平面向量数量积教案

1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点平面向量的数量积、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的性质及其坐标表示教学目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.教学重点教学难点4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关

2、系【知识导图】教学过程一、导入考情展望 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想二、知识讲解考点 1平面向量的数量积第 1页1数量积的定义：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为，则向量 a 与 b 的数量积是数量 | a | b | cos |，记作 a b ，即 a b= | a | b| cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2向量的投影： 设 为 a 与 b 的夹角，则向量 a 在 b 方向上的投影是 | a | cos；向量 b 在 a方向上的

3、投影是 | b | cos .结论几何表示坐标表示模|a| aa|a| x12 y12数量积ab |a|b|cos ab x1x2 y1y2夹角cos abx1x2 y1y2cos |a|b|x12 y12 x22 y22a b 的充要条件ab 0x1x2 y1y2 0|ab|与|a|b|的关|ab| |a|b|(当且仅当 a b 时等号2222系成立 )|x1x2 y1y2 | x1 y1 x2 y23a b等于a的长度 | a |与b在a的方向上的投影| b | cos的数量积的几何意义：数量积乘积考点 2平面向量的数量积运算律1交换律：a bb a ；2数乘结合律：(a) b(a b)a

4、 (b) ；3分配律：a(bc)a ba c .已知非零向量a ( x1， y1)， b(x2， y2)， 为向量 a， b 的夹角考点 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示类型一平面向量数量积的运算例题 1 在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 3，BC10，则 ABAC _. (2) 已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB的值为 _；DE DC 的最大值为 _ ，【规范解答】 (1) 如图所示 ， AB AM MB， AC AM MC AM MB三 、例题精析第 2页 2 2 ABAC (AM MB ) (AM MB)AM MB (2)法

5、一 如图所示， 以 AB，AD 所在的直线分别为正方形边长为 1，故 B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0 t 1)， 1)则 DE (t， 1)，CB (0故 DECB 1.又 DC (1,0)， DEDC (t， 1) (1,0) t.又 0 t 1， DE DC 的最大值为1.|AM|2 |MB |2 9 25 16.x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，由于法二 ABCD 是正方形 ， DA CB . DECB DE DA |DE |DA |cos EDA 2 1. |DA|DE|cos EDA |DA | |DA | |DA| 又 E

6、 点在线段 AB 上运动，故为点 E 与点 B 重合时 ，DE 在 DC上的投影最大， 此时 DC DE 2 1.|DC|DE|cos 45 22所以 DEDC的最大值为1.【总结与反思】1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识， 关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1 中用 AM 、MB表示 AB 、 AC 等 . 注意向量夹角的大小，以及夹角 0， 90， 180 三种特殊情形.类型二平面向量的夹角与垂直例题 1(1)若非零向量a，b 满足 |a| 3|b| |a 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _(2) 已知向量 A

7、B与 AC的夹角为120，且 |AB| 3，|AC| 2.若 AP AB AC，且AP BC，则实数 的值为 _【规范解答】(1)由 |a| |a 2b|，两边平方， 得 | a|2 (a 2b)2 |a|2 4|b|2 4ab，所以 ab |b|2.又 |a| 3|b|，第 3页 |b|21所以 cos a，b ab 2|a|b|3|b| 3. (2) AP BC， APBC 0. 又 AP AB AC， BC ACAB ， (AB AC )(AC AB) 0， 2 2 即 ( 1)ACAB AB AC 0， ( 1)|AC|AB|cos 120 9 4 0. ( 1) 3 2 1 94 0

8、.解得 7212.【总结与反思】1.当 a，b 以非坐标形式给出时，求 a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与 ab 的关系 .2. 1 非零向量垂直的充要条件：a b? ab 0?|a b|a b|? x1x2 y1y2 0. 2 本例 2 中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成 AC AB ，导致求解受阻 .类型三平面向量的模及其应用例题 1已知 OP (cos ，sin)，OQ (1 sin ，1 cos )，其中 0，求 |PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 的值 【规范解答】 PQ OQ OP (1sin cos ， 1 cos sin )， 222 4 2si

9、n 2. |P Q | (1 sin cos ) (1 cos sin) 4 4sin cos 0 ， 1 sin 2 1， 22， 6 当 sin 2 1，即 3 |PQ| 2,6 ，|PQ| 4时，|PQ|取得最大值 【总结与反思】求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：1 利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2 利用公式 |a|aa 及 ab 2 |a|22ab |b|2 把长度问题转化为数量积的运算问题解决 .类型四向量的数量积在三角函数中的应用例题 13 3已知向量 a cos 2x， sin 2x ，第 4页(k0)

10、 x， sin x ，且 x ，b cos 2234 .(1)求 ab 及 |a b|；(2)若 f(x) ab |a b|，求 f(x)的最大值和最小值3x3x【规范解答】 (1) a b cos 2xcos 2 sin2xsin2 cos 2x，|a b|cos3x 23x sinx 2xcos sin2222 2 2cos 2x 2|cos x|， ， cos x0 ， x ，3 4 |a b| 2cos x.(2)f(x) cos 2x 2cos x 2cos2x 2cos x 12 3 2 cos x2 2.11 cos x 1， x ，342 当 cos x12时， f(x)取得最

11、小值 32；当 cos x 1 时， f(x)取得最大值 1.【总结与反思】与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、 夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识类型五两向量的平行与垂直问题已知 a (cos ， sin )， b (cos ， sin )，且 ka b 的长度是 a kb 的长度的3倍 (k0) 例题 1(1)求证： ab 与 a b 垂直；(2)用 k 表示 ab；(3)求 ab 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 .【规范解答】 (1) 由题意得 ， |a| |b| 1， (a

12、 b) (a b) a2 b2 0， ab 与 a b 垂直 22222(2)|ka b| ka 2kab b k 2kab 1，(3|a kb|)2 3(1 k2) 6kab.由条件知 ， k2 2kab 1 3(1 k2) 6kab，从而有 ， ab 1 k24k1 k2111(3)由 (2) 知 ab4k 4(k k) 2，当 k 1k时，等号成立，即k 1. k0， k 1.此时 cos ab1 ，而 0， ， .|a|b|23故 ab 的最小值为1，此时 .23第 5页【总结与反思】1.非零向量a b? ab0? x1x2 y1 y2 0.2当向量 a 与 b 是非坐标形式时，要把a

13、、b 用已知的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异四 、课堂运用基础1 |a|2， |b| 4，向量 a 与向量 b 的夹角为120 ，则向量a 在向量 b 方向上的投影为_2已知 a b， |a| 2， |b| 3，且 3a 2b 与 a b 垂直，则 _.3已知向量a， b 满足 ab0， |a| 1， |b|2，则 |2a b| _.答案与解析1. 【答案】 -1【解析】 a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2cos 120 1.2. 【答案】 32【解析】 (3a 2b) (a b) 3a2 (2 3)ab 2b2 3a22b

14、2 12 18 0.3 2.3. 【答案】 2 2.【解析】 |2a b|2 (2a b)2 4|a|2 4ab |b|2 4 1 4 0 4 8， |2a b| 2 2.1给出下列结论：巩固若 a 0， ab 0，则 b 0；若 ab bc，则 a c； (ab)c a(bc)； ab(ac) c(a b) 0.其中正确结论的序号是_2设非零向量a、 b、 c 满足 |a| |b| |c|， a b c，则 a， b _.3若向量a 与 b 的夹角为60，|b| 4，(a 2b) (a 3b) 72，则向量 a 的模为 _答案与解析1.【答案】【解析】 因为两个非零向量 a、 b 垂直时，

15、ab 0，故不正确；当 a0， bc 时， ab bc 0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c 与 c 共线，a(bc)与 a 共线，故不正确；正确， ab(ac) c(ab) (ab)(ac) (ac)( ab)0.2.【答案】 120【解析】 a bc， |c|2 |a b|2 a2 2abb2 .又 |a| |b| |c|， 2ab b2，即 2|a|b|cos a，b |b|2. cos a，b 1， 2第 6页 a， b 120.3. 【答案】 6【解析】 ab |a| |b| cos 60 2|a|， (a 2b) (a 3b) |a|2 6|b|2 ab |a|2 2|a|

16、 96 72. |a| 6.拔高1. 已知 |a| 1， |b| 1， a， b 的夹角为 120 ，计算向量 2a b 在向量 ab 方向上的投影答案与解析1.【答案】3， 1 (1， 3)3【解析】 已知 OA (1,1)，即 A(1,1)如图所示，当点B 位于 B1 和 B2 时， a 与 b 夹角为12，即 AOB1 AOB2 ，此时， B1Ox 12 ， B2Ox12 ，124643故 B11， 3 ， B2(1， 3)，又 a 与 b 夹角不为零，3故 a1，由图易知 a 的范围是3， 1 (1， 3) 3五 、课堂小结课程小结1一些常见的错误结论：(1) 若 |a| |b|，则

17、a b；(2) 若 a2 b2，则 a b； (3)若 a b， b c，则 a c； (4)若 ab 0，则 a 0 或 b 0；(5)| ab| |a| |b|；(6)( ab)c a(bc)；(7)若 ab ac，则 bc.以上结论都是错误的，应用时要注意 2 平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 是向量 a 与 b 的夹角 .向量表示向量 a 的模 2|a|a aaa 与 b 的数量积ab |a|b|cos a 与 b 共线的充要条件Ab(b 0)?a b非零向量 a，b 垂直的充要条件a b? ab0向量 a 与 b 的夹角cos

18、ab|a|b|3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有： 2 2（1）要证 AB=CD，可转化证明 AB CD或 |AB| |CD|.坐标表示22|a|x1 y1ab x1x2 y1y2ab? x1y2 x2y1 0ab? x1x2 y1y2 0x1x2 y1y2cos x22 y22x12 y12（2）要证两线段AB，只要证存在唯一实数 0，使等式 AB CD 成立即可 CD（3）要证两线段 AB CD，只需证 ABCD 0.第 7页六 、课后作业基础1平面向量a 与 b 的夹角为60， a (2,0) ， |b| 1，则 |a 2b| _.2若 a (2,3)， b ( 4,7)

19、，则 a 在 b 方向上的投影为_ 3 a， b 为平面向量，已知a (4,3)，2a b(3,18) ，则 a， b 夹角的余弦值为_答案与解析1. 【答案】 2 3.【解析】 a (2,0)， |b| 1， |a| 2， ab 2 1 cos 60 1. |a 2b| a2 4ab4b2 2 3.2. 【答案】655 .【解析】设 a、 b 的夹角为 ，2 4 375，则 cos 4 2 7222 325故 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 13 55565.或直接根据 a|bb|计算 a 在 b 方向上的投影3. 【答案】 16. 65【解析】 a (4,3)， 2a (8,6)又 2a b (3,18) ， b ( 5,12)， ab 20 3616.又 |a| 5， |b| 13， cos a，b 16 16. 5 13 651巩已知固 a ( 2， 1)，b (，1) ，若 a 与 b 的夹角 为钝角， 则 的取值范围为_2已知 a 与 b 同向， b (1,2)， ab10.(1)求 a 的坐标；(2)若 c (2， 1)，求 a(bc)及 (ab)c.3已知三个点A(2,1)， B(3,2)， D ( 1,4)，(1)求证： AB AD；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余第 8页弦值答案与解析1