中南大学2009~2010学年二学期微积分III课程(2010年6月21日考试)试题及答案学

1、2008 2009学年 二 学期 微积分III课程(时间：2010年6月21日，星期一，10: 0011: 40,共计：100分钟)24学时，15学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、填空：21. L 是曲线+y2 =1，其周长为 s，则 q (xy + X2 +4y2)ds =4L2.设2是平面仝+丫 +兰=1位于第一卦限内部分，则I = rH2x+3y +z)ds =23433. L 是从 0(0,0)沿曲线 y =sin(x2 兀)到点 A(1,0)，贝U (y+2xe y)dx+(x2ey-ey2 +x)dy =4.若(x+ay)dxlydy为某函数的全微分，则a =(x +

2、 y)25.设 r =Jx2 +y2+z2，则 div(gradr) 1(1,22)=二、选择题(每小题3分,共15分)1.设曲线L: y =x2,|x 兰 1 则在f(x, y)ds中，被积函数f(x, y)取()时,该积分可以理解成 L的质量.(A) x+y;(B) x+y-2;(C) x+y+2;(D) X-3.42.已知有向光滑曲线 L :x = (t), y =(t)(a兰t P 的始点B对应的参数值为a ,终点A对应的参数值为P ,则f(x,y)dx=().(A)(C)ff (t),屮(t)dt;aff 啟t),屮(t)趴t)dt;a(B) Jpf b(t),屮(t)】dt;(D)

3、 f (t),屮(t) 4(t)dt.3.当表达式Pdx+Qdy中函数P,Q取(时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分y(A) P=F,QxX2 +y2;(B)x(C)P =2 丄 2,Qx 十y4.以下四结论正确的是(-y(D)P= y Q= X ; 2,2 22, X 十 yx+yxyP = 2 , 2 ,0= 2 , 2X 十yX 十y(A)川(x2x2舟2卡2童2+ y2 + z2)dv =4 兀 a532224(B)JJ(X + y + z ds = 4兀 a ;卡2三2(C)flX2书2卡2 a2外侧(X2 + y2 + Z2 )dxdy =a4(D) 以上三结论均错误。5.曲面

4、积分ffz2dxdy在数值上等于().t(A) 面密度为Z2的曲面送之质量；(B) 向量z2 i穿过曲面2的流量;(C) 向量z2 j穿过曲面无的流量;(D)向量z2k穿过曲面2的流量.+ y2 +z2 =R20三、(8 分)计算勺T(x2+y2+2z)ds，其中为 jX：y+z =四、(10分)计算I 广驚ydj，其中L为(X1)2 +y2 =R2(R ：0,RH1)取逆时针 L 4X2 +y2五、(10分)计算曲线积分I =ej(y2z2)dx+(z2-x2)dy + (x2-y2)dz、其中T是用平面x+y + z=3截立方体 r2：0強兰 1孕兰1、0立兰1的表面所得的截痕r若从X轴的

5、正向看去取逆时针方向z = Jv -13(1兰y兰3)，绕y轴X = 0六、(10分)计算JJ(xy + yz +xz)dS ,其中工为锥面z= Jx2 +y2被柱面x2 + y2 = 2ax所截的部分. I七、(10 分)计算 I = ffx(8y+ 1)dydz+2(1 -y2)dzdx +4yzdxdy，其中为I旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向夹角大于 一。2八、(12分)设函数f(X)在(=,讼)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,其始点 为(a,b),终点为(c,d).记I = 11 +y2 f(xy)dx +三 V2 f (xy) -1dy , L

6、yy2(1)证明曲线积分I与路径L无关.当ab = Cd时，求I的值.参考答案一 2一、1. 4s ； 2. 4 寸61 ； 3.1 ; 4. a = 2 ； 5. o3222r2x + y +z =R |x +y +z =0解（方法一）由于r是平面x+y+z=O上过球X2 +y2 +z2 =R2的中心的大圆.两个曲面方程联立消去 z,得 X2 +xy +y2R22X卜心丿I2丿2在式中，令x2-Rcost, =JRcost 丘VsRRRsin t,y =si ntcostJ2J6将，代入平面x+y+z=0,得z =costRsi nt,故r的参数方程为(2RRRRX =JRcost, y =

7、-；=sint -jcost , z =一 cost sint,(0t0,RH1)取逆时针 L 4x +yi I.A1. (C) 2. (C) 3. (A) 4. (B) 5. (D) 三、(8 分)计算 cj(x2 +y2 +2z)ds,其中 T 为3(R 1)xdy -ydx1 4x2 +y24x2+y2-n,(Qx一爭dx，r xdy -ydx17R一）dxdy =0 , l : 4x2 +y2 =呂2取逆时针方向。xdy -ydx1 xdy -ydx1”2呂亠=P JJZdxdy =飞兀一& =兀SnS2五、（10分）计算曲线积分=q(y2 z2)dx+(z2 x2)dy+(x2 y2

8、)dz、其中 T是用平面 x+ y + z=3 截立方体 r2:0空兰 1 0今兰仁0玄M的表面所得的截痕.若从x轴的正向看去取逆时针方向解 取工为平面x+y+z=3的上侧被r所围成的部分.工的单位法向量n=-1 （1,1,1） 即2v3cos心OSsYQ 按斯托克斯公式 有11173屈宀 cz2 2y-x2z2-x22x -y2I=JJI彳J(x + y + z)dS 令号 UdS273 U73dxdjDxy其中Dy为工在xOy平面上的投影区域，于是39I =-6 JJdxdy=-6”3=-9Dxydydzrrex2 2y -z2dzdxL、2 2z -x2dxdycz2 2x -y2=一2

9、 JJ( y + z)dydz + (x+ z)dzdx+(x+y )dxdy提示：cosa点ex2 2y -xcos P点列z2-x2cosYgcz2 2x -y-(x + y+z) . dS=J12 +12 +12dxdy . v33 JJdS =-273 Jj73dxdy=-6Udxdy=- .2 Fr-2DxyDxy六、（10分）计算JJ（xy + yz +xz）dS，其中工为锥面z = Jx2 + y2被柱面x2 + y2 = 2ax所截的部分. I8解：送：z(X -a)2 + y2=Jx2 + y2 ， dS = J1 + (号)2 +(芳)2dxdy = J2dxdy 投影区域

10、 Dxy : x2 + y2 2ax,或 a2，因此JJ(xy+yz + xz)dS= JJxy + (x + y)JxHylJZdxdyZDxy2a cos8 2 r cosQsinQ +cos8 +sin9rdr= 72 r,cos8si+cos8 +sin日) (2acos8)4d日=8j2a4 (cos5日d8 =872a4 ”53 =14佢a4.七、(10 分)计算 I = Ux(8y + 1)dydz +2(1 - y2)dzdx +4yzdxdy，其中为 f 二(1 y 3)，绕 y 轴 Ilx = 0旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向夹角大于 专。22 y = 3解：为y=

11、x2+z2+1，不封闭，补上工1 : 22，其法向量与y轴正向同向。X + z 2I =川(8y +1 _4y -4y)dxdy -17x(8y + 1)dydz + 2(1 - y2)dzdx + 4yzdxdy =川 dV 2 JJ2(1 - y2) dzdx + 0 = 34兀。fi L八、（12分）设函数f（x）在（Y 切 内具有一阶连续导数，L是上半平面（yO）内的有向分段光滑曲线,其始点为（a,b）,终点为（Gd）.记11屮十y2f(xy)dx+今 y2 f (xy) 1 dy , y（1）证明曲线积分I与路径L无关.y2f(xy) -11当ab = cd时，求I的值.证明(1)设

12、 P =丄 1+y2f (xy)l Q =弓 yy=f (xy) -2 Qy在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分I与路径无关.(2)(方法一)如图10-10,由于积分I与路径无关，所以I 二”山1! +y2f(xy)dx +今f )y + F 1 + y 2 f (xy) dx +三 J 2 f (xy) -dy.(a,b)yy2.(c，b )yy2=1 耳+b2 f (bx) dx + C -2 y2 f (cy) -1 dy abb y2c a cdc c+ J bf (bx)dx + J cf (cy)dy + -一ba、bd bbe= e- 广f(t)dt + f(t)dt d b abbbcd+ yLbf(t)dtC(c,d)当ab = cd时,cdJabf(t)dt=0,所以Id bA(a,b) B(c,b)(方法二)xdy+ Jl yf (xy)dx