教师答案详解

1、衡阳市八中2020届高三月考试题(四)数学(理科)只有一项是符合选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中,题目要求的1 .设集合 A x | x2 4x 30，Bx|2x 30，A . (1,|)B . (1,C (1,3)3)【答案】B:集合Ax| x 10x|1，集合Bx| x，所以A B 1,2设曲线axy eln(x 1)在 x0处的切线方程为2x0，则 a=(C. 2解析:/ y= eax ln(x+ 1), y = aeax1x+ 1,当x= 0 时，y = a 1. V 曲线 y= eax ln(x+1)在x= 0处的切线方程为 2x y+ 1 = 0,

2、a 1 = 2,即卩a= 3.3. (x 1) 1 2x 5的展开式中x4的系数为(A . 100 B.120C. 140D.160【答案】D: x 112x 5的展开式中x4的系数为24 160.24.已知在圆M:xy2 4x2y 40内，过点0(0,0)的最长弦和最短弦分别是 AC和BD，则四边形ABCD的面积为(A. 6B.8C.10D.12【答案】D: ( x 2)29由题意可得：最长弦为直径：6最短的弦是4.则四边形ABC啲面积为12.5.已知 a logs 2 , blog 0.5 0.2 , c 0.50.2，则 a,b, c 的大小关系为()D. cab【答案】A a log5

3、2 logs药AA-,b log 05 0.2 log 0 5 0.25 2 , 0.510.50.20.5，故 c 1 ,2 . . 2所以a c b。6.已知函数f（x）.5cosxsinx X，则函数f （x）的大致图像为（taA【答案】B 考点：7.函数f (x)4s in的一条对称轴是（【答案】D函数C1.函数的基本性质；2.函数的图象.0）的最小正周期是3f(x)4sin，则其图象向左平移-个单位长度后得到的函数60）的最小正周期是过平移后得到函数解析式为y4sin 234sin2 -x319D. x 12则函数f （x）4sin-(k Z)3，得x 2k莎Z），当k 1时,191

4、28元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题:今有银一秤一斤十两（?平=10斤,1斤=10两）,令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人 ，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.”若银的数量不变，按此法将银依次分给 5个人,则得银最少的3个人一共得银（）?A. ?两两B. 889 两127D.1111 两31【答案】C解：一秤一斤十两共120两，将这5人所得银两数量由小到大记为数列?詢,则?是公比？?= ?的印(1 q5)等比数列，于是得S51 qa1(1 25)120，解得 d 1201231试卷第3页，总13页故得银最少的3个

5、人一共得银数为a19.如图，平面四边形 ABCD中，AB120 (131AD CD 1,a?a3BD28402 )(两).31罷,BD CD，将其沿对角线 BD折成四面体ABCD，使平面A BD丄平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(C.解析：选A 由图示可得BD = A形，由此可得BC中点到四个点 A，C = /2, BC = /3, DBC与 A BC都是以BC为斜边的直角三角B, C, D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为V3，所以该外接球的表面积 S= 4 nX乌3 2 = 3 n.10.已知0为平面直角坐标系的原点,过双曲线左顶点的内切圆经过点A.

6、2 B.2与 1(a0,b0)的右焦点，by轴交于C, D两点，B为双曲线的右顶点,)2京32xF2为双曲线二aE为0F2的中点,A作两渐近线的平行线分别与E，则双曲线的离心率为(迈 C.D.【答案】B作草图，易知直线BC的方程为a+b=1，圆心0到BC的距离为=!， 2ab= c2,. 4a2(c2 a2) = c4，同除以 a4 得，e4 4+ 4= 0, e=/2 或一羽(舍)， e=/2，故选(e2 2)2 = 0,.e2= 2,B.11.对于定义域为R的函数fx ，若满足f 00 :A.0当x1函数:f4【答案】0,X2，且x3B.1若四边形ACBDR，且x 0时，都有xfx时，都有

7、rxf2 x ex1f x2x 1;fs X0,则其中是“偏对称函数”0.C.2,则称ln( x 1),2x,的函数个数为D.3“偏对称函数”.现给出四个x 0,x 0.1x因为条件xfX 0，所以X与2f X 同号，f1 X3x 3x不符合，f1 X不是偏对称函数2x；对于f2ex X 1 ； f2 X满足,X构造函数Xf2 Xf2X eX cc i XXe 22ve ee x 2x在R上递增，当X1 0 X2，且XiX2时，都有Xif2 X1f2 X1f2X200 , f2 X1f2 X2 ，满足条件,f2 x1是偏对称函数”；对于f3f3 X，满足条件，画出函数yX 1f32x关于y轴对

8、称直线y2x，如图，由图可知函数f4f3 X在原点处的切线，y的图象以及yX不是，偏对称函数12.已知函数f (x) lx411X a(x 0)，g(x)In x(x 0)，其中 aR .若f (x)的图象在点Xi，f Xi处的切线与g(X)的图象在点B X2，fX2 处的切线重合，则a的取值范围为()1 In 2,In 2,)D. (In2In3,【答案】CT f(x)1 2 -X41 -X2a(x0) , g(x) In x(x0) f，函数在点AXi, f Xi处的切线方程为:12X112X1Xi ，函数g X 在点 B x2, fX2处的切线方程为:试卷第7页，总13页y In x2x

9、 x ，两直线重合的充要条件是1 24X1a In x21,由及x1X2 得 0-X212，故aX2InX2X2In丄X21,X22t二、填空题202013.1 i【答案】0；复数IntIn t2t2 t 1tIn 2， x2t0恒成立,t单调递减,0 时，h t，即a的取值范围为(1 In 2,).2020的值是2020 20201 i 1 i200 1 i101021010(2i)1010( 2i)101014.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50 90km/h的汽车中抽取600辆进行分70km / h以下的汽车有辆;析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在【答

10、案】300; 70km/h以下的频率为(0.020.03)100.5，所以汽车有0.5600 300.15.在平行六面体 ABCD AB,GD1中，AABAAD 60 , DAB 90 ,AA AB AD ,E、F分别是棱A1D1和DC的中点 则EF与AC所成角为;(用弧度表示)【答案】-216.如图，过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作两条互相垂直的弦 AB、CD,若VACF与 BDF面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为C31【答案】2y 8x;设直线AC和X轴的夹角为,由焦半径公式得到AFP1 cos,CF1 cos(-)P1 sinBF1 cos1 sin2P Q PFacf21

11、 cos (1 sin ),SVBDF2 1 cos (1 sin )面积之和为：S221 cos (1 sin )通分化简得到cos (1 sin )S P2sincos 2 =pcos1 丄 si n221 . 2 -Sin 4原式子化简为S4t2sin2 ,。2-, ,t 1,00,11,根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时S 2 P2324,抛物线方程为8x三、解答题17.箱中装有4个白球和m m N 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分数之和.(1 )若(2 )当1P(X 6)

12、一，求m的值；5m 4时，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】(1)由题意得：取出的 3个球都是白球时，随机变量 X 6p X 6 亠-,即：cm 45cm 420 ,解得：m 2(2)由题意得：X所有可能的取值为:3,4,5,6 则 P X 3C831 ； PX 4 C42c13C4C37PX 5C4c2333; P X 6c37 ；C41X的分布列为:X3456P13311477141636 141434 -735 -7E(X) 314【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解18.已知函数 f

13、(x) U3cos(2xn)2sin x cos x.3(1)求f (x)的单调递增区间;在VABC中，AC 3且f0，求VABC面积的最大值.【答案】(1)解：f(x) V5cos(2xn) 2sin xcosx3cos2x23sin 2x sin 2x22Sin2x Tcos2xsin(2x -).由-2+2k2x +2k32,k-+k ,k所以f(x)的单调递增区间为:-512+k，-+k ,k所以sinn(2) f(x) Si n(2x+)由题可得，因为3又OB ，所以B -3在VABC中，由余弦定理可得 9 ac2 2ac 1 a22c2ac ac，即 ac 9 .所以 SvABC

14、acsinB - 9 2 2 2凸直，当且仅当a42时等号成立,故VABC面积的最大值为9色419.如图，在三棱锥S ABC中，SA底面ABC , ACABSA=2 ,AC AB ,D , E分别是AC , BC的中点，F在SE上且SF 2FE.(I )求证:AF 平面SBC ;（II ）在线段DE上是否存在点 G，使二面角GAF E的大小为30 ?JL-若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由【答案】I.以A为坐标原点，分别以 AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系 C-xyz.则 A（0，0，0），B（0，2, 0），C（2，0，0），S（0, 0，由SF=2FE 得2 2 2

15、F(2,2,2)3 3 3UULV AFLUVSC2,0,2平面UUVULUVBC0, AFuuvSCULUV Q AFUUV0 AFUUV UUV UUVBC，AF SC AF 平面SBCn .假设满足条件的点G存在，并设DG=t .则 G（ 1，t，0）.所以UULVUULVAE (1,1,0), AG(1, t,0)2），D（ 1，0，0），E（1,1, 0）设平面AFG的法向量为rn2X2,y2,Z2r UUV门2 AFX2，y2，Z2r ULUVn2 AGX2, y2,Z22 2 22,_, _ X23 3 331,t,023y2X2 ty2取y21，得X2t,Z2 t 1UU即n2

16、t,1,t 1（法一）设平面 AFE的法向量为X3,y3,Z3 则r uuv 门3 AFX3,y3,Z3r uuvn3 AE2 2 223,3,33X3X3,y3,Z31,1,0X323y3y3取y31,得x31,Z30,即uun31,1,0(法二)QAF平面SBC, BC平面SBCAFBC .又Q AB AC,E为BC中点，AE BC,AEAFA,AE、AF 平面 AEF BC 平面 AEF所以平面AFE的法向量为:uuroBC= (-1,1,0 );由得二面角 G-AF-E的大小为30得cos30o-uuuun2n3求得uu uu n2 n35/2 J t2 1 t 12弓，化简得2t25

17、t 20,1，于是满足条件的点 G存在，且DG -2 220.已知椭圆2C:Xra1 a b 0过点A(2,0)，离心率为至b2,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P,Q,R为椭圆C上的三点，OQ与PR交于点Muuu，且OQuuu3OM，当PR的中点恰为点M时,判断OPR的面积是否为常数，并说明理由.【答案】(1)由已知易得c42a1L,解得2-.2 2b ac22，故椭圆C的标准方程为:(2)若点Q是椭圆的右顶点(左顶点一样)，则Quuuv2,0 , / OQuuuv3OM ,2M在线段OQ上， M -,03，此时PR81x轴，求得pR -, VOPR的面积等于-32若点Q不是

18、椭圆的左、右顶点，则设直线PR的方程为:kx0，P X1,y1 , R X2,y2 ,2y2kx m2k2 1 x2 4kmx 2m2 4 0,则X24 km2k2 1,x1x22m,- PR 的2k2 1中点M的坐标为2km2k2 1一m ，点Q的坐标为2k216km,) ，将其代入椭圆方程，化简2k21 2k2 1得2k219m2 2 PRJ1k2 J x1 X2 2 4x1 x2； 21 m22k 12运訥 k2 72716/rk9 mlQ点O到直线PR的距离dmj1 k2, VOPR 的面积 SoPR12IpR d16 J1 k29|m|上可知，VOPR的面积为常数21.设数列 an

19、, bn，已知ai 4,bi6,an 1，bn4 an2(1)求数列bhan的通项公式;设Sn为数列bn的前n项和，对任意1,3恒成立，求实数P的取值范围.【答案】(1) bn 1ann 4bnan2bn2（bnan ），又 b,a12 ,bnan是以2为首项,1为公比的等比数列,2bnan 2Qbnan 14an24 bn2anbn2anbn1 81尹n bn 8）又a1bl2,anbnan,两式相加即得：bn 4（八）4n4nSn4nI 14n1 12n,n为奇数nQ1，n为偶数P Sn4n1,3QSn4n 0试卷第19页,总13页o(1)当n为奇数时Q P Sn4n 二p1,3此时一83

20、o(2)当n为偶数时，QSn 4n =p1,381此时8 13【点睛】本类试题，注意看问题,22.设 f X818综上,所以实数p的取值范围为般情况,ainx bx b，X的极大值;1, a 0，若 f求a的最大值;问题都会指明解题方向ex 亠 .，其中a,beX2X1g X2g X1对任意的X1 ,X23,4X1X2恒成立,(川)设a 2 ,若对任意给定的Xo0,e,在区间0,e上总存在s,f t g X0成立，求b的取值范围.【答案】(I )g XXXe e e/ X 2(e )ex，当X 1时,g X在1,递增；当X 1时，g X在 ,1递减.则有的极大值为1, a 0 时，f XaInx1,0 在 3,4恒成立，f X在3,4递增；由h XX,h exX 1一 0在ex3,4恒成立，h X在3,4递增