导数问题梳理

1、导数问题梳理问题一：有关导数概念的考察(x) r 3 , ”怡十做)-f(X0),函数值增量(X0lizx=ixsZXlim对应的自变量增量例如:f(X0X) f(X0)=k，则 lim f(x0 说“-侬)-(C)x12kB, k c, k2D，以上都不是Ax8导数与切线问题问题二：(一)求切线方程1、求函数 y = f (x)在点 p(X0,y0)处的切线方程：y - f (x。)= f (X0)(x-X0)2、求过P(Xi,yi)且与函数y= f(x)图像相切的直线方程： 设切点坐标(X0,y0)； 写出函数图像在切点(X0,y0)处的切线方程:y - f(X0)= f(X0)(x-X0

2、)将点P(x,y1)坐标代入切线方程，求出x。将X0代回切线方程，得所求切线。(二)导数与切线斜率之间的转化例如：已知点P(2, 2)在曲线f(x)=ax3+bx上且曲线在P点处的切线斜率为 9, 则 ab =-3问题三：导数与单调性问题(一)求已知函数的单调区间 求导函数f(x) 令f (X)0或f (X)Yo，解不等式。 写出单调区间，注意单调区间有两个或两个以上的，要用“和”或逗号连接。(二)求含参函数(y = f (x,m)的单调区间 求导函数f(x) 令f (X)=0，因式分解找根x1,x2 (含参) 讨论Xi, x的大小，写出单调区间。注意：如f (X)=0的判别式i 0，则函数在

3、R内单调递增或单调递减。例如：(09陕西)已知函数 f(x) =x3ax1,a H0(I)求f (X)的单调区间；(II)若f (x)在x = T处取得极值，直线 y=m与y = f (x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。w(三)单调性的逆向分析问题(1) 可导函数y=f(x)在(m,n)为增函数则f(x)XO；(正不取等逆取等)。(2) 可导函数y=f(x)多个单调区间的逆向分析一一数形结合(f(x)根据函数y=f(x)的单调区间画出导函数的图像，并分析导函数图像满足的限定要求。(3) 函数y=f(x)在(m,n)上(不)为单调函数【注】相邻单调区间的公共界点可转化为极值点。例如：

4、1、(湖南卷)设t hO，点P( t, 0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(I)用 t 表示 a, b, c;(n)若函数y = f(x)-g(x)在(1, 3) 上单调递减，求t的取值范围.13122、f(x)= X -ax +(a-1)x+1在(1,4)内为减函数，在(6)上为增函数，求a的32范围。问题四：导数与极值问题(一)函数极值正向求解步骤：求导f(X); 分析函数的单调性， 代值并说明极值例如：设函数f(X-l3令f (x) = 确定极大(小)(并解之如其实根为 值点X= X1,或 X =X2 ;X3 + 2

5、ax2 -3a2x+b ( 0勺勺)。(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若当X引a+1,a+2时恒有| f (x) m恒成立，求m的最大值;(2)若方程f(X)=0有且仅有一个实根，求 a的取值范围.2、讨论函数y = f(X)与函数y=g(x)图像交点个数，可通过讨论y=f(x)-g(x)的图像与x轴的交点个数得到。例如：中档题8第4题(3)问题五：导数与最值问题(一)含参函数y = f(x,m)在X亡a,b上的最值求解：讨论极值点与区间位置关系。(结 合y = f(X, m)的图象)例如：1、已知函数 f(x)= x3+ 3x2+ 9x+ a,(I )求f(x)的单调递减区间；(II

6、 )若f(x)在区间2, 2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.2.(全国二 21).设 a亡 R，函数 f(x) =ax3 -3x2.(I)若X = 2是函数y = f(X)的极值点，求a的值；(n)若函数g(x) = f(x) + f(X), X引0,2,在x = 0处取得最大值，求a的取值范围.(二)最值与恒不等式问题求证：f(X)g(x),对Vx壬(m, n)恒成立 证明：设F( x)=f(X)-g(x), X珂m,n)以下用导数法求解 y = F (X), X亡(m, n)的最值并说明最小值 02例如:1、(2006年江西卷)已知函数 f (x)= X3+ ax2+ bx +

7、 c在x=-与x= 1时都取3得极值(1)(2)求a、b的值与函数f (X)的单调区间若对x 一 1, 2，不等式f (x)c2恒成立，求c的取值范围。近年四川高考题型【07年】设函数f ( x) =ax3+bx+c ( aM0为奇函数，其图象在点(1,f (1)处的切线与 直线x 6y 7=0垂直，导函数f/ (X)的最小值为12.(I)求a, b, c的值；(n)求函数f (x)的单调递增区间，并求函数f (x)在1,3上的最大值和最小值.【08年】设x=1和x=2是函数f(X)= X5 + ax3 + bx +1的两个极值点.(I)求a b的值；(n )求f (X)的单调区间.32【09

8、年】已知函数 f(x)=x +2bx + cx-2的图象在与 x轴交点处的切线方程是 y =5x -10.(I)求函数f (x)的解析式；(n)设函数g(x) = f(x) +-mx,若g(x)的极值存在，求实数 m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量 x的值.近年四川高考题型答案【07年答案】(I)T f (X)为奇函数， f(X)= f(x)33即 VX -bx +c = vx -bxc c = 012 f (X)=3ax2 +b的最小值为二 b = 12又直线x-6y-7 =0的斜率为因此，f(1)=3a+b =6a = 2, b = -12 , c = 0 .(n) f(

9、x)=2x3-12x.x6(辰)(2 )(，, -72)和(貶n2f (x4 x-1=2所以函数f (X)的单调增区间是 f(_1)=10, f(72)=-872, f(3)=18 f (X)在1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是f(J2)=-8j2 .【08年答案】(I)因为f(x) = 5x4+3ax2+b由假设知：f(1 )=5 + 3a+b =0f，(2 ) = 24 x5 + 22c3a+b =025解得a二竺山=203(n)由(I)知f(x) = 5x +3aX +x-1x-4 (=5 肿护 2沪1 )x2当 X巳2 )U(-1,1 )U(2,址)时，f(x )0 当 X巳2

10、,1)U(1,2 )时，f(x)c0因此f(x )的单调增区间是(亠，-2),(1,1 ),(2,+ )f (X )的单调减区间是(2,-1 ),(1,2 )【09年答案】(I)由已知，切点为(2,0)故有f(2)=0,即4b+c+3=0.32f (2) =x3 2x2 +x2，由已知 f (2) =12+8b + c = 5.得8b+c+7=0. 联立、，解得 c=1,b= -1于是函数解析式为f (2) = X3-2x2 + x-2 .4分321(n) g(x)=x -2x +x-2 + -mx32img(X) =3x2 -4x+1+，令 g(x)=o32m当函数有极值时,0,方程 3x2

11、 4x +1 + =0有实根,3由 =4 (1 -m)当m=1时，g0,得 m12(X)= 0有实根X =，在X =32左右两侧均有g(x)0，故3函数g(x) =0无极值。m 0,二当avO时，f(x)的单调增区间为(_乂，Xu) 当 a 0时，由 f(X)aO解得 xja或 xqja ； 由 f(X)V0解得一4ax0时，f(x)的单调增区间为(处，掐)，庙坪(一/,。(2) f(x)在x=-1处取得极大值， 2/. f (1)=3x(-1) -3a =0匚.a =1.32”f(x)=x -3x-1, f(X)=3x -3,由 f (x) = 0 解得 x1 = 1,X2 = 1。由(1)

12、中f (X)的单调性可知，f(x)在X = -1处取得极大值在x=1处取得极小值f(1) = -3。T直线y = m与函数y = f(x)的图象有三个不同的交点，又f (3) = 19 v3， f(3) =17 1，结合f (X)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1)。【09 年江西答案】 解：(1) f(x)=3x2-9x+6=3(x1)(x-2),因为12分)；f(x)的单调减区间为f(1)=1,所以所以), f(x) m,即 3x2 -9x+(6 -m) 0恒成立，3 3 =81-12(6 -m)0,得 m 0;当 1vxv2 时，f(x)v0;当 x2 时，f(x)0;5当X =1时

13、，f (X)取极大值 f(1) = 2 -a;当X = 2时,f (x)取极小值f (2) = 2 - a ；故当f(2) A0或f(1)c0时，方程f(x) =0仅有一个实根.解得av2或a-.2解：(1) f (x) = X3 + ax2 + bx + c, f (x) = 3x2 + 2ax + b124a+ b = 0 , f (1) = 3+2a + b= 0得93【06年江西答案】2由 f ()=3a =- 1 , b=- 22f(x) = 3x2- X-2 =( 3x + 2)所以函数f(X)的递增区间是(一(X- 1 ),2,)与(1,+)3递减区间是(2) f (X)-2 ,

14、 1)31222=X3X2- 2x+ c, X 一 1, 2，当 x=时，f (X) =+ c232710为极大值，而f(2) = 2+c,则f (2) = 2+ c为最大值。 要使 f(x)c2(x 1, 2恒成立，只需 c2 f (2) = 2+ c解得c 1或c 2【08年全国答案】解：(I) f(X)=3ax2-6x =3x(ax一2).因为x=2是函数y = f(x)的极值点，所以f(2) =0，即6(2a-2) =0，因此a = 1 . 经验证，当a =1时，x=2是函数y=f(x)的极值点. 4分(n)由题设，g(x) =ax3-3x2+3ax2-6x =ax2(x + 3)-3x(x + 2).当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g(0) g(2)，即 0A 20a-24 .69分故得a W .56 反之，当a W 6时，对任意x0,5g(x) W 6x2(x+3)-3x(x + 2)=逖02 +X-10)553x,= (2x+5)(x-2) W 0 ,5 而g(0) =0,故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0).f 6 f12分综上，a的取值范围为II 5【问题四(一)例子答案】解：(4)由题意 f(X)= -x2 +4ax 3a2 = 0得两根 Xj = a,X2 = 3a 由0YaY1，可知