山东省济宁市金乡二中2012-2013学年高二数学下学期期中试题理新人教A版

1、金乡二中 2012-2013 学年高二下学期期中检测数学（理）一、选择题： 本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 设集合A x|x 1 或x 1 ，B x|log2x 0 ，则（）A BA. x | x 1B. x | x 0C. x | x 1D. x | x 1 或 x 1(12i )2(2i)2）2.i1i等于（1A. 3 4 iB.3 4 iC. 3 4 iD. 3 4 i3. 已知 M1x d x ，N cos 2 15 sin 2 15，则（）1A.M NB.M NC.M ND.以上都有可能4已知二次函数

2、y=ax2+bx+c ，且 a，b，c 0 ，2，4， 6，8 ，则不同的二次函数有（）A125 个B 100 个C 60 个D 48 个5 f （ x） =3x cos （ 2x）在（， +）上（）A是增函数B 是减函数C 有最大值D 有最小值6若 a=22232，则 a、 b、c 的大小关系是（）0x dx，b=0 x dx，c= 0 sinxdxAa c bB a b cC cb aD c ab7. f ( x)1 x2b ln( x2) 在（ -1 ，+）上单调递减，则b 的取值范围是（）2A. （-，-1 ） B.（-1 ，+ ） C.（， 1 D. 1， ）8. 已知函数f ( x

3、)x33ax 23(a2) x1 在其定义域上没有极值，则a 的取值范围是（）A.( 1，2)B.1，2C.(,1)(2,)D.(, 1 2，)9. 设ABC 的三边长分别为a, b, c ， ABC 的面积为 S , 内切圆半径为 r，则 r2S。bac类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S1, S2 , S3 , S4 , 内切球半径为R , 四面体 SABC 的体积为 V ，则 R()A.VB.2VS1S2S3S4S1S2S3S413VD.4VC.S1 S2 S3 S4S1S2 S3S410如果函数 f ( x) 对于区间 D内任意的 x1 , x2 ,f (x1)

4、f (x2), xn ，有n成立，称 f ( x) 是区间 D上的“凸函数”已知函数 ysin x 在区间则在 ABC 中， sin Asin B sin C 的最大值是（）A. 1B.3C.3222f (x )x xxnf( 12n)n0,上是 “凸函数”，D. 33211点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 yx 2 的距离的最小值是（）A.B.2C.D.2 2x2y212. 已知椭圆 a2 b2 1（ ab 0）的一个焦点为 F，若椭圆上存在一个 P 点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（）A.5B.2C.2D.5332

5、9二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分 .13.执行如图 3所示的程序框图，输出结果是.214.已知函数 f( x) x 3 f ( 3 ) x 2 x ，则函数 f ( x ) 的图象22在点 ( 3 ，f( 3 ) 处的切线方程是.15.如图 4，矩形 ABCD内的阴影部分是由曲线f ( x ) 2 x2 2 x及直线 y 2 x 围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为.16. 函数 f ( x )（ x R）满足 f (1) 1，且 f ( x ) 在 R上的导函11ln x数 f ( x ) 2，则不等式 f (lnx ) 2的解集为

6、.三、解答题： 本大题共6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 10 分）已知函数 y x33 px23px1 .（1）试问该函数能否在x1处取到极值？若有可能，求实数p 的值；否则说明理由；2（2）若该函数在区间( 1,) 上为增函数，求实数p 的取值范围 .18. （本小题满分 12 分）数列 an 满足： a1 1,an 11 an 1 .2（ 1）写出 a2 , a3 , a4 .（ 2）求数列 an 的通项公式 .19（本小题满分12 分）现有 4 个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6 个座位问：（1）所有可能的坐法有多少种？(2

7、) 此 4 人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？(3) 所有空位不相邻的坐法有多少种？20. （本小题满分 12 分）如图，已知三棱锥O ABC的侧棱 OA，OB，OC两两垂直， 且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC的中点（ 1）求异面直线 BE与 AC所成角的余弦值；（ 2）求直线 BE和平面 ABC的所成角的正弦值.21.（本小题满分12 分）3已知椭圆 x2y21(a b0) 过点0,1 , 其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数a2b2列. 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、 P ，与椭圆分别交于点M 、 N , 各点均不重合且满足 PM1 MQ, PN2 N

8、Q（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若 123，试证明：直线l 过定点并求此定点 .22. （本小题满分 12 分）已知 a, b 为实数，函数 f ( x) x3ax, g (x) x2bx, 若 f ( x) g ( x)0 在区间 D 上恒成立，则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 D 上单调性一致 .（ 1）设 a0 ，若 f ( x) 和 g( x) 在区间 1,) 上单调性一致，求b 的取值范围 .（ 2 ）设 a0, 且 a b ，若 f ( x) 和 g( x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致，求| ab |的最大值 .4参 考 答 案 :1-5 ABBBA6

9、-10 DCBCD11-12 BA13.2013 ；14.27 x 27 y 4 0；15.8；16. 0 x e .20142717. 解：（ 1） yx33 px23 px1 ，y3x26 px3 p ，若该函数能在 x1处取到极值，则y |x136 p3p0,即 p1，此时，y3x26x33( x1)20，函数为单调函数，这与该函数能在 x1处取到极值矛盾，则该函数不能在x1 处取到极值 .（ 2）若该函数在区间(1,) 上为增函数，则在区间 ( 1,) 上，y3x26 px3 p0恒成立，p1p1；f(1)36 p 3 p0p10p1，f(p)3 p3 p20综上可知，0p1.18.

10、（ 1）解：因为a11,an 11an1，所以a21a1113222，1 2a1 a11 3 17 ， a1 a 11 7 1 15 .322224423248n 1n（2）解法一：猜想：an2n 1112n 11. 下面用数学归纳法证明，2211证明 : （ 1）当 n=1 时， a121，满足上式，显然成立；21 1k1k（2）假设当 n=k 时 ak2n 1112k 11, 那么当 n=k+1 时，2k2ak1ak11 2k112k112k1 2k2k 111222k12k2k2k满足上式，即当 n=k+1 时猜想也成立 .n 1n由（ 1）（ 2）可知，对于nn*都有 an2n1112

11、n 11.2219. 解： (1)4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6 个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，5所有可能的坐法有A64=360 种(2)4 人中甲，乙两人相 ，用捆 法得到 4 人中甲，乙两人相 的坐法有A22A53=120 种(3) 所有空位不相 用插空法，先把4 人排成一排，有A44种排法，再往 4 个人构成的个空中插入两个空座位，有C52种插入方法，由乘法原理，得所有空位不相 的坐法有C52A44=240 种12 分20. 解：（ 1）以 O 原点， OB、 OC、OA分 X、 Y、Z 建立空 直角坐 系 有 A（0， 0， 1）、 B（

12、2， 0， 0）、 C（0， 2， 0）、 E（ 0，1，0）（ 3 分），COS =所以异面直 BE与 AC所成角的余弦 （ 2） 平面ABC的法向量 则知知取， （ 10 分）故 BE和平面 ABC的所成角的正弦 21. 解： (1) 方程 x 2y 21(ab 0) ，焦距 2c，a 2b 2由 意知b=1, 且2222b2c2（2a） （2b）2（2c） ，又 a得 a23 .所以 的方程 x2y 213(2) 由 意 P( 0, m), Q (x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) ， l 方程 xt( y m) ，6由 PM1 MQ 知 (x1 ,

13、y1m)1 ( x0x1 , y1 ) y1my11 ，由题意10， 1m1y1同理由 PN2 NQ 知 2m1y2 123 ， y1 y2m( y1y2 ) 0联立x23y2323) y22mt2y t2m23 0xt( y得 (tm)需4m2t 44(t 23)(t 2m 23) 0且有 y1 y22mt 2, y1 y2t 2 m 23t 23t 23（* ）代入（ * ）得 t 2 m23m2mt 20 ， (mt) 21，由题意 mt0， mt1( 满足（ * ） ) ，得 l方程为 xty1, 过定点 (1,0),即 P 为定点 .22. 解：（1） fx3x2a， g ( x)2xb，由题意知 f (x)g ( x)0 在区间 1, )( )上恒成立 . 因为 a0, 故 3x2a0 ，进而 2xb0 ，即 b2x在区间 1,) 上恒成立，因此 b 的取值范围是 2,) .（2）令 f( x)0，解得 xa0(a, b) ，若 b0, 由 a0 得3又因为 f(0)g (0)ab0 ，所以函数f (x) 和 g(x) 在 (a, b) 上不是单调一致的，因此 b0 .那么，当 x(,0) 时， g ( x)0 ，当 x(,a ) 时 f