广东省汕头市2011届高三数学第一次模拟考试理

1、2011 年汕头市第一次学业水平测试理科数学试题及答案本试卷共21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4 作答选做题时请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的

2、信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。5 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数1的虚部是（）2iA 1B1 iC 1D 1 i55552. 设集合 Mx 0x3 ， Nx 0 x1 ，那么“ aM ”是“ a N ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 S3S21，则数列 an 的公差是（）32A 1B 1C 2D 324 根 据 表 格 中 的 数 据 ，

3、可 以 判 定 函 数 f ( x) exx 2 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为k, k 1 k Z，则 k 的一个值为（）x 10123A0B -1ex0.371 。2.727.3920.09C 2D 1x212345用心爱心专心- 1 -甲乙5甲、乙两名运动员的5 次测试成绩如下图所示设s1, s2 分别3 5146x1 , x26 6 02145表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A x1x2 ， s1s2B x1x2 ， s1 s2C x1x2 ， s1s2D x1x2 ， s1s2若函数 y A sin(x) （A0，0

4、，| |）在一个周期62内的图象如图2 所示，M , N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM ON0（ o 为坐标原点），则 A（）AB777图 2C 6D61237下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）正视图：半径为 1的半圆以及高为1的矩形侧视图：上半部分是半径为 1 的 1俯视图：圆，下半部分是半径为 1 的圆4高为 1 的矩形y32C.343A.B.4D.2338图 3 中的阴影部分由底为1 ，高为 1的等腰三角形及高2为 2 和 3的两矩形所构成设函数SS ( a ) ( a 0 ) 是图 3中阴影部分介于平行线y 0 及 ya 之间的那一部分的面积，1y=a则函数 S

5、( a ) 的图象大致为（）S(a)S(a)S( a)O123xS(a)图 3O1 2 3 aO123 aO1 2 3 aO1 2 3 aABCD用心爱心专心- 2 -二、填空题：本大题共7 小题考生作答 6小题每小题5 分，满分30 分）（一）必做题 (9 13 题 )9二项式 ( x2 )12 的展开式中常数项是第项。x10将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n，向量 p =(m,n), q =(3,6), 则向量 p 与 q 共线的概率为11、若平面区域0x2k 的取值范围是0y2 是一个梯形，则实数ykx212若双曲线x 2 y2=1 的渐近线

6、与圆 ( x2) 2y 23 相切，则此双曲线的离心率为a 2b2开始13按下列程序框图运算：若输入 x 5 ，则输出 k= ；输入 x若输出 k=3，则输入 x 的取值范围是k=0x3x 2k= k+1是x 244?否输出 x , k结束（二）选做题（14、 15 题，考生只能从中选做一题）A14（几何证明选讲选做题）如图，正ABC 的边长为 2，点 M , N 分别是边 AB, AC 的中点，直线 MN 与 ABC 的外接圆的交点为P 、 Q，则线段PMQNPM =15（坐标系与参数方程选做题）BC在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为2sin，过极点的一条直线l 与圆相交于 O ， A 两

7、点，且AOX45 ，则 OA =用心爱心专心- 3 -三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分l2 分）已知 ABC的三个内角A， B， C所对的边分别为a,b,c.m(1,1),n(3sinB sinC , cosB cosC ), 且 mn.2（）求 A 的大小 ;（）若 a1,b3c. 求 S ABC。17（本小题满分12 分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50 天的统计结果如下：日销售量11.52频数102515频率0.2（）填充上表；（）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. 5 天中该种商品

8、恰好有2 天的销售量为1.5 吨的概率；已知每吨该商品的销售利润为2 千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列 .18 ( 本小题满分14 分 )如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE 、DF是圆柱的两条母线，B、C 是下底面圆周上的两点 , 已知四边形ABCD是正方形。（）求证：BCBE ；（）求正方形ABCD的边长；（）求直线EF 与平面 ABF 所成角的正弦值。DAFCEB用心爱心专心- 4 -19. （本小题满分 14 分）给定椭圆 C ： x2y2 1a b 0，称圆心在坐标原点O ，半径为a2b2的圆a2b2是椭圆C的“伴随圆” 已知椭圆C的两个焦点分别是F12

9、 , 0F2 2 , 0，椭圆C上、一动点 M 1 满足 M 1F1M 1F 22 3 （）求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程（）试探究 y 轴上是否存在点P (0, m )m0，使得过点 P 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点，且 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为22 若存在，请求出 m的值；若不存在，请说明理由。20. （本小题满分 14 分）设数列 an 为等比数列，数列 bn 满足 bn na1 (n 1)a22an 1 an ， nN ，已知b1 m ， b23m ，其中 m 0 2( ) 求数列 an 的首项和公比；( ) 当 m1时，求 bn ；( ) 设 Sn 为数列

10、an 的前 n 项和，若对于任意的正整数n ，都有 Sn1, 3 ，求实数 m 的取值范围21.( 本小题满分14 分 )已知函数( x22ax)ex , x 0是函数 yf ( x) 的f (x),()cln,且x2bx,x0,g xx b极值点。（）当 b2 时，求 a 的值，讨论函数f ( x) 的单调性；（）当 bR 时，函数 yf ( x)m 有两个零点，求实数m的取值范围 .（）是否存在这样的直线l ，同时满足： l 是函数 y f ( x) 的图象在点 (2, f ( 2) 处的切线 l 与函数 y g (x) 的图象相切于点(,y0),x0e1 , P x0e ，如果存在，求实

11、数b 的取值范围；不存在，请说明理由。用心爱心专心- 5 -汕头市 2011 年普通高中高三教学质量测评理科数学试题答案和评分初步标准一、选择题：ABCDBCDC1 A解：因为12i2 i21 i ，2 i( 2 i )(2 i )555所以复数1的虚部是125i2B解：因为 NM 且 N M aNaM ，且 aMaN ， “ a M ”是“ aN ”的必要不充分条件。3 C；解： S3a1a2a33a13d， S2a1a22a1d ；S3S2a1da1dd2322=1，因此 d24 D由表可知k1 时f (1)f ( 2)0零点在 (1,2)内。5 B解：计算得 x1x2 =20， s114

12、6s29455，所以选 B。6 C解：由图像知 T4()，所以22，又312OM(, A), ON( 7, A),OMON72A201212144A7A71267 D解：根据题意，该几何体图为圆柱和一个1/4 的球的组合体，所以体积为V12114124。4338 C解：由图 2 中阴影部分介于平行线y0 及 ya 之间的那一部分的面积的增速知C答案符合。三、填空题：本大题共7 小题考生作答6 小题每小题5 分，满分30 分（二）必做题 (9 13 题 )C6r x6r (1) r63 r30 即 r9 5。 解：Tr 1C6r x2,6r4 ，所以常数项是x2第 5 项。用心爱心专心- 6 -

13、101. 解：向量 p 与 q 共线得6m3n即 2mn ，符合要求的 ( m, n) 有：(1,2)，12(2,4)，(3,6)，则向量 p 与 q 共线的概率为31y。0x3612y=kx-2y=kx-22211、2,解：平面区域 0y2 是一个梯形，ykx2则图形如右图，所以实数k 的取值范围是2 ,。12、 2解：双曲线 x2 y2=1 的渐近线为 yb xa 2b2a即 bxay 0 ， 圆 ( x2)2y 23 的 圆 心 （ 2,0） 到ox2-2bxay0 的距离为 d2b3 , 得 b23a 2 ，a 2b2所以双曲线的离心率 ec2a 2b2。a 2a22134 ，（ 3

14、分）； (10,28 （ 2 分 ）解：若输入 x5，则 k=4 时， x 1873 2244 ，则输出 k=4；若输出 k=3，则 k=2 时 9 x8244即 x28 ，当 k=3 时 3( 9 x 8)2 244即 x 10所以输入 x 的取值范围是 (10, 28 。（三）选做题（14、 15 题，考生只能从中选做一题）14512解：设 PMx ，则 QNx , 由相交弦定理可得PM MQ BMMA即 x ( x1)151x.215 _2 _解：圆 C 的直角坐标系方程为：x 2( y1)21 ，圆心（ 0,1）到直线 OA : yx 的距离为2 ，则弦长 OA = 2 。2三、解答题

15、：本大题共6 小题，满分80 分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤用心爱心专心- 7 -16（本小题满分l2 分）解： (1)mn3sin B sinCcosB cosC 0 2 分2cos(BC )3即cosA3 4 分22A为 ABC 的内角，0A 5 分A 6 分6(2) 若 a1,b3c. 由余弦定理 b2c2a22bc cosA 得 c21 2 分所以 S ABC1 bc sin A3 c23 6 分24417（本小题满分12 分）解： (1 )求得 a0.5b0.3. 2 分(2) 依题意，随机选取一天，销售量为1.5 吨的概率 p0.5 1 分设 5天中该种商品有X 天的销

16、售量为1.5 吨，则 X B（ 5,0.5 ） 2 分P( X2)C520.52(1 0.5) 30.3125 4 分的可能取值为4,5,6,7,8，则P(4)0.220.04P(5)20.20.50.2P(6)0.5 22 0.20.3 0.37P(7)20.30.50.3P(8)0.320.09(每个 1 分 )的分布列 :45678p0.00.20.30.30.0479 9 分 10 分用心爱心专心- 8 -18 ( 本小题满分14 分 )解：（ 1）AE 是圆柱的母线AE底面 BEFC,又 BC面 BEFCAEBC又ABCD是正方形AB BC又 AEABABC面 ABE又 BE面 AB

17、EBCBE（ 2）四边形 AEFD 为矩形，且 ABCD是正方形EF / BCBCBE四边形 EFBC为矩形BF 为圆柱下底面的直径设正方形 ABCD的边长为xx，则 AD=EF=AB=在直角AEB 中 AE=2，AB=x ，且 BE2+AE2= AB2，得 BE2= x 2-4在直角22222BEF 中 BF=6， EF= x ，且 BE+EF = BF，的 BE =36- x解得 x = 25 ，即正方形 ABCD的边长为 25（ 3）解法一：如图以F 为原点建立空间直角坐标系 ,z 1 分 2 分 3 分 4 分 1 分 2 分 3 分则 A( 2 5 ， 0，2),B( 25 ， 4，

18、 0),E( 2 5 ， 0， 0),DFA ( 2 5 ，0， 2),FB ( 2 5 ，4， 0),AFE ( 2 5 ， 0，0) 1 分FCy设面 AEF的法向量为 n( x ， y ， z ) ，则xEBnFA(x ，y，z) (2 5,0 ,-2)2 5x - 2z0nFB(x ，y，z) (2 5,4 ,0)2 5x - 4y0 3 分令 x 1 ，则 y5 , z5, 即 n( 1 ，5 ， 5 ) 4 分22设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为，则nEF252 29 6分sinCOS n, EFEF529n25154所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为22

19、9 。 7 分29用心爱心专心- 9 -解法二：如图以E 为原点建立空间直角坐标系,， 2 5zD则 A(0 ，0， 2),B(4 ， 0， 0),F(0， 0),BF(-4 ， 25 ， 0),AF(0 ， 2Ay5 ， -2),FCEF(0 ， 25 ， 0) 1 分设面 AEF的法向量为 nEBx( x ， y ， z ) ，则nAF(x ，y，z)(0 ,25,-2)25y - 2z0 3 分nBF(x ，y，z)(-4 ,25,0)2 5y - 4x0令 y1 ，则 x5 , z5 ,即 n (5 ， 1 ，5 ) 4 分22设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为，则sinCO

20、Sn, EFnEF25229 6 分nEF52925154所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为229 。 7 分2919. （本小题满分14 分）解：（ 1）由题意得： 2a 23得 a3 ，半焦距 c2 2 分则 b1椭圆 C 的方程为 x2y213 分3“伴随圆”的方程为x2y24 5 分（ 2）假设 y 轴上存在点 P (0,m )m0，则设过点 P 且与椭圆有一个交点的直线l 为： ykxm ， 1 分ykxm则x2y2整理得 1 3k 2x26kmx3m2303 分13所以6km 24 1 3k 23m 230，解 3k 21m2 5 分用心爱心专心- 10 -又因 直

21、l 截 C 的“伴随 ”所得的弦 22 ，m222k21 有 2222 7 分k 212 化 得 m 立 解得， k21, m24 ，所以 k1, m2(m0)所以 y 上存在点 P (0,2 ) 9 分20. （本小 分 14 分）由已知 b1a1 ，所以 a1m ； 1 分b2 2a1a2 ，所以123m，解得2m ；2 分2aa2a2所以数列 an 的公比 q1 ； 3 分2n 1 当 m1 ， an1， 1 分2bnna1(n1)a22an 1an ， ，1na2(n 1)a32anan 1 ， ， 2 分bn2 得3 bnn a2a3anan 1 ，21n11n32211所以bnn，

22、 4 分21n121322n22n2(2)1 nbn16n 5 分399291nm1n2 Sn2m111 分13，1221n1 2m 3因 10，所以由 Sn1, 3 得n ， 2 分2n13111221n3 ；注意到，当n 奇数 ， 11,3 分22用心爱心专心- 11 -1n3 , 1当 n 偶数 ， 1， 4 分241n3 ，最小 3 所以 1最大 5 分224 于任意的正整数n 都有1n 2m 3n ，1311122所以 4 2m 2 ，解得 2 m 3， 6 分3 321.( 本小 分 14 分 )解：（ 1） x0时 , f ( x) (x22ax)ex ,f( x)(2 x 2 a)ex(x22ax)ex x22(1 a) x2aex 1 分由已知得， f (2)0,22 22a22a0, 解得 a=1 2 分f ( x)( x22x)ex ,f ( x)(x 22)ex 当 x(0, 2) ， f (x)0 ，当 x(2,) ， f( x) 0 又 f (0)0 ， 3 分当 b1 ， f ( x) 在 (,0) ， (2,) 上 增，在 (0,2) 上 减 4 分（ 2）由（ 1）知，当 x(0, 2) ， f ( x) 减， f (x