及其性质椭圆

1、第5讲椭圆一、【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题;四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等二、【经典例题精析】考点1 椭圆的定义及其应用【5-1 已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线

2、【5-2 【河北省定州中学2017届高三上学期周练已知是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点，且.若的面积为9,【基础知识回眸1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F、F2的距离的和等于常数(大于IF1F2I)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(2)代数式形式:集合 P=M|MF1+|MF 2|=2a|FF2|=2c.若c，则集合P为椭圆;若=c，则集合P为线段;若b0)222.椭圆的标准方程：焦点在X轴时，yy七=1(ab0) ；焦点在y轴时，一2 + bab【方法规律技巧1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解.2.涉及椭圆

3、上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解【新题变式探究2X【变式一已知 ABC的顶点B、C在椭圆 一+ y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在BC边上, 则 ABC的3周长是【变式二【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟如图， P为圆 M ：(X-2y =24 上的动点，定点Q (- J3,0 )，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N .(1)求动点 N 的轨迹方程;(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆0 : X2+ y =2的切线I交曲线C于A, B两点，求OA|OB的最大值.【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论:(1)椭圆上任意一点

4、P(X，y)(yMO与两焦点F1( c,0)，F2(c,0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为 2(a + c).(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边，a = b2+ c2.考点2椭圆的标准方程2 2X y【5-3】已知椭圆C:2 + a22 =1(a Ab a0) b的左右焦点为F1,F2离心率为 ，过F2的直线l交C与A,B两点，若 AFiB的周长为4J3，则C的方程为=1B.2宀1C.12=12XD. 12【5-4】求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的 3倍且经过点 A(3,0 )；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且

5、焦点到同侧顶点的距离为【基础知识回眸】1.椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴,22X y-+ -=1(ab0)；a b(2)焦点在y轴，2 2y X j=1(ab0). a b2.满足条件:2a 2c,2 2 2a = b + c， a 0,b0, c0【方法规律技巧】1.求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参).当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为2 2N+L=1n(m0, n 0且 m H n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2 + By2=1 (A 0，B 0且A迪)，这种形式在解题中更简便.2a2.椭

6、圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量a, b, c, e,c等之间的关系，并能熟练地应用.【新题变式探究】 【变式一】求经过点 P (-2,1),Q(/3,-2) 两点的椭圆标准方程2 2【变式二】求-与椭圆+=1有相同离心率且经过点(2,-J3)的椭圆标准方程.43【综合点评】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是:作判断：根据条件判断焦点的位置.(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2 + n y2=1(m0, n0 且 mH n).(3)找蛙系：根据已知条件，建立关于a、 b、 c或m、 n

7、的方程组(4)求解，得方程.2 2xy”2- (1)方程一+=1ab2x与-ya2y+ =A(A0)有相同的离心率.b22 2xy(2)与椭圆+ =1(ab0) 共焦点的椭圆系方程为ab2x2a + k2y2-r=1(ab0,b+k a0) ，恰当运用椭圆系b +k方程，可使运算简便.考点3椭圆的几何性质2 2xy【5-5】已知椭圆C:2- + / =1 (a Ab 0) 的左、ab右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线I交C于A、B两点,3若 MF1B 的周长为 4忑 ，则C的方程为(2xA.324=122X .2B.+ y32乞亠=112 82x . yD.+ -12=14【5-6】设

8、P是椭圆25=1上一点， F-I, F2是椭圆的两个焦点,PF1 ”PF2 =0,则心F1PF2面积是()A.5B.10C.8D.9【基础知识回眸】椭圆的标准方程及其几何性质2 2 22a2c, a = b+ c , a 0, b 0, c 0条-件标准方程2 2x yp+4=1(ab0)a b2 2y x4+=1(ab0)a b范围|x a, y b|x|b, y b0)的两顶点为 b2A(a,0 ),B(0,b)，且左焦点为F, ABF是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率C.1 + 75D.1+73【变式二】已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ F1PF2= 60.求

9、椭圆离心率的范围;(2)求证： PF1F2 的面积只与椭圆的短轴长有关.【综合点评】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘:(1)椭圆中有两条对称轴，六点两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a C),过焦点垂直于长轴的通径长为2b2等.a2 2Xy(2)设椭圆+ =1(ab0)ab上任意一点P(x,y)，则当x = 0时，|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处；当 x= a时，|OP有最大值a,这时P在长轴端点处.(3)椭圆上任意一点P(x, y)(yN 0与两焦点Fi( c,0) , F2(c,0)构成的 PF1F2称为

10、焦点三角形，其周长为2(a+ C).(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a2 = b2+ C2.2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征.考点4直线与椭圆的位置关系22【5-7】【2016高考新课标1卷】设圆 X + y 厶 + 2x-15=0 的圆心为A,直线l过点B ( 1,0)且与x轴不重合,1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.+ EB 为定值，“并写出点E的轨迹方程;(I)证明(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ

11、面积的取值范围.2x ,【5-8】已知椭圆 一+22 1y =1上两个不同的点 A, B关于直线 y = mx + 对称.2(1)求实数 m的取值范围;求AAOB面积的最大值(O为坐标原点).【基础知识回眸】1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去 圆相交；若 A= 0,则直线与椭圆相切；若y，整理得到关于x的方程Ax2+ BX+ C = 0.记该一元二次方程根的判别式为A,若A 0,则直线与椭AV 0,则直线与椭圆相离.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.2.直线与椭圆的相交长问题:(1)弦长公式：设直线与椭

12、圆有两个公共点M(X1, yj, N(X2, y2),则弦长公式为MN1+k2 )(X1 +x2)2 -4x1X2或 MN(1*)仪1 5)2-4炖2.(2)弦中点问题，适用点差法”.【方法规律技巧】2.常用思想方法和技巧有（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.1.涉及直线与椭圆的基本题型有:(1)位置关系的判断(2)弦长、弦中点问题(3)轨迹问题(4)定值、最值及参数范围问题(5)存在性问题2.常用思想方法和技巧有:（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3.若直线与椭圆有两个公共点M （x1, y,）, N （x2, y2），可结合韦达定理，代入弦长公式

13、MN+k2)(X1 +X2)2 4x1X2或 MN（1+右）仪1 5）24炖2，求距离.2【新题变式探究】22Xy【变式一】已知椭圆 C： + =1 ,点M与C的焦点不重合，若 M关于C的焦点的对称点分别为 A , B,线段MN的中点在C上，则94I AN I +1 BN 1 =2 2 _【变式二】【2016高考天津理数】设椭圆 二+ L =1（ a J3 ）的右焦点为F ,右顶点为 A ,已知a23丄+丄|OF| |OA|仝乞，其中0为原点，e为椭圆的离心率.|FA|（I）求椭圆的方程;（n）设过点 A的直线I与椭圆交于点 B（ B不在X轴上），垂直于I的直线与I交于点 M ，与 y轴交于点

14、 H，若BF 丄 HF，且 NMOA b0 ）的一个焦点为ab75，离心率为3（1）求椭圆 C的标准方程;（2）若动点 p（ x0, y0 ）为椭圆C外一点，且点 P至圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解.温馨提醒：（1）研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想;（2）在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.四、【课时训练】A基础巩固训练1.已知椭圆252y+丄=1（ m0）的左焦点为F （4,0 ），则D. 22.已知椭圆2xC： 2a= 1(a Ab

15、 aO)的左右焦点为Fi,F2离心率为73，过F2的直线l交C与A,B两点，若AFB的周长为 473,则C的方程为（2x yA.+-3=1B.2x 2 _ + y2 =132xC. 12D.2x +12=13.设 h , F2为椭圆x22y =1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在的值为（y轴上，则1D.94.【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为（1A. 32C.33d.45.四川省成都市 2017届高中毕业班摸底】已知椭圆2y22苗=1(a0) 与双曲线C2 : - y4有相同的右焦):.k.点F2，

16、点P是椭圆G和双曲线C2的一个公共点，若PF2 = 2，则椭圆G的离心率为（42B .C .72-1D. 43-422 2Xy6.设椭圆C :2+2=1(ab0 p左右焦点为F1, F2，作F2作X轴的垂线与 C交于 A, B 两点， F1B与y轴ab交于点D，若AD丄F, B，则椭圆C的离心率等于B能力提升训练2 2Xy1.【2016高考新.课标m文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C ：r+&=1(ab0)的左焦点，A, B分别为C的ab左，右顶点.P为C上一点，且PF丄X轴.过点 A的直线I与线段 PF 交于点M，与y轴交于点E 若直线 BM 经过OE 的中点，则 C的离心率为1A.31B.22C.33D.42.若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线=1的离心率为(1B .或 32D.3.设 P,Q分剧为x2+(y-6)2=2和椭圆2計2=1上的点,则P,Q 两点间的最大