第一章正弦定理和余弦定理习题课

1、习题课 正弦定理和余弦定理学习目标1 进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高 对正弦、余弦定理应用范围的认识;3初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角 函数、向量有关的综合问题.课前自測*以题带点，自主回顾1.在 ABC 中，sin A : sin B ： sin C=3 ： 2 ： 3,则 cos C 的值为()AlB_l1D_4解析 VSEAABC 中,sin A : sin B : sinC = 3 ： 2 ： 3 ,a ： b ： c 二 3 : 2 ： 3 z 设 a 二 3k，b = 2k t c = 3k ,则 cos C 二 2aha2 + b2 91c +

2、 4k2-9k2 j=ni?二故选 a.答案A2.已知ABC 的面积 S=a2(b2+c2)f 则 cos A 等于()A.-4B.f D-竝u72-2 c+Z72z?c2/一一 A2Z?ccos A f故选Dsin A = - 4cos A ,又 sin% + cos2A = 1 ;联立解得 cos A =答案D3.在ABC中，内角A, B, C所对应的边分别是a, b, c,若c2 = (ab)2+6,C耳，贝IJAABC的面积是.解析 由 c?二(a - Z?)2 + 6 ,可得 c2 = a2 + b2 - 2ab + 6 f 由余弦定理：cr = a2 + b2 - 2abcos C

3、 = a2 + b2 - ab ,所以：a2 + b2 - lab + 6 = t/2 + Z?2 - ab ,所以 ab = 6 ；所以 Sgc 二 *sin C = 5 X6爭羊.答案芈4.AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知C=60, b=托，c=3,则人=.c &x半鸟解析 由正弦定理,得sin B =年二一产二爭，结合b 右；右= 左或左= 中U右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系 通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系,般是 通过正弦定理转化.【训练1】在ABC中，若ocos?手+ccos学

4、=臥 求证：ac=2b.证明 由题 a(l + cos C) + c(l + cos A) = 3b ,a2 + b2 - c2b2 + c2 - cr即十 2 +十 2bc二皿 2ab + a2 + b2 - c2 + 2bc + b2 + c2 - a2 = 6Z?2 ,整理得ab + be = 2b2 ,同除b得a + c = 2b ,故等式成立.类型二利用正弦、余弦定理解三角形2【例2在ABC中，若c cos B=bcos C,且cos人=亍 求sin B的值.解 由cos 3二Z? cos C ,结合正弦定理得，sin Ccos B = sin Bcos C ,古攵 sin(B -

5、C) = 0 , 9OBtc,OCtc,/. -:.B - C = 0 # B = C ,古夂 b 二 c.2 ，一 : cos A二亍由余弦定理得3a2 = 2h2 t再由余弦定理得cos 3二半，又0B 180 ,故sin B二辱规律方法(1)余弦定理和正弦定理一样,都是围绕看三角形进行边角互换的在 有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时f要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用,要 抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意,当把条件转化为角之间的关系时f还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】(1)求角A;在锐角4BC中

6、,/?26/2c2_cos (A + C) acsin Acos A(2)若。=迈，求的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2 + c2 - b2 = 2accos B ,-2ccos B cos (7i - B ) ac sin Acos A:.sin 24 二 1 且 04A = 45 zB + C= 135 #(2)5 0 B 45 C 90 ;0C 90又上二厶二亠二2sin B sin C sin A 1/. b = 2sin B t c = 2sin C ,be = 2sin(135 - C)-2sin C = 2sin(2C - 45) + 2 , 45 2C - 45 芈 =

7、135,求 BC 的长.解 在ABD 中 f AD=0 , AB= 14 f zBDA 二 60。tBD = x t 由余弦定理z AB1 = AD2 + BD2 - 2AD BDcosZBDA ,/. 142 = 102 + a2 - 2 X 1 Oxcos 60，即 x2 - 10% - 96 = 0 z解得 Xi = 16 , x2= - 6（舍去）,BD二 16.9：AD 丄 CD, ZBDA = 60 r A ZCDB = 30.在BCD中,由正弦定理得BCsin ZCDBBDsinZBCD BC 二16sin 30sin 135。82.方向3与向量的综合应用【例3 3】 在ABC中

8、，角儿B, C的对边分别为 b, c,且cos(A-B)cos3Bsin(AB)sin(A + C) = 求sin A的值：若a=4y/i, b = 5,求向量丽在荒方向上的投影.解 (1)由 cos(A - B)cos B - sin(A - B)sin(A + C)=3 z3- 卩得 cos(A - B)cos B - sin(A - B)sin B 二- 33贝! cos(A B + B)= ,即 cos A 二-4又 0 v 4 v 兀.贝U sin A = t.由题知,则A叭故B二*根据余弦定理，有（4辺F = 52 + d - 2 X 5c X解得c二1或c二-7（负值舍去）.规律

9、方法求解正、余弦定理综合应用问题的注意点（1）正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另夕卜一个定理（2）三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的,应该养成应用三角函 数公式列式化简的习惯.課堂小结反思归纳.思维提升1 在有关三角形的题L1中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可 列方程（组）求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要 用，要抓住能利用某个定理的信息.2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数， 运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形

10、的交汇问题，应注意准确运用向 量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.|保后作业I强化训练巩固提升基础过关131-61 在43C中，若 = 7, b=S, cosC=R 则最大角的余弦值是（）C_7A_5D_8laca2 + c2 - b2 解析 c2 = a2 + b2 - 2abcos C = 9 t c = 3 , B 为最大角 f cos B = 49 + 9 - 64 i2X7X37答案C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为吉，则此人能 （）A. 不能作出这样的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形解析 假设能作出佔

11、C ,不妨设高吉，召，壬对应的边分别为a = 26S , b = 225 ,c= IOS z cos Ab2 + c2 - a22b-( 225) 2+ ( 105) 2 - ( 26S ) 22X22SX10S二23、110 / 为钝角.答案D3已知仙C的三边长分别为AB = 7, BC=5, AC=6.则荒的值为（）A.19B.14解析由余弦定理的推论知：AB? + BC2 - AC22ABBC9二券所以乔盘二丽11阳cos(兀-B)= 7X5X(-% 二-19 ,故选 D. 答案D4.在 ABC 中，3 = 60。，a=l, Smbc=誓,则7=LSI II解析 Subc =如 csin

12、 B = *XlXcX誓二誓，2t/ccosB=l+4-2XlX2X答案2三角形.5.在中，若急=缶=佥,则AABC是 解析I 急二岛，/. sin Acos B - sin Bcos A = 0 f /. sin(A - B) = 0 #VA z BG(0 r 7T),A - BW( - 7T # 7T)z:.A-B = 0 t :.A = B.同理 3 = C, 4 二B二 C,A3C为等边三角形.答案等边6. 在 ABC 中，BC=, AC=3, sin C=2sinA.(1)求A3的值；(2)求 sin(2A_另.解(1)在zMBC中,根据正弦定理號二骼 于是 AB 二 tirf-BC

13、 二 2BC = 25.(2)在ABC中,根据余弦定理得cos A =于是sin A二半,AB2 +AC2 - BC2 2托2AB AC二 5cos 2A = 2cos2Asin 2Acos彳-cos 2Asin彳=由倍角公式得sin 2A = 2sin Acos A二.10-7. 在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2dsm B=&b.(1) 求角A的大小；(2) 若 a = 6, b+c=8,求 AABC 的面积. 解(1)由加sin B =书b及正弦定理誥二 得sin A =申.因为q是锐角，所以a=1，(2)因为 a = 6 , cos A = ,所以由余

14、弦定理a2 = b2 + c2 - 2Z?ccos A r得 b2 + c2 - bc = 36.7Q 又因为b + c = S,所以bc = y. 由三角形面积公式S二如sin A , 得ABC的面积为g X丰X亨二耳能力提升8.AABC的两边长分别为2, 3,其夹角的余弦值为则其外接圆半径为()A罟B.竽J 859解析 不妨设 c = 2 , b 二 3 ,则 cos /I = | , sinA =V2 = b2 + c2 - 2bccos A tA = 32 + 22 _2X3X2X- = 9 z :.a = 3一_RR_丄一一一 sinAZK，心sinA_ 2匹_ 8 -2X 3答案C

15、2 I r 2 _ ,29.已知ZUBC中，三边与面积的关系为S/=“ if，则a C的值为（）1-2A解析S*帥C”沁。SC心,5）,答案C10在AABC 中,若 a2-b2=y3bc, sinQ=2伍inB,则 A=解析 由sin C二2萌sin B t根据正弦定理，得。二2代入 a2 - b2 = y3bc t 得 a2 - b2 = 6b2 f 即 a2 = lb2.由余弦定理得如二土乂-匕叱-出山2bc2b2 一 4血2 - 2 又V0A 180 f AA = 30.答案3011.在ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知b_c=*a, 2sin B= 3sin

16、 C,则 cos A 的值为.解析 由2sin B = 3sin C及正弦定理可得：2b = 3c ,由b - c二*a可得：a = c , b3=2C由余弦定理可得cos A =b2 + c2 - a22-答案I12在/XABC中，内角A, B, C的对边分别为b, c,已知b2=ac,且cos B求茁tan C的值;0Bti z 得 sin B =设BA BC=求d+c的值.(1)由cos B二扌及cos C sin C理 z 得 sin2 B = sin Asin C z1 cos A于是砧+二tan C 一 sin 4sin Ceos A + cos Csin A sin ( A +

17、C ) sin Asin C sin2Bsin B1_4* sin2B sin B 7* *33(2)由BA BC =亍得 cacos B = ,3 一由cos B二二可彳号ca = 2 ,即b2 = 2由余弦定理得 a2 + c2 = b2 + 2accos B = 5 r / (a + c)2 = a2 + C2 + 2ac = 5 + 4 = 9 f .a + c=3.13(选做题)已知h, c分别为ZkABC三个内角A, B, C的对边，cos C+羽asin Cbc=O.求角A：(2)若a = 2, /ABC的面积为羽，求b, c.解 (1 )/ABC 中 r T acos C + 羽“sin C - b - c = 0 ,禾IJ用正弦定理可得 s