向量代数与空间解析几何1

1、第六章 空间解析几何与向量代数第六章 空间解析几何与向量代数第二十二讲 6.1向量及其运算教学目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、 平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；教学重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 教学过程：一、向量.有向线段的长度表示向量的大小*有向线段的方向既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量 表示向量的方向.向量的表示方法有两种TAB向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量?、Ab的模分别记为 同、|AB|.单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.-62 -零向量:模等于0的向

2、量叫做零向量、记作0规定：0方向可以看作是任意的相等向量：平行向量（亦称共线向量）方向相同大小相等的向量称为相等向量 :两个非零向量如果它们的方向相同或相反*就称这两个向量平行 记作a / b规定：零向量与任何向量都平行.二、向量运算 向量的加法 向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合、此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和、记作a+b r即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合 以a、b为邻边作一平行四边 形、从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的减法：设有两个向量a与b、平移向量使b的起点与a的起点重合、此时连

3、接两向量终点且指第六章 空间解析几何与向量代数向被减数的向量就是差向量。2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a与实数 汕勺乘积记作 沬 规定帀是一个向量、它的模|za|=|kiaL它的方向当/ 0时 与a相同、当几a、即 b/g (bx by、bz)=“ax .ay 卫z)、于是 X y axay az例2求解以向量为未知元的线性方程组亞3y：b， 其中 a# JZ)、bW_1 J )解 如同解二元一次线性方程组、可得x=2a3b、y=3a-5b .以a、b的坐标表示式代入、即得xP(2 *1 .2)3(1 *1 TN7 l10).yP(2、1 .2)5(1 .仁-2)I1、-2.16)

4、.例3已知两点A(X1 y1 *Z1)和B(X2*y2 .Z2)以及实数AH1在直线AB上求一点 M 使AM =扎晶.解 设所求点为 M(X J.Z)、则 Am =(x-x, y-%, z-Z1)、M(xx, yy, zz).依题意T T有 AM =aMB 、即(X%、y-yi .z-zi)4(X2%y2y、z2z)y= 1+几z= 1+几点M叫做有向线段AB的定比分点.当一1 *点M的有向线段Ab的中点、其坐标为第二十三讲y=y1 十 y22Z = Z1+z22 6.2空间向量数量积与向量积X*-64 -第六章 空间解析几何与向量代数-72 -教学目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积

5、的性质；掌握其计算方法。教学重点与难点： 数量积与向量积的计算方法。教学过程：一、两向量的数量积数量积的物理背景：设一物体在常力 F作用下沿直线从点 M1移动到点M2 .以s表示位 移皿祐2 .由物理学知道、力F所作的功为W = |F| si cos日.其中 为F与s的夹角.数量积：对于两个向量a和b *它们的模|a|、|b|及它们的夹角0的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab *即a gal bl cos8 .数量积与投影：当时Jb| cos(a： b)是向量b在向量a的方向上的投影 数量积的性质：(1) aa =|a| 2.a、b、为非零向量，a b 是aU 的充要条件数量积的运算律：

6、(1)交换律:a b =b a分配律：(a+b) c=a c加c .(3)(a) b=a (Nb) =Ma b).数量积的坐标表示：设 aqax Qy az ) ub=(bxuby %bz )气则 a b=axbxyby+azbz -设是a与b的夹角，则当a丸、b和时.有 COST =|躺玄;爲晁恙2复习高中时的有代表性的例题例1一质点在力F=4i + 2j +2k 的作用下，从点A(2, 1,0) 移动到点B(5,- 2, 6),求F所做的功及F与AB间的夹角.解由数量积的定义知,F所做的功是W=Fs,其中s=AB=3i - 3j+6k是路程向量,W=F . s=(4 i + 2j +2k)

7、( 3i - 3j+6k )=18.cos如果力的单位是牛顿(N),位移的单位是米(m),则F所做的功是18焦耳J).再由式(6.7),有F IIs J42 +22 + 22 J32 +(-3)2 +6因此，F与s的夹角为e.3例2求向量a=(5,- 2, 5)在b=(2, 1,2) 上的投影.解 Cos=b =10-2+10=6. b J4 +1 +4二、两向量的向量积向量积：设向量C、 a、b满足：C的模|c|=|a|b|sin 6 其中0为a与b间的夹角；c的方 向垂直于a与b所决定的平面 卫的指向按右手规则从 a转向b来确定.则称向量c是a与b 的向量积记作a皿川3作为平面的法线向量

8、n因为MlMl2=(d,4,6)rMlMl3n-2,3,1),所以TTn = M iMMiM 3 =i-3-2k-6 =14i+ 9j-k .-1根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14（x-2）旳（y+1）-（z -40 ,即14x49yzJ5.2、平面的一般方程由平面的点法式方程 A（x伙0）怕（y-yo）兀（z-zo）=O知，任一平面都可用x ,y ,z的一次方程 来表示。方程Ax+By4Cz4DZ称为平面的一般方程.其中 心工的系数就是该平面的一个法线向 量n的坐标、即nNABQ）.例如、方程3x*y+z-9n表示一个平面是这平面的一个法线向量.例4求通过x轴和点（41）的平面的方

9、程.解平面通过x轴、一方面表明它的法线向量垂直于x轴、即A=0；另一方面表明 它必通过原点*即D 乂.因此可设这平面的方程为By 念=0 .又因为这平面通过点 ,-1），所以有3B-CO将其代入所设方程并除以B （B知）*便得所求的平面方程为y3z=0 .二、两平面的位置关系两平面的位置关系不外是相交、垂直、平行与重合，利用两平面法向量位置关系就可判定两平面的法线向量分别为 n1=（A1、B. C1）和 n（A B2、C2）、由于coco%讪玄瞎囂貫-是两平面夹角，则有A1 a2帕b2 QE充要条件为平面垂直；殳总老则平面重合或平行例5求两平面 x-y七z-6=0和2x+y+2-5=0的夹角.

10、 解 n i=(Ai ,Bi rCi)=(1 l1 . 2b n 2=(A2 忌 Q2)=(2、1 所以所求夹角为.专.心_|AA2+B,B2严C2|1X2+(-i)xi+2X1|弁+(_1)2+22 J22+12+12例6 一平面通过两点 M1(1 *1 J)和M2(0 J *-1)且垂直于平面x+y+z、求它的方程.解1由Mi到点M2的向量为 叫弐1 *0*-2) *平面x+y4z=0的法线向量为n2=(1 J J).设所求平面的法线向量为 nA B C).则有 n n 1、即从-2CT、As2C.所求平面为 解2从点M1到点又因为所求平面垂直于平面 x+y+zT、所以n n即A+BM=0

11、、B .-2C(x/)兀(y1)兀(Z1)=0、即 2x-yz=0.M2的向量为nu_1、0._2).平面x4y+z=0的法线向量为 血=(1、1、1).设所求平面的法线向量 因为n可取为njx n2j k0 -2 =2i -j k、1 1所以所求平面方程为2x_yTn.三直线的方程直线是两平面的交线，即直线的一般式方程:jA1x + B1y+ C1z tDr = 0 A2x + B2 y + C2z + D2 = 0直线上一点Mo(xo, yo, zo)和方向向量s= m, n, p，直线的对称式方程:例7将直线J X +y +z +1 =0表为对称式 px -y +3z +4 =0解取X0

12、=1，代入方程组得y0=0、Z0= -2，即点(1,0,-2)在直线上。=4i - 43k,两平面的法向量分别为n 1=1,1,1和n2=2,-1,3，贝U s= n/改=-1所求对称式方程为： g =丄=兰24-1-3设直线11和12的方向向量为a=x1, y1, z1、b= X2, y2, z2，则COS帖|cos（a,人 b）|=Jx12 + y2 + z2 Jx； + y； +z；几个曲面方程四例8 方程x24y24z2_2x+4y=0表示怎样的曲面? 解通过配方、原方程可以改写成2 2 2（X1） %y+2） +z =5 .这是一个球面方程、球心在点M0（1 _2 0）、半径为R=5

13、 .一般地 设有三兀二次方程2 2 2Ax +Ay +Az Px 弋y+FzM=0 ,这个方程的特点是缺xy jz *zx各项*而且平方项系数相同*只要将方程经过配方就可以化成方程2 2 2 2（X*） +（y_yo） 4（ZB）=R .的形式r它的图形就是一个球面.例9方程X24y2=R2表示怎样的曲面？解 方程x24y2=R2在xOy面上表示圆心在原点 0、半径为R的圆.在空间直角坐标系 中、这方程不含竖坐标 Z、即不论空间点的竖坐标 z怎样、只要它的横坐标X和纵坐标y能满 足这方程、那么这些点就在这曲面上 .也就是说、过xOy面上的圆X2勺2=R2、且平行于Z轴 的直线一定在 x222表

14、示的曲面上.所以这个曲面可以看成是由平行于 xOy面上的圆X2句2 =R2移动而形成的.这曲面叫做圆柱面、xOy面上的圆 准线*这平行于Z轴的直线I叫做它的母线.Z轴的直线I沿x222叫做它的定曲线C叫做柱柱面：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面面的准线，动直线L叫做柱面的母线.它的母线平行上面我们看到*不含z的方程/勺2=於在空间直角坐标系中表示圆柱面 于z轴、它的准线是xOy面上的圆x24y2=R2.一般地.只含X、y而缺z的方程F（x j）T、在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面、其准线是xOy面上的曲线 C：F（xj）=0.例如、方程y2Px表示母线平行于z轴的柱面、它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x、该 柱面叫做抛物柱面.又如、方程x-yn表示母线平行于z轴的柱面、其准线是xOy面的直线x-y=0、所以它 是过z轴的平面.类似地，只含X、