偏微分方程答案整理第五章

1、第三章 椭圆形方程的有限差分法3.2两点边值问题的差分格式32192页L用积分插值法导出!1近徴分方程（21）的差分方程.Z 汕計煌2 aJ川/八C，可遁接积分qu dx= J在3和內任一小区间X F上积分挣 彳一兰5字）女+J；u dx dx“小）i （宀+ 乂空 dx+ J dx汕qudx= J/ dx d =警斗%+。（(2)-以6以)-(、仏 1)21du（XtJ F 护（x,X）2#心以）-（心也）；+才赵+0（0二竺&_r兰竺凹+ 0（F4dt 2&2由第3题知37心+，)- 2心畑)+心九I)衣n严(x“) ，8 如(巧,如)zv2r2、厂4、应+(+?r)+ Oz )+ 0(T

2、 h )+03 )代入得劭=（1+屛警+*答岀+。（內胡字_彳答出+00”警如+（害询半22 otox12ox+ Q/） + QC%2）+a；?） 一驾4一/：；門 ,胡吨一护勺答岀+如）+。（朋+。宀5.2稳定行与收敛性136521P25141.求证差分恪式（L1耳当一 & 1时恒稳定，当0总 一时稳定的充要2 2证明：3b=器见储-釘+晴)+(1&)(屹】-加;+吃)(1 13”喟 T；二川&(唸;-亦+ 唸;)+ (1- &)砧+1 - 2w) +)_!)一尸 Q； +(1 + 2同”;d - 尸血炸=尸(1- (1- 2r(l-砌+ 尸(1 0)；“A护1 = BU 即严=CUJ虫=(

3、1 + 2尸 0)Z-r空B = - 2r(l &)! + r(l 一 &)S C = (1+ 2尸&)Z - r 笑(1 一 2 尸(1 一 &)Z + 尸(1 一 &)S 卜禺=(1+2尸l2r(l-&)+Nl-&)禺卜1-2尸(1-&) + 2尸(1一&)(：0$丿加 =21 + 2尸8 - 2尸& cos jThl 4r(l &)sin20=:-卩2(1) 当丄&1 时，恒有 1 一 4尸(l-&)sm2 型 1+4 尸Bsin?匹2 2 2 及4Nl &)sin2 匹Il+4r0sin2 回2 2禺1；.此时(113)恒稳定.a若(113)稳定时1 + Ml-4r(l-&)sin2

4、匹J-l+4rsin 2右不等式恒成立“-l-dsin 2 - M(1+4“ sin 2 今) 1 一 4尸(1 - 0) sin 2 字24r(l- 20) sin ?理 0有卩-+cos jTih - 2r sin 4- cos ; + 2nn及6 6 2 6 6 22尸sin 2- (+cos7曲)密(+ cos j加)+ 2尸sin 2 6 J 6 ，2.格式(2,21)11稳定.45.3 Fourier 方法147页541P265V1 用Fourier方法证明差分格式(LI3)稳定的充要条件是. r (1 - 2&)1(1 13)叫=寻盹爲-加严+屹;)+ (1 - &)(晴】-2#

5、 +0寸.9aJ-W +1 W 一(巴蓋汀一岳罚隹回- Z W (冑匚駅；寸a e鼻心崔凹aS-V电V宀训 -(冷丄)十钏-Twnwo 汕-.- e Q Q 鼻訓2总亠寸十w韻肯3丄mW訓口目逹寸 7 劄为PE + I : 少宥丄丄r*r*-wiw-E蓋理O般陋介二)苟焉？id K N (匕蓋)D剧冷总丄二寸丄少雹扌 a H 34罚-丄)寺丄JQQI 宅 sox I ga + 亍常工(I I 卞 )d 岛 一一JR- I 竜 s(p 丄)命 + 3aQ I 窗 sn鸟 U 2 3A上(mt+alm岂富ID+(它直+ 4卞飞)一鱼击=鼻|一住3 F工耳+第飞e 浅寻甩七总11) +4QH監+曇刍

6、+/飞)2佥：旻 J監无祥甘+背-仝也(电丄)+ (呼十H肓写邑曹2证明差分格式A替+知“,“b T = /A 芳 +吃 + b 临一吃 + M 0） T沪X八稳定性的充要条件是网融咖右”证明旷L -时=吃h - 2叭+巧7）+手（屹-屹J 5卜20咕锻-咕唱A二e气严MM _ 2尹匸+評宀甥+兰丿（評_/町叩）戒Z+L , 1n -jtfsfi 也”afi皿 I _十、E ,V - V = rv -2+段）+ V 住 -S ）+7卯 A2kV魚-yk = 2rv（cos 皿 -1） + 3 dn 皿 +ctpU 2hV屏1 = 1 + 2r（cos 朋-1） +涉，血曲 + ?書卩5hTcf

7、e= 1 - 4r sin （0/2） + sin 皿 + :刃卩。hC?（护,）二 1一 4nn X（曲/2）+ sin 曲+dhC + 迪破1*荷足Lipsihtiz连续d k则G#致有界等价于Gf（5 =l-4rsiflC曲/幼一致有界4而G； 致有畀的充要条件是r A 因此命题成立-5.4.3P26623.证明差分恪式卩“J -幻二(”*1-巧+t U)凹-叫=a*i-幻-Uj +h)(SauTev, 1957)恒稳定卩(IT+a严 (1+a)-応3 (l-ar)+a4* (1+)-严K1屮一 (l-ar) + am 泌0 Ml=(1 + ar) - are(1 - ar) + arg

8、皿卩1 J0(1+ar) - are卩20兄_上吐J竺二（1+岔）+宀M-G| =P(1 - ar + ar 必(1+a尸)-a尸严证明：“0 +岔)b】-匕哮冷a昭I +(1-岔财am算:+ (1 + a)以；2 = (1 az比 r + am 賈；0 +岔)喟- am：冷a昭I +(1-心：-aE；T +(l + a)w；4 = (l-a厂)w； +onvjLi(w； =x)f/i . MJUl 沽(J1MJfc, /i st i 祕(1 + 少1 g -arv. & = arv.& + (1 - ar)v. &A-azv扌/(EM +(1+岔)哎9“(1-剧严用+ac押时】W/ . A+

9、lft+1 7cAk icA I zq k(1 + ar)V arV e = arvj e + (1 ar )y】azvy/M + (1 + a/)v严二(1 (Xr)谚 + azv扌訂曲 k =a但a _ V - / - , _(1 一 a) + a群侖 /il = TV，兄5 = r(1 + ar)-曲严(1 + ar) - ar& 从21 - ar(y - cos 朋)+iar sm 朋1 + ar( - cQsoh) +iar sin Gh1- 2ar sin (0/2) + an sin dh1 + 2ar sin ? (2/2) + an sin_ (1-2asin 2(必/2)2

10、+ /sin 2(l + 2arsin (ah/2) +/ sin 必1-2ar sin (aA/2) - iar sin ah1 + 2ar sin ? (aA/2) + w尸 sin 朋 (1 - 2ar sin (0/2)sin oh (1 + 2ar sin 必/可)+/ sin ch由一致对角化定理知，上述差分格式稳定（这里H=I）5442证期实系数二次方程力-iQ- Q = 0的根搜模小于等于1的充要条件是網假设丸=送亠”Jb* +4c 兰 2 - &|*3两边平方得201兰1 C且同0,从而14综上可知* |i| l-c - 2）*】2 2 2r=（2 COS 朋-2） + r（

11、2cos 戲-2）+r（2cos 炜一 2） +12r r-il-l（2cosa-2）（2cos A-2）2 2rrr-Ll-l（2cosM-2）l-（2cos/-2（2cosW-2）y222利（1 + 2厂 sin 2（型/2）（i + 2rin 2（戲/2）（1 +sin ?（旳/2）卄】=-2r sin 2（M/2） - O sin ?（戲/2）-4rsm （旳/2） +1-（l + 2rsin 2（M/2）（-4sin?（闻/2）-二（1 + sin?（朋/2）2 2第六章 双曲型方程的有限差分法6.1波动方程的差分逼近6.1.1L就二维波动方程导出5格式，并给出稳定性条件.解：驾（写

12、+与H（*） 7啜 即J=如-+乙A -啜其中r：=a z/h 2则有卩屮+】/（也-迁沪=/（%弋严严加;X +；LJfc）+ 尸2（；JU1 1 2噪 +；）轴+以;卫）+尸2（咲+1 -加h +确后1）+ 2u；z-啜 w；F =叹：1）卩令皿=廿,W；严咖叫溯卩代入（1）得*讨小=fQcos朋 2）y：+厂2 （2cos 戲-2： +2* -Va卜賈=応得林门2（1- sin 2 （必/2） - 2r sin ?（戲/2）-f*10V 二Gs= 2（1-2厂2泗2（型-2宀in2（戲）. “；i5 - q = 2 - 2（1- 2昇 Sin 2 （朋/2） - 2昇 sin ?（戲/2

13、）2 +1=护一（2 W）a + 1令|M- G|=0,得门护-（2 W）2 + l=0其中 Cl =2rsin（a/2）, C? = 2尸 sin（戲/2）卩.（2）的根按模1的充要条件是“2-C；-C扌 2 nC； 4 d冃卩 4r2（$in2（必+sin2（网/2）4是差分格式稳定的必要条件” 因此 当尸返时，G（g）-致有界；卩补充题.证躺式g心蔦）轴稳起解=当F二一时，（L20）如下P4咛】-2町+咱/囂-野+唱.叹】-铭+也句4P+2X吃;-2】+町二4护此时差分格式等价于A+J Wj诃+沖;-旷： uj -b r r r rT2h期f A;r r. TCl）屮-2Ac = 2r

14、sin-?/4l + ?/4?cl + ic1+刊41 c/41+/4-1-/4 丄 3C=i+/Ai+（；V/3p _ J -亡2/4、2j HI _ 1+7/4（1+ 疔 可见G（0）的特征值搜绝对值等于1,且G是酉矩阵.因此|Gh=l， 从而袒阵族G 伽一致有界，即门）绝对稳定.26.3初值问题的差分逼近P 311 b1.证明逼近3.1）的差分格式丄+缶型=0,rh碣 (3 28)以町总吨g是任意实参数）代到方程和（2）中有=4宀对于不 因为0,所以厂，因此:(4”(1 r)v 話十】=vSJ(1 + f 尸 COS 皿尸 + 厂sin 皿兄 1 =25:5(1+厂一广cos皿)+广Em

15、曲类似的对于嘉，因为几0,所以rCb所以乂 I J（1 一尸 + F cos 曲 F +严sin 2 型b（1 - r +尸cos曲卩+尸2 3in 2朋 所以差分格式028）绝对稳定。门6.3.2P311 22.证明逼近01）的隐格式沪(3 29)-2 +1=QT2k绝对稳定。屮证明；记f = 萨将（29）改写成；ax+l ,+I m+L k叫+皿J +】-皿1=巧以町曲g是任意实参数）代到方程中有：4严.#&宀3所以我们有：丄I J1 + 4广2刼2 灵4 1 + 4八釘朋幻 所煜分格式（32刃绝对稳定。6.3.3P311 3-3.证明逼近01)的蛙跳(Leap-frog)格式是丄 +” 一=02r2h证明其稳定的条件是乞1(330)证明：记厂1%,将(3.30)改写成：卩卩+1X-1,/ MX AUj -Uj0吋碍厂坊J”町现在以町=心碎，W；=辭诫* (是任意实参数“代到方程组中有：2X* =-小:62 sin 必 *所以其稳定性条件要求叩=+11-i2r sin okf 10所以可以写成:2-j2r sin a