山东省郓城一中2012届高三数学三轮复习专题7立体几何与向量理

1、数学专题七立体几何与向量（理科）【考点精要】考点一 .求棱锥、棱台中的高、斜高。在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算。考点二 .斜二测画法的相关计算。斜二测画法的相关计算，重点考查直观图的定点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。考点三 .三视图及相关面积、体积的计算。三视图及相关面积、体积的计算，注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同。考点四 .柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算。注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积。考点五

2、.空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质。近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查。考点六 .运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标。巧点妙拨1、垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（ 1）平行转化（ 2）垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.2求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.【典题对应】例1. （ 2009 山东4 ） 一空间几何体的三视图如图所示,

3、 则该几何体的体积为( ).A.22 3 B.4 2 3 C.22323D.433命题意图： 本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图, 并能准确地计算出 . 几何体的体积 .22解析： 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1, 高为 2, 体积为 2 , 四棱锥的底面2221正 ( 主 )侧 ( 左 )2 ，高为3 ，所以体积为 1222 3边长为333所以该几何体的体积为232. 答案 :C3名师坐堂： 解决三视图问题的关键是能将三视图还原回原几何体，还原过程中注意各种量的变化，尤其是正视图与俯视图侧视图的各个量的变化。本题还原回原几何体后集

4、合体为组合体，上面是圆锥，下面是圆柱，求体积时采用分割求解即可。例 2. （ 2011山东 19）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ACB 90 0， EA平 面EA B C D，EF / / AB ，FG / / BC ，EG / / AC ，AB2EF G（）若 M 是线段 AD 的中点，求证：FGM / / 平面DABFE ；AM（）若 AC BC 2 AE ，求二面角A BFC 的大小BC命题意图： 本题考查了立体几何中的线面平行的判定，以及二面角的判断与求解。解答此题入口较多，学生既可以利用几何法又可以利用坐标法，借以充分发挥学生的空间想象能力。解析

5、： 几何法：证明：（） EF / / AB ， AB2EF 可知延长BF 交 AE 于点 P ，而 FG / / BC ，EG / / AC ，则P BF平 面 B F G C, PA E平 面， 即P平 面B F G C平 面A E G CAEGC GC ，1于是 BF ,CG, AE 三线共点， FG / / BC ，若 M 是线段 AD 的中点，而 AD / /BC ,2则 FG / / AM ，四边形 AMGF 为平行四边形，则GM / / AF ，又 GM平面 ABFE ，所以 GM / / 平面 ABFE ；（）由 EA平面 ABCD ，作 CHAB ，则 CH平面 ABFE ，作

6、 HTBF ，连 接CT， 则C TB FCTH为 二 面 角A BFC的 平 面 角 。 若， 于 是ACBC2 AE ，设 AE 1，则 ACBC2 ， AB 22, CH2 ， H 为 AB 的中点，tanFBAAE2AE22 ， sin FBA3，3ABEFAB2 22HTBH sinABF36，在 Rt CHT中 tanCTHCH3 ,23HT32则CTH60 ，即二面角 ABF C 的大小为 60 。坐标法：（）证明：由四边形ABCD 为平行四边形，ACB900 ， EA平面ABCD ，可得以点 A 为坐标原点，AC , AD , AE 所在直线分别为x, y, z建立直角坐标系，

7、设 AC =a, ADb, AEc ，则 A(0,0,0) , C (a,0,0), D (0, b,0), M (0, 1 b,0), B(a,b,0) .2由 EG / / AC 可得 EGAC (R) ， GMGEEAAM (1c)a, b,2由FG / / BC可得FGBCAD(R) , GM GF FA AMAD1 BA EA 1 AD22( 1 a,(1 )b,c) ，则1 ， GM1 BA EA，而 GM平面 ABFE ，222所以 GM / / 平面 ABFE ；（）（）若 ACBC2AE，设 AE1，则 AC BC 2，C (2,0,0),E (0,0,1), B(2,2,0

8、), F (1,1,1),则BC AD(0, 2,0) ,BF( 1,1,1),AB(2,2,0) , 设 n1 = (x1, y1, z1 ),n2(x2, y2, z2 ) 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向量。2x12y10，令 x11，则 y11, z10 ， n1= (1,1,0)；则x1y1z102y20，令 x21 ，则 y20, z21 ， n2(1,0,1) 。x2y2 z20于是 cosn1 ,n2n1n21 ，则n1 ,n 260 ，n1n22即二面角 ABFC 的大小为 60 。名师坐堂： 1、研究线与面通常是转化成线与线的关系，或利用判定定理或利用向量予以解决

9、； 2、解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求。首先应考虑做辅助线，然后证明某角为二面角的平面角，最后在求解。【授之以渔】1立体几何中最重要的最常用的思想方法是化归与转化的思想由转化思想，可建立空间中线线、 线面、面面位置关系之间的联系，常用的转化方向有：线线平行则线面平行，面面平行则线线平行；线线垂直则线面垂直；将空闻几何问题转化为平面几何问题2求空间几何体体积常用的方法有直接套用公式法、转换法、分割和补体法等多种方法转换法一般用于求棱锥的体积，分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解33三视图、 图形的展开、 折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势解决此类问题的关键是弄清

10、图形变化前后的点、线、面的对应关系， 并分清变化前后点、线、面的位置变化4利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题时一是利用向量的分解与运算二是利用向量的坐标运算，此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确【直击高考】rrrrrr1.若向量 a = （ 1,1,x） ,b =(1,2,1),c =(1,1,1),满足条件(ca)(2b )则=-2,x =.2.在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等， 侧掕垂直于底面， 点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( )A 30B 45C 60D 90w3.已知正三棱柱ABC A B C 的侧棱

11、长与底面边长相等，则AB 与侧面ACCA 所成角的111111正弦等于 ( )A.6B.102D.34C.2244. 如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H ，则以下命题中，错误 的命题是 ()ADBCA点 H 是 A1BD 的垂心， B AH 垂直平面 CB1D1 HHC AH 的延长线经过点C1 ， D直线 AH 和 BB1 所成角为 45A1D15. 在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的B1C14 个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号 ）. 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为

12、等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.6. 如图，已知四棱锥S ABCD的底面是边长为4 的正方形， S 在底面上的射影O落在正方形 ABCD内，且 O到 AB、AD的距离分别为 2 和 1.（）求证： AB SC 是定值；（）已知 P 是 SC的中点，且 SO=3，问在棱 SA上是否存在一点Q，使异面直线 OP与 BQ所成的角为 90？若存在，请给出证明，并求出AQ的长，若不存在，请说明理由 .7.如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形 PA平面 ABCD，AP=AB=2， BC= 22 ， E，F 分别是 AD, PC的中点 .（）证明

13、： PC平面 BEF；（）求平面BEF与平面 BAP夹角的大小。数学专题七立体几何与向量解析： ca(0,0,1x) ， 2brrr【直击高考】 1.(2 , 4 , 2) ，由 (ca) (2b) 2得 (0,0,1x) (2, 4,2)2，即 2(1 x)2 ，解得 x2.2. 解析： C 取 BC的中点 E，则 AE面 BB1C1C ， AEDE ，因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为ADE ，设 ABa ，则 AE3 a ， DEa ，22即有 tanADE3,ADE600 3.解析：已知正三棱柱ABC A B C 的侧棱长与底面边长相等，取A C 的中点 D ，连接 BD，1

14、11111136AD， B AD 是 AB 与侧面 ACCA 所成的角， sinB1 AD 1，选 A。1111112244. 解析：因为三棱锥A A1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射映是底面中心，A正确；面 A1BD 面 CB1 D1 ，而 AH垂直平面 A1 BD ，所以AH垂直平面 CB1D1 ，B 正确；根据对称性知C 正确。选D5. 解析：在正方体 ABCD A1B1C1D1 上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是矩形如ACC1A1；. 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；每个面都是等边三角形的四面体，

15、如ACB1D1；每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填。6. 证明：（）在 SDC内，作 SE CD交 CD于 E，连结 OE. SO平面 ABCD， SO CD， CD平面 SOE， CD OE， OE/AD， DE=1，从而 CE=3。AB SCDC SC| DC | SC | cosSCD | DC | EC | 12 。AB SC 是定值 .（）以 O为坐标原点，以OS所在直线为Oz 轴，以过 O且平行于AD的直线为 Ox 轴，以过O且平行于AB的直线为Oy 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 于是， A（ 2， 1，0）， B（2， 3，0）， C（ 2， 3，0），S（

16、 0， 0，3）， P( 1, 3 , 3 ) 。设点2 2Q（ x ， y ， z ），则存在使 AQAS （这是关键！将点的坐标用一个变量表示），即( x2, y1, z)( 2,1,3) ，5x22x22得 y1即 y1OP BQ ( 1, 3, 3) ( 2 ,4,3 ) 8 6 0z3z322得3，由401知，点 Q在棱 SA上，且 Q ( 1 ,1 , 9), | AQ |3 | AS |314 。244447. 解析：（）如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP所在的直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 . AP=AB=2， BC= 2 2 ，四边形 ABCD是矩形 . A， B， C， D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2 ,0) ，D(0， 2 2 ， 0) ，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD， PC的中点， E(0， 2 ， 0),F(1 ， 2 ， 1). PC =（ 2， 2 2 ，-