中山纪中数列培优纪希刚

1、高三理科数学数列专题训练2019-3-3.选择填空1.已知方程(x? 6x + k)(x2 +672x +h) =0的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则k +h =A. 2-242B.2+22C.6726D.242.已知数列（aj的通项为an =丄巴,Tn是数列an前n项的积，即= a川a.,当 2n +1取到最大值时，n的值为A.9B.8C.8()或 9D.73.化简 Sn=n+(n- 1)x2+( n-2)x22+川+2x2n- +2n的结果是()D.2n* n-2A. 2n 十+ n-2 B. 2n 屮一n+2 C.2n-n-24.已知an 是递减等比数列，a2 =2,a

2、1 +a3 =5，则a1a2+ a2a3+ Manan41(n丘 N* )的取值范围是D.黑A. 12,16)B. 8,16)5.定义“等比数列” an : a1 二1 iq = 0 + i), anH1 =an9, n忘N*，则在复平面内a2011所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限（）D.第四象限6. Sn为数列an的前项和，若Sn =2an -2（n亡N ），则数列a.的通项公式为（(B)an =2 严(C) an = 2(D) an =2n7.在等比数列an中,2a7111=a9 且 a8 a9，则使得 佝 一一）+ （a2 -一）+3-一）+川a3aia2+（an -丄）

3、A0的自然数ann的最大值为A.8&数列an满足a1分是A. 071 1)，贝y m = +ill +.103=,an 十=a； an + 吐n 匸 N 2B. 1C. 2a1 a2D. 3的整数部a2009（ ）.填空9.对于大于1的自然数m的三次幕可用奇数进行以下方式的“分裂”7-9，43111315仿此，若m3的“分裂数”中有一个是 59,则m的值为_171910.已知正项数列an的首项aj =1，前n项和为sn，若以（an,Sn）为坐标的点在曲线1y =2X（x +1）上，则数列an的通项公式为11.已知等差数列an 中，有a11性 Tip0 /性屮 性。成立.1030类似地，在等比数

4、列 bj中，有成立.112.已知数列an满足a-，an22= =an+ 丄,则数列an的通项an n 1 n +113.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元,恰七人分完全部奖金，则需拿出奖金14.在5 X 5的正方形表格中尚有 21个空格，若在每一个空格中填入一个正整数，使得每一行、每一列及两条对角线上的数都分别成等比数列，则字母a所代表的正整数是a416256三.解答题(1)求函数f(X)的解析式;1815.已知数列an的前n项和Sn = _an -(丄)n-+2(n为正整数).2(I)令bn

5、 =2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式;(令Cn =专可6 7 +C2+Ili+Cn当心时，证明：Tn 爲16.已知二次函数f(X)=ax2 +bx满足条件：f (0) = f (-1);f(x)的最小值为f(n),求数列an的通项公式; 2 , n亡N*）,若数列a.屮+隔 是等比数列.（1）求数列aj的通项公式；1（2 ）求证：当k为奇数时，一 +ak1 11 1（3） 求证： +NI+6时，Sn -2若，求 bn(III )记 Cn = #bn (n迂 N )，试证 Cj + C2 + C2010 c89 .119.已知 y = f(X), f(-)=4，对任意实

6、数 x, y满足：f(X + y) = f(X)+ f (y) 3(I)当n忘N*时求f(n)的表达式bn20.如图所示，已知动圆与直线 y = -3相切，并与定圆x2 + y2=1相内切.1),又过P1作斜率为一的直线2,如此继续下去，过Pn作斜率(1)求动圆圆心的轨迹C ;过原点作斜率为 1的直线交曲线C于P1( P1为第一象限点1交曲线C于P2,再过P2作斜率为-的直线交曲线 C于P341为_的直线交曲线C于Pn卄设Pn(Xn,yn) 令bn =X2卄X2n，求证：数列是等比数列；设数列舊n届前n项和为Sn，试比较3 Sn + 1与缶的大小.、10-3一模备考数列答案： DCDCB CA

7、B8分8.提示：an （an 1） =an +an（an 一1）1an卡 一11 1 1=an卡 一1 an -1 ananan1 1-1 an出 一1320101:as 2二 an2 （n 3）二 1 c m c 29. 810.an = n 11.1#a11a12 4H a20 =即a1a2 41）比。12.2nn +113. 25414. 8an 得 32 = 641 1 113 提示：an 十匕（mSn）+1,an =2（m SnJ+1. anH!=-115.解：（I）在 Sn=an-（-）n +2中，令n=1,2可得 S1 = -an -1 + 2 = a1，得a1 = 12当nX2

8、时冷心二虫心-什） +2,1- an + an4 +（ tV，2二 2an =an+（1）2,即2nan =2n+1.寫 bn =2nan/ bn =bn，即当n二2时,bn -bn=1.又 d =2a1 =1,/.数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是bn = 1 + (n -1) 1 = n = 2n an,（II）由（I）得 Cnn +11计十1）（1）n，所以11 1 1Tn =2咒一+ 3咒（一）2 +4天（一）3 +K +（n+ 1）（-）n2 2 2 21 111 1 .丄 Tn =2 冥（丄）2 +3X（丄）3 +4% （丄）4 +K +（n+1）（丄）2 2 2 2 2由

9、一得丄Tn =1 +（丄）2 +（丄）3 +K +（丄）.一（n + 1）（丄）.十2 2 2 2 2111-(1严=1十212.Tn =3 -专Tn=3-2n+12n 2n+15n于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n +1的大小.n 2n +1-(n +1)(2严3 n +3 210分n +35n(n + 3)(2n -2n-1)2n (2n+1)当n 3时2n =(1+1)n综上所述，当=Cn +cn +C2 +KCn+ Cn C0 + V + C：+ C： = 2n + 22n+1 n 3寸,Tn2n +112分a -b =016.解：解：(1)由题知：/a A0L 4aI 1i

10、2,解得2I 1 1卜2 8,故f(x) =lx2 +X.4分2 2(2) Tn - aia2 H I an =(2(n)2知4)13丿n- an=TnHi 丿又a1 =丁1 =1满足上式.所以an 旬(nN忙3丿 若3f (an)是bn与5an的等差中项,则 2X3f(an)=bn+5an,10分1 2 1从而 6(1an 存nffn，得 h =3an22an =3 2-2 |.k.3丿V.3丿11分法-飞=3an2an+吨2軒b+_bZl2n+2f?】nbn+ bn 3l3 丿 3l3 丿513分:=5f2 丫 “2 n313丿2丿即n 2（ n迂N *）时,bn+ bn，此时有 b3 b

11、2 3（ n迂N*）时,bn+ bn，此时有 b3 b4 Cbs .80 所以当n =3时bn最小，最小值为-。24317.解（1）v数列可卡+旳是等比数列16分+ 1an、”1十扎一应为常数an + 入an 丄an +kan 二an 十入可 J.得几=2或）； 当几=2时，可得an卡+2寻为首项是a2+2a1=15, an十+沁 a6an + Zan）a6aan + an J.r6.人1 +几an嘤=（1 +几）一公比为3的等比数列，贝y an, +2an =15 3n 当A =七时，an + 3an 为首项是a2 -3a1 = -10，公比为-2的等比数列,4分an =3“4-尹 an 卡

12、-3an = 10 （-2 ）（注：也可由利用待定系数或同除1 1（2）当k为奇数时，+ ak ak卅-得，3严3-（-2）2n得通项公式）411_+ 3宀3k +2k 3宀2宀4k 8-7 I-12丿1 1+akak十10分7x6k + 8皿3k十（3k +2k 丫3宀 一2心）*01丄141丄aka3宀 3k当n为偶数时,当n为奇数时，丄+丄+山+丄丄+g+111 +丄=丄丄a1 a2 川 an 332 川 3n 2（3n 丿 2丄+丄十+丄丄十丄+丄十丄 a1 a2an a1 a21 1却-产丿a2）1213分anan4118.解：（1 ）由已知得，a2n42n-1+12n=n ,a2n

13、 = 2 2 = 2 ,故 bn =a2n Ja2n92+3唱+电3分Sn =b +b2 + bn =1 xl + 2x2:2丿、3+ 3X4ZJn （叩12丿两式相减得,rp+p+C-嗚-陀二1化简得 Sn =2-(n+2(1(2)由(1) Sn -2 =(n因而2J问题转化为证明:S+2化二 n(n + 26时，n(n+2)v2n ,采用数学归纳法。当n = 6时,n(n + 2 ) = 6 X 8 = 48 , 2n = 26 = 64 , 48 c 64,此时不等式成立,10分k11分 假设n=k(k6 )时不等式成立，即 k(k +2)c2 ,那么当 n = k +1 时，2宀=2x

14、2k2k(k +2)=2k2 +4k =k2 +4k + k2Ak2 +4k + 3 = (k +1 Jk +3 )=(k +1 你 +1 )+2 k.s.5.u这说明，当n= k+1时不等式也成立13分14分综上可知，当n6时，n(n+2)v2n成立，原命题得证。19 解：(I)令 x=y =1，得 f(1) = f(1 +1) = 2(2)-3 = 5+故 f(n +1) = f( n) + f(1)-3=f( n)+2，二 f (n +1)-f(n)=2当 n N 时 f (n) = f (1)+f (2) f(1) + f (3) f(2) + + f (n) - f( n1)=5+2 (n 1) =2 n +343 由 bn+bn L JE)得 bbn1 1=+ f(n 1)=+2n+1 bbn1 1bn十-丄=2 n +1 bnbnb1b2b1b3b211 11 1 1 故丄=丄+(丄-丄)+(丄-丄)+2=1 +3 + 5 +(2 n 1) = n1-bn =p,n 忘 Nn(III