高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程 新人教A版必修2

1、4.1.2圆的一般方程,自主预习,课堂探究,自主预习,1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法,课标要求,知识梳理,1.圆的一般方程,3.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程,自我检测,1.(二元二次方程与圆)圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是( ) (A)(1,-2)(B)(1,2)(C)(-1,2)(D)(-1,

2、-2,A,2.(圆的一般方程)圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于( ) (A)3(B)4(C)5(D)25,C,3.(圆的一般方程)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是( ) (A)(1,+)(B)(-,1) (C)1,+)(D)(-,1,B,4.(求圆的一般方程)以点A(0,0),B(4,3)为直径的两个端点的圆的一般方程是,答案:x2+y2-4x-3y=0,5.(与圆有关的轨迹问题)一动点M到A(-4,0)的距离是它到B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是,答案:x2+y2-8x=0,课堂探究,二元二次方程与圆的关系,题型一,教师备用】 圆的方程的判断

3、 1.圆的一般方程的结构有什么特征? 提示:x2和y2的系数相等均为1,没有xy项. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具备什么条件才能表示圆? 提示:需同时具备三个条件:A=C0;B=0;D2+E2-4AF0,下列方程是否表示圆,若是,求出圆心和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-5x=0,例1,解: (1)因为方程2x2+y2-7y+5=0中x2与y2的系数不相同,所以它不表示圆. (2)因为方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项,所以它不

4、表示圆. (3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为 (x-1)2+(y-2)2=-5, 所以它不表示圆,题后反思 判断二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法: (1)利用圆的一般方程的定义,求出D2+E2-4F利用其符号判断. (2)将方程配方化为(x-a)2+(y-b)2=m的形式,根据m的符号判断,方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径,即时训练1-1,求圆的方程,题型二,例2】 已知ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的一般方程,题后反思 对圆的一般方程和标准方程的选择:

5、 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F,特别提醒 当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程;条件与点有关时,常设圆的一般方程,即时训练2-1:求圆心在y=-x上且过两点(2,0),(0,-4)的圆的一般方程,并把它化成标准方程,备用例2】 求经过两点A(4,2),B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程,求动点的轨迹方程(或轨迹,题型三,例3】 已知直角ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC中点M的轨迹方程,题后反思 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的条件,并用坐标表示,化简即得轨迹方程. (2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程,已知