山东省烟台市莱州一中2013届高三数学1月质量检测试题理(含解析)新人教A版

1、2012-2013 学年山东省烟台市莱州一中高三（上）1 月质量检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设全集 U=R，A=x|x （ x+3） 0 ，B=x|x 1 ，则图中阴影部分表示集合（）A x| 3 x 1B x| 3 x 0C x|x 0D x|x 1考点 ：Venn 图表达集合的关系及运算分析：分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、B 的公共部分，即AB，由集合A、B 计算AB即可得答案解答：解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合 A、 B 的公共部分

2、，即 AB，又由 A=x|x （ x+3） 0=x| 3 x 0 ， B=x|x 1 ，则 AB=x| 3 x 1 ，故选 A点评：本题考查 Venn 图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号） 2（ 5 分）（2007?天津）“ a=2”是“直线ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件考点 ：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系分析：由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 平行 ?（m0、n0、d0）解得即可解答：解： a=2? 直线 2x+2y=0 平行于直线 x+

3、y=1（充分条件） ；直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1 ?a=2（必要条件） 所以是充分必要条件，故选 C点评：本题考查两直线平行的条件及充要条件的含义3（ 5 分）如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）1A 4B 8C 16D 20考点 ：由三视图求面积、体积专题 ：计算题分析：由三视图可知，几何体是三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为 4，按照锥体体积公式求解即可解答：解：由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为 4底面积 S= 62=6，所以 V= Sh= 64=8故选 B点评：本题是基础题，考查三视图与直观图

4、的关系，几何体的体积计算，考查计算能力，空间想象能力4（ 5 分）（2012?汕头二模）已知 ABC中， a， b， c 分别为角 A， B，C 的对边，则B 等于（）A 60B 30或 150C 60D 60或 120考点 ：正弦定理专题 ：计算题分析：利用正弦定理把代入即可求得sinB 的值，进而求得 B解答：解：由正弦定理可知=sinB=b?=4= 0 B180 B=60或 120故选 D点评：本题主要考查了正弦定理的运用，属基础题5（ 5 分）已知不等式2的解集为 x|2 x4 ，则不等式2的解集为ax +bx+c 0cx +bx+a 0（）2A x|x B x|xC x|D x|x考

5、点 ：一元二次不等式的解法专题 ：转化思想分析：设 y=ax 2+bx+c， ax2+bx+c 0 的解集为 x|2 x 4 ，得到开口向下，2 和 4 为函数与x 轴交点的横坐标， 利用根与系数的关系表示出a 与 b、c 的关系，化简不等式cx2+bx+a 0，求出解集即可解答：解：由题意?222 0，cx +bx+a 0 可化为 x + x+ 0，即 x x+解得 x|x或 故选 D点评：考查学生综合运用函数与不等式的能力，以及解一元二次不等式的方法6（ 5 分）（2011?惠州模拟）设 a 是等差数列，且a +a +a =15，则这个数列的前5 项和 S =n2345（）A 10B 15

6、C 20D 25考点 ：等差数列的性质；等差数列的前n 项和专题 ：计算题分析：由等差数列的性质知3a3=15，可求 a ，代入等差数列的求和公式S =5a353可求解答：解：由等差数列的性质知3a3=15，a3=5，S5=5a3=25，故选 D点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题7（ 5 分）（2011?惠州模拟）函数是（）A 最小正周期为2 的奇函数B 最小正周期为 的奇函数C 最小正周期为2 的偶函数D 最小正周期为 的偶函数3考点 ：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题 ：计算题分析：利用互余关系化简函数的表达式， 利用二倍角公式化简函

7、数为一个角的一个三角函数的形式，即可判断函数的奇偶性与求解函数的周期解答：解：因为=cos （ 2x+）= sin2x 所以函数的周期为：= 因为 f （ x） = sin （ 2x ） =sin2x= f （ x），所以函数是奇函数故选 B点评：本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用， 三角函数的基本性质， 考查计算能力8（ 5 分）若抛物线y2=2px 的焦点与双曲线的右焦点重合，则p 的值为（）A 4B 4C 2D 2考点 ：抛物线的简单性质专题 ：计算题分析：根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px 的焦点坐标（，0），可得=2，得 p=4解答：中 a2=3， b2=

8、1解：双曲线c=2，得双曲线的右焦点为 F（ 2， 0）因此抛物线y2=2px 的焦点（， 0）即 F（ 2， 0） =2，即 p=4故选 B点评：本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题9（ 5 分）要得到函数y=sin （ 2x）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A 向左平移个单位B 向右平移个单位C 向左平移个单位D 向右平移个单位4考点 ：函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换专题 ：计算题分析：根据“左加右减”的平移法则将y=sin2x向右平移单位即可，从而可得答案解答：解：将函数 y=sin

9、2x的图象y=sin2 （ x） ，即为 y=sin （2x）的图象故选 D点评：本题考查函数y=Asin （ x+ ）的图象变换，掌握平移方向与平移单位是关键10（ 5 分）（2012?安徽模拟）若直线xy=2 被圆（ xa） 2+y2=4 所截得的弦长为，则实数 a 的值为（）A 1 或B 1 或 3C 2 或 6D 0 或 4考点 ：直线与圆相交的性质专题 ：计算题分析：由求解由圆的方程， 得到圆心与半径， 再求得圆心到直线的距离，22解答：解：圆（ x a） +y =4圆心到直线的距离为：解得 a=4，或 a=0故选 D点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中

10、档题11（ 5 分）函数f （ x）的图象如图， f （ x）是 f （x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A 0f （ 2） f （ 3） f （ 3） f（ 2）B 0f （ 3）f （ 3）C 0f （ 3） f D 0 f （3） f （2） f （2） f （ 2）（ 2） f （ 3） ff （ 2）f （ 3）（ 2）考点 ：导数的运算；函数的图象5专题 ：导数的概念及应用分析：由图象可知，函数 f （ x）随着 x 增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案解答：解：由图象可知，函数f （ x）随着 x 增加函数值增加的越来越慢，而f （ 3） f （ 2

11、）可看作过点（2， f （ 2）与点（ 3， f （ 3）的割线的斜率，由导数的几何意义可知0 f （ 3） f （ 3） f （2） f （ 2）故选 B点评：本题考查导数的几何意义，正确理解导数的几何意义是解决问题的关键12（ 5 分）点 P 在双曲线：（ a 0，b 0）上， F1，F2 是这条双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F 1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A 2B 3C 4D 5考点 ：双曲线的简单性质；等差数列的性质专题 ：压轴题21| ，2md， m， m+d，则由双曲线定义和分析：通过 |PF | ，|PF|F1F | 成等差数列，分别设为勾股定

12、理求出m=4d=8a，c= ，由此求得离心率的值解答：解：因为F1PF2 的三条边长成等差数列，不妨设|PF2| ， |PF 1| ，|F1F 2| 成等差数列，分别设为 m d， m， m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：222m（ m d）=2a， m+d=2c，（ m d）+m=（m+d） ，解得 m=4d=8a， c=，故离心率e= = =5，故选 D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分13（ 4 分）已知向量，满足，（+），则与夹角的大小是考点 ：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个

13、平面向量的垂直关系专题 ：计算题分析：由两个向量垂直的性质可得=+=0，再由两个向量的数量积的定义可得 cos =，由此求得 的值，即为所求6解答：+ ），=+=0解： （设 与 夹角的大小是 ，则由题意可得1+1cos =0，解得 cos =再由 0 ，可得 =，故答案为点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于基础题14（4 分）以抛物线2为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的y =20x方程为（x 5） 2+y2=9 考点 ：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系专题 ：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐

14、近线方程，求出圆的半径，即可得到圆的方程解答：解：抛物线y2=20x 的焦点坐标为（5， 0），双曲线：的两条渐近线方程为3x4y=0由题意， r=3，则所求方程为（x 5） 2+y2=9故答案为：（ x 5）2+y2=9点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题15（ 4 分）若一个平面与正方体的12 条棱所成的角均为 ，那么 cos 等于考点 ：直线与平面所成的角专题 ：计算题；空间角分析：由棱 A1A，A1B1，A1D1与平面 ABD 所成的角相等，知平面ABD 就是与正方体的12 条棱1111的夹角均为 的平面由此能求出结果解答：解：因为棱 A A，

15、 A B ， A D 与平面 ABD 所成的角相等，1111111所以平面AB1D1 就是与正方体的12 条棱的夹角均为 的平面设棱长为： 1，sin =，7cos =故答案为：点评：本题考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用16（4 分）（ 2012?包头三模） 设 x，y 满足线性约束条件，若目标函数z=ax+by（其中 a0， b 0）的最大值为3，则的最小值为3考点 ：基本不等式；简单线性规划专题 ：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域， 并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出解答：解：由 x， y 满足

16、线性约束条件，作出可行域：联立解得 C（ 1， 2）由可行域可知：当目标函数经过点C时 z 取得最大值3， a+2b=3（ a 0，b 0） =3当且仅当， a+2b=3， a 0，b 0，即 a=b=1 时取等号因此的最小值为3故答案为38点评：熟练掌握线性规划的有关内容及基本不等式的性质是解题的关键三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（ 12 分）（2009?泰安一模） ABC 中， a， b，c 分别是角A、 B、C 的对边，向量（1）求角 B 的大小；（2）若的值考点 ：两角和与差的正弦函数；数量积的坐标表达式；余弦定理专题 ：计算题分析

17、：（ 1）根据得关于角 B 的三角函数的方程，解方程即可求出角B；（ 2）求出角 B 后，根据余弦定理可得一个关于c 的一元二次方程， 解这个方程求解c值解答：解：（ 1）由于，所以，所以，即，即 2sinB+2sin22B 2+1 2sinB =0，解得由于 0B ，所以或；（6 分）（ 2）由 a b，得到 A B，即 B=，由余弦定理得：b2=a2+c2 2accosB，代入得：，即 c23c+2=0，解得 c=1 或 c=2（12 分）点评：本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形方程思想在三角形问题中的应用极为广9泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以

18、得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素18（ 12 分）（2011?辽宁）如图，四边形 ABCD为正方形， PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB= PD（ I ）证明：平面 PQC平面 DCQ（ II ）求二面角 QBP C 的余弦值考点 ：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角专题 ：计算题；证明题分析：首先根据题意以 D为坐标原点， 线段 DA的长为单位长，射线 DA为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D xyz ；（）根据坐标系，求出则、的坐标，由向量积的运算易得?=0，? =0；进而可

19、得 PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面 PBQ法向量，进而求出cos，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案解答：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz ；（）依题意有Q（ 1， 1， 0）， C（ 0，0， 1），P（ 0， 2，0）；则=（ 1， 1，0），=（ 0， 0， 1），=（ 1， 1， 0），所以?=0，?=0；即 PQDQ，PQDC，故 PQ平面 DCQ，又 PQ? 平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ；（）依题意，

20、有 B（ 1，0， 1），=（1， 0， 0），=（ 1， 2， 1）；设=（ x， y，z）是平面的PBC法向量，10则即，因此可取=（0， 1， 2）；设是平面 PBQ的法向量，则，可取=（ 1，1， 1），所以 cos ，=，故二面角角Q BP C的余弦值为点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算19（ 12 分）（2012?济南三模）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30 天计），第 t 天（ 1t 30， t N）的旅游人数f （ t ） （万人

21、）近似地满足f （ t ） =4+，而人均消费 g（t ）（元）近似地满足g（ t ） =120 |t 20| （1）求该城市的旅游日收益w（ t ）（万元）与时间t （1t 30， t N）的函数关系式；（2）求该城市旅游日收益的最小值考点 ：函数模型的选择与应用专题 ：综合题分析：（ 1）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数人均消费的钱数得w（ t ）与 t 的解析式；（ 2）因为 w（ t ）中有一个绝对值，讨论 t 的取值，化简得 W（ t ）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的函数求出最值比较即可解答：解：（ 1）由题意，根据该城市的旅游日收益=日旅游人数人均消

22、费的钱数可得W（ t ）=f （ t ） g（ t ） =（4+）（ 120|t 20| ）=11（ 2）当 t 1 ， 20 ， 401+4t+401+2=441（t=5 取最小 ）当 t （ 20， 30 ，因 W（ t ） =559+ 减，所以t=30 ， W（ t ）有最小值 W（ 30） =443443 441t 1 ，30 ， W（ t ）的最小 441 万元点 ：本 考 学生根据 情况 函数 型的能力，以及基本不等式在求函数最 中的 用能力，属于中档 20（ 12 分）已知数列a 的相 两 a ， a 足，且 a =1nnn+11（1）求 是等比数列（2）求数列 a 的通 公式

23、a 及前 n 和 S nnn考点 ：数列 推式；等比关系的确定；数列的求和专题 ： 算 ；等差数列与等比数列分析：（ 1）由，得= （），由此能 明数列 是等比数列（ 2）由，知 Sn= （ 2+22+23+2 n） （ 1）2+（ nnnn+（ 1）1） ，由此能求出数列a的通 公式 a及前 n 和 S 解答：解：（ 1）由，得= （），故数列 是首 =，公比 1 的等比数列（ 2）由（ 1）知，即，Sn=a1+a2+a3+a n= （ 2+22+23+2n） （ 1） +（ 1） 2+（ 1） n=（2n+12）12=（ 1） n点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和数列的前n

24、 项和的求法， 解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用21（ 13 分）已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（ 1，）（）求椭圆C 的方程；（）直线 l ：3x 3y 1=0 交椭圆 C与 A、B 两点，若 T（ 0，1）求证：考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程点：专综合题题：分（）设出椭圆 C的方程，利用椭圆 C过点过（ 0， 1），（1， ），建立方程组，即可析：求得椭圆C 的方程；（） 由两边平方整理可得，故只需证明，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积即可得到结论解 （）解：设椭圆 C的方程为 mx2+ny2=1（m 0 n0）答：由椭

25、圆 C 过点过（ 0， 1），（ 1，）得：，解得椭圆 C 的方程为（）证明：设A（ x1，y1）， B（ x2， y2），由消去 y 整理得 27x212x 16=0，由韦达定理得由两边平方整理可得，故只需证明=x1x2+（ y1 1）（ y2 1） =x1x2+y 1y2+（ y1+y 2）+1而13=故恒成立点 本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的评：运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理22（ 13 分）（2005?陕西）已知函数f （x） =， x 0 ， 1 ，（1）求函数f （ x）的单调区间和值域；（2）设 a1，函数 g（ x）=x3 3a2x 2a，x 0 ，1 ，若对于任意 x1 0 ，1 ，总存在 x0 0 ， 1 ，使得 g（ x0） =f （ x1）成立，求 a 的取值范围考利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值点：专计算题；压轴题；转化思想题：分析：（ 1）先对函数f （ x） =，x 0 ，1 ，求导，先对函数y=f （