

15、xdy曲面z = f(x,y)的面积A二力：ZDYs丿丿xP(x,y)db平面薄片的重心：x=Mx=D,M Jf P(x, y)drD平面薄片的转动惯量：对于x轴lx = y2(x, y)d二，DD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a), (a 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:Fz fa” 玖 x,y)xd= D (x2 + y2 +a2fM“My(x,y)d 二D11 (x, y)dcD对于 y轴I y = x2(x,y)d二(x,y)xd 二Fx = f3D/2222(x y a )2柱面坐标和球面坐标：Fyf亠牛D (x2 + y2 +a2)2x = r c

16、os日hi f(x,y,z)dxdydz二 F(r,z)rdrd乙柱面坐标：y =r sin6z = z其中：F(r, J,z) = f (r cosr sin,z)x = rsin cos球面坐标：y=rsin毋sin8,dv = rd rsin d日 dr=r2sin申drdd。z = r cos2兀兀r(Q6! f (x,y,z)dxdydF(r, ,r2sin drd ddd F(r,)r2sin dr0 0 0重心：x二1 _ 1111 x :dv,y =i.1.1 y :?dv,1z i.i.i.izdv,M . .MQM门转动惯量：Ix = .(y2 z2)dv,Iy 二!U：(

17、x2 z2)dv,QQ其中 M = x = .，dvQlz = .(x2 y2)dvQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：C i),则:pJ f (x,y)ds = J f(t),屮(t) J轩(t)刊 Q(t)dt P)L :-特殊情况：x =ty十)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为/=CP(t)，则： 厂屮PP(x,y)dx Q(x,y)dy 二P (t)? (t)(t) Q (t)? (t) (t)dtL、丄两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy二(Pcost Qcos ： )ds其中二和：分别为LLL上积分起止

18、点处切向量 的方向角。P)dxdy 二 | Pdx Qdy-yl格林公式：11(、Q -P)dxdy =： Pdx Qdy格林公式：(、QD釵 矽LD故FQ rP1当P = -y,Q=x，即：一-一 =2时，得至U D的面积：A= dxdy 二一 xdy-ydx 泳创D 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：一 G是一个单连通区域；2、P(x,y)， Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且、Q = P。注意奇点，如(0,0)，应 8xcy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积： 在4 =时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:x :y(x,y)u(x,y)

19、= JP(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x=0。(x%曲面积分：对面积的曲面积分：JJf (x,y,z)ds= JJ fx, y,z(x,y)、：1 + z2(x,y)(x,y)dxdyZD；对坐标的曲面积分:!P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdy,其中：ZR(x, y, z)dxdy 二 Rx, y,z(x, y)dxdy 取曲面的上侧时取正 号；二D xy!P(x, y, z)dydz： ： iiPx(y, z),y,zdyd乙 取曲面的前侧时取正 号； 丈Dyz!Q(x,y,z)dzdx ： iiQx,y(z,x),zdzd

20、x 取曲面的右侧时取正 号。丈Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcosh 11 Qcos ： Rcos )dsZE高斯公式：R）dzdx （卫ex兰）dxdy 二 Pdx Qdy Rdz ydydzdzdxdxdycosacosPcos?-f fdx&_ iiXxczPQRPQR:Q.:P关的条件:上式左端又可写成：Hz空间曲线积分与路径无;:P:x : y旋度：rotA =i.xP:yQ.zRP - Q- R111()dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos_：Qcos ： Rcos )ds- :：x斜：z、-高斯公式的物理意义通量与散

21、度：散度：div、二-P . -Q .、R,即：单位体积内所产生 的流体质量，若div、.： 0,则为消失 ex cy cz通量： A nds 二 ijAnds二(Pcos二川 Qcos ： Rcos )ds，z z z因此，高斯公式又可写 成：div Adv二AndsQZ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：RP, :Q()dydz (y:z:z:x向量场A沿有向闭曲线-的环流量：Pdx Qdy Rdz = ： A tds fr常数项级数：等比数列：1 q q2n1 -q1 -q等差数列：2,3 n=加2调和级数：1- -是发散的23 n级数审敛法:1正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别

22、法)：rp1时，级数发散 p=1时，不确定3、定义法：sn =比 U2川卷Un； lim Sn存在，则收敛；否则发 散。交错级数6-u2u3-u(或-u1uu,un0)的审敛法莱布尼兹定理：Un羔十如果交错级数满足|imu =0,那么级数收敛且其和S兰U1,其余项rn的绝对值rn兰Un审 n* n绝对收敛与条件收敛：(1)5 U2亠一比，其中Un为任意实数；U1 +氏|+山|+|Un +如果(2)收敛，则肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称为条件收敛级数。调和级数1发散，而.匕必收敛；nnp级数：1npp _ 1时发散p .1时收敛幕级数:X 1时，收敛于1 -X

23、X兰1时，发散收敛，也不是在全对于级数(3)a0 - a1X - a2x2亠亠anxn ，如果它不是仅在原点数轴上都收敛，则必存c R时收敛在R，使x aR时发散，其中R称为收敛半径。an 1是 (3)的系数，则一。时，R)亍=0 时，1 - :时，R = 0x = R时不定求收敛半径的方法：设函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数：f(X)= f(X0)(X-X0) 如(X-X)n2!n!(n 1)余项：Rn二(x-xo)n+ f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim&=0(n 1)!n 匸：x0 =0时即为麦克劳林公式:一些函数展开成幕级数：f(x)二 f (0) f (0)x -x

24、22!f (n)(0)n!十m 彳m(m-1) 2(1 x) 1 mxx2!35X .X sin x =x-3!5!+(m-n +叭入n!(-1 ： x : 1)x2n4八订(_1)2(2n -1)!:X ；：n)欧拉公式：ixe cosx i sinxcosx =或| .sin x =ix . ix e e2ix4xe -e2三角级数:of(t)二民八 Asin(n t J 二寸n#2oO一二(an cosnx bn sinnx)n T其中，a 二aA0，a.二代sin ，bn 二 ApCOS n，二 x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnX 任意两个不同项的乘积 在&二 上的积分=0。傅立叶级数:a汇f (x)0、(an cos nx bns inn x), 周期 =2:2 nA1 二 f(x)cosnxdx711 二f (x)s inn xdxanbn1-+21丄3251 1 1224262正弦级数:an余弦级数:bn(n =0,1,2 )(n 十,3 )82Tt=0,=0,1241+221它丄丄32 42丄丄32 422(相加)6_ 2-(相减)12bnan2 二f (x)sin nxdx心02 二f (x) cos nxdx心0n =1,2,3n =0,1,2周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x)= bns