3第三讲导数与微分法研究

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第三讲导数与微分法研究课时数11教学目的重 点 难 占 八、1.2.3.隐函数的导数求法参数方程确定的函数的导数求法形如y = f (X)g(X)的函数的导数求法一一取对数求导法 变动上线的积分表示的函数的导数通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各种求导方法。第三讲导数与微分法研究、基本概念1导数及其变形2分段函数的导数通过左右导数来求3. 导数的几何意义4. 微分的定义二、求导方法1 .求导公式及其应用2. 复合函数求导法 3 隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法

2、5极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X)的函数的导数求法一一取对数求导法7分段函数的导数8变动上线的积分表示的函数的导数教学过程与内容教学后记第三讲导数与微分法研究元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。一、基本概念1 .导数及其变形,f(X)-f(X0), lim = limfX - x04例1：设f (X)在x0可导，求f(X0 3h)-f(X0) (1) lim

3、 hTf(Xo 中心 X) f(Xo) _ lim f (Xo+h)- f(Xo)-hmoh1 lim n f(X0 +-) - f (Xo -Tnf(X0+2h)-f(X0-2h)hmo丄)2n2 .分段函数的导数通过左右导数来求例2：设f(X)斗X - a I (x),护(X)在X = a连续，文在什么条件下 f (x)在x = a可导? 【解】lim f(Xf(a lim -(x) = -(a)Xalim fg-f(a) = lim畀(X)=护(a)T X aXT 当q)(a)=W(a)，即 W(a) =0时，f (x)在 x = a可导。2【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|

4、, f(x) =x(x+1)(X-1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。例3:已知函数f(x) =” 2xlax + b X A1X 1处处可导，试确定 a、b的值。【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导，必先在X = 1处连续,故有 lim f(X)= limf (x) = f(1)，即 a + 1 x! H 十(2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为25=十斗ad + 也 x)+b15、.a(1+也 x)+b1ra 也XfQ=Jxs +纵 二四盂=a故a = 2，从而b = -1，所以，当a = 2 , b = 1时f (x)处处可导。(X Xo)。1=X 。4y4确定，

5、求y= f(x)在(1,1)处的切线方程。f(x )在点Xo是可微的。而记作 dy。即 dy = Aix。d2y dx2(*)- 2-y =2 -cosy 由此得哄=d rdx2(2-cosy f(2-cosy；32i sin y (2-cosy 丿_ -4s iny2-cosy(2-cosy；33.导数的几何意义设函数y = f(x)在点Xo的导数存在，为f(Xo)，则导数值为函数 y = f(X)上一点(x0, f (x0)处的切线的斜率。此时，切线方程为：y - y0 = f(x0)(x -x0)；法线1方程为： y _y0 =f(Xo)例4：求y =x2的切线方程，使此切线与直线 y

6、=X+1的斜率相同。2【解】设切点为(Xo，yo)，则有：y0 = Xo ,由已知，切线斜率与 y=x+1相同，贝y ylx0=1,1 1可解得：X0 =丄，二y。=丄2411切线方程为： y= X 即y42例5：函数y = f (X)由方程xy + 21n x【解】略4. 微分的定义x0及x0 +ix在这区间内，如果因变量的增量设函数y = f(x )在某区间内有定义，也y = f (x0 +比X )- f (x0 )可表示为 U = A总X + 0(ix )，其中A是不依赖于 也X的常数, 而0(& )是ixT 0时比 &高阶的无穷小，那么称函数y =A Ax叫做函数y = f(X在点Xo

7、相应于自变量增量 Ax的微分，二、求导方法1 .求导公式及其应用(略)2 .复合函数求导法(略)3 .隐函数的导数求法1例6：求由方程x-y+Siny=0所确定的隐函数 y = f(x)的二阶导数2【解】两边对x求导得：1 一 y +工cos y = 02-4sin yL -2sin y -y dx (2 - cosy 方法二：对(*)式再两端求导得：- y + (y cosy - y sin y、y 021 2 . 一一 y Sin y吃. -y sinyy d c.12-cosy1 - -cosyy4 .参数方程确定的函数的导数求法(1)若参数方程 卩=珂)确定y =屮(t)x与y之间函数

8、关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。(2)计算导数的方法dy _屮(t dt _屮(t ) dX 护(t dt A(t )，d2y _d2 dx ix例7:函数y = f(X)由参数方程!x = sinudu 打y =s int确定，求dydxdx = sin tdt【解】dy = costdttt dxd sc2tdtd2y _1dx2 sint例8:函数y = f(x)由方程(2X =t2 +2t-y + sin y =1确定，求d2ydx【解】略5 .极坐标方程表示的的函数的导数求法设极坐标方程为 P= P(日),化为直角坐标x = P(8) COS日y = P (日)si n9求

9、解。例9:函数y = f(X)的极坐标方程为 P= e2日求鱼dx【解】ix = e2日cos日Jdx = e2日(2cos日-sin&)d日.y =e2 日 si n0idy = e2 日(2si nS +cos&)d 日dy 2cos9 -sinQdx 2 si n+cos 日6 .形如y = f (x)g(x)的函数的导数求法一一取对数求导法例 10： y=(sin X +1)cosx，求业dx【解】In y= cosx ln(sinx+1)方程两边关于x求导. 21，+ cos xy = - sin X ln(sin x 中1)中ysi nx+1,进一步转化为直角坐标2COS Xy(s

10、in X + 1)COSX一 sin x In (sin x +1) +_sinx+1分段函数的导数分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。ig(x)-rX11：设 f (x)：= 0xhO , g(x)有二解连续的导数，g(0)=1, g(0) = 1,X = 0f (x)【解】当xhO时,f (X)gg+eJx-gW+r 当 x,时2Xg(x)e g(x)+eg(x)eg(0)-1f (X) = lim =lim lim = 丿XTX2T 2x T 28.变动上线的积分表示的函数的导数Xf (X)连续，若 F(x)=f (t)dt，则 F (X)= f (X) a2x例12:求导数(1)

11、(4)(5)d /tX cos(2t)e dt =cos(2x)edx aH3f cos(2t)etd-2cos(4x)e2xdx 2xd X2t2 X22x f cos(2t)e dt = 2xcos(x )e -2cos(2x)edx 2xd XtdXtd Xt一 a X cos(2t)e dt =x f x cos(2t)e dt = f cos(2t)e dxcos(2x)eX dx adx adx ad 1f (x)是连续函数，求 一f f (tx)dt dx 01 1令y =tx,则.0 f (tx)dt = .0 f (y)dyXd 11 X1所以，f f (tx)dt =-一7

12、 f f (y)dy + f(x)dx 0X 0X例13:设f(X)可导,f (X)+xf (x -1) =4，并且1XJ0f(Xt)dt + J0f(t 1)dt=x3 +x2 +2x求 f(x)【解】令y =tx,则11 X0 f (tx)dt =- .0 f (y)dyX1代入 J0f(xt)dtr0f(t1)dt=x3 +x2 +2xXX得 M (t)dt +xJo f (t -1)dt=x4 +x3 +2x2两边两次求导f(X -1) =6x2 +3xf(X)=6x2 +15x +9x0(Xt)f(t)dt例14：设函数f(x)连续，且f(0)工0，求极限lim T X f(x-t)dtxx_Lt 0x【解】 由于 T f(x-t)dt = 1 f (u)(du) = Jo f (u)du,于