数列复习资料

1、数列数列定义数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每个数都叫这个数列的项。数列的一般形式：a1, a2, a3,a.,，简记作aj .通项公式的定义：如果数列aj的第n项an与n之间的关系可以用一个公式表示，通项公式的求法1、多式相加法数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+法求得an.1.2.3.+f( n)的和是可求的，可用多式相加例 1.在数列 an中，a1 = 1, an+1= an + 2n，求 an (n 2).解：由条件，a2=a1+2 X 1,a3=a2+2 x 2, an= an-n(n 1)，以上 n 1 个式子相加化简得：an=a1

2、+ n(n 1)=n n 1.2、多式相乘法数列有形如an=f( n)an-1的解析关系，而f(1)f(-2)f(n)的积是可求的，可用多式相乘 法求得an.1 例2在数列an中，a-,an212解：由条件 a 1, a3 = 2, a434这n 1个式子相乘化简得：_ n -1n +134=-3,a5=-4 ,an56an(a 2),求 an.n -1=an 1,n +1an(n+1)3、待定系数法数列有形如an =k Gn +b(k、b为常数)的线性递推关系，可用待定系数法求得an.例 3在数列an中，a1 = 1,an十=3 -an -1,求 an.解：在a =3 0 -1的两边同加待定

3、数f-，得anHt +几=3色一1 7 = 3 (an +(几(扎 1 )11111 )/3),令 A =,得 A = -anHt - 一 = 3 (an -一 )数列 an 一是公比为 3 的32222等比数列，.11 cn41 /cnJ 丄八an- =- 3, an =一(3+1).2 2 24、分解因式法an.当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得例 4.已知 f(X)=(x 1)4, g(x) = r (x1)3,(r H0,1),数列a.满足 Q = 2,a 1(n N ),且有条件(an -an9(n-1) + 何(=0,求务2).解：由得:(an

4、 -an)(an二-1)3 +2 -1)4 =0即(an-1)3r(an -a)+ (an-1) =01对 n N , an h1,故r(an -and)+(anjL -1) =0合并同类项得:an =-rr -1+ran再由待定系数法得：an _1 =g（an/-1）.r an =1+（口）山r5、求差法数列有形如f （Sn,Sn）=g（an）的关系（非递推关系），可考虑用求差Sn Sn=an后，再用其它初等方法求得an.例5. （ 94年全国高考试题）设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数 n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项:（1）写出数列an的前3项;（

5、2）求数列an的通项公式.出题者的意图是：通过（1）问求出数列前 3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳 法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单 .解：（1）略a +2（2）由条件，得2即(an +2)2 =8 0,(an+2)2 =8Sn.-得 8an =(an +2)2-(an2)2,即(an -2)2 -&4十2)2=0.分解因式得(an + an 4)(an an4 4) = 0.对于 n N,an0, an -and =4.-an是公差为4的等差数列,an =2 + 4( n -1) = 4n -2.6、倒数法数列有形如 f (an,anjanan J = 0的关系，可在等

6、式两边同乘以1先求出an a nJ1再求得aan例6.设数列an满足a1 =2, an屮N),求 an.an +31解：原条件变形为 a卄 0 + 3 “ =an.两边同乘以 一一 an an屮an1 1- 3(丄+)= an 2an 十an =7、复合数列构成等差、等比数列法数列有形如f(an七,an也an )= 0的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再 用其它初等方法求得 an.例 7 .在数列 an中，a1 = 2, a2 = 3, an 书=3 *an 十2 an ,求 an 解：由条件a*七=3日* + 2 q,二 an 七一 an出=2(an+ aJ，22(1 Qn-2)a

7、n七an41 =2 .再用多式相加法可得：an = a2 +=21.1-28、循环法数列有形如f(an七，an十，an) =0的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出a例 8.在数列an中，a1 =1,a2 =5,anH2 =an41 an,求印998.解：由条件 an+3 = an+2 an+1 = (a.+1 _a.) _a.+1 =,即 an43 = _an，二 an = _anH3 = an，即每间隔6项循环一次.1998=6 X 333,-ai998 = a6 = -4.9、开方法对有些数列，可先求 Jan或#an,再求an.例9有两个数列an, bn,

8、它们的每一项都是正整数，且对任意自然数n,an、bn、an申成等差数列，bn、an屮、b卄成等比数列，a, =1,&2 =3力=2,求an和bn.L2bn=an + an+1，解：由条件有：Ya n+ 1=bn bn+1.由式得：an = Jbnbn ,an+ = Jbn h 十.把、代入得：2bn = Jbnrn + Jbn g出,变形得Jb；(酝-应)=阳际-Qb).- bn 0 , Jb? - Jbn=昭-何. Jbn 是等差数列.因 ai = 1, a2 = 3, b, = 2,故b2 = I，故Jb2 一扭=暮一厂=V2, Jbn = n血,bn =2n2,故 a JbbT =2n(

9、n -1).、等差数列1 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an an4 =d(n 2)或 an+ -ad(n 1) 2 等差数列的通项公式：an = a +( n V) d说明：等差数列(通常可称为A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d = 0为常数列，d CO为递减数列。例1 在等差数列(aj中，已知Os =10, 2 =31，求首项a与公差d G + 4d =10解：由题意可知：i 1，解得a, = 2 , d =3 , +19=31即这等

10、差数列的首项是 -2，公差是3例2 在-1与7中间插入三个数 a , b , 解：用(aj表示这5个数所成的等差数列,由已知得：a5 = 7 , a1 =-1 , 7 = 1 +(5 -1)d , d =2 ,所以，a=1 , b=3 , c=5 .3 等差中项c,使得这5个数成等差数列，求 a , b , c.定义：如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2A , b成等差数列Ua +bA =2等差数列的性质：(1)在等差数列aj中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;aj中，相隔等距离的项组成的数列是 AP如：a1, a3, a5, a?,(2)在等差数列a

11、3 ， a8， ai3，ai8，(3) 在等差数列aj 中,对任意 m , a. =am +(n m)d , d = am (mH n)；n -m(4) 在等差数列 中，若 m , n , p ,m + n = p + q ,则 am +an =ap.例1. aj是等差数列，证明kan中b为等差数列。证明：设数列牯丿公差为d , G =kan +b,Cn+ Cn =kan+ +b(kan +b) =k(an+ an) =kd , kd是一个与n无关的常数，所以，kan +b为等差数列。例2在等差数列an中，若=10, a7 =19，求a18.解：(法一)设首项ai，公差为d，ai +3d =1

12、0ai +6d =19 d =3 , a1 =1, a18 =1+17d =52 .(法二)d =a7 a43aj 中,=3， a1 a7 中 11d = 52 .19-103例3在等差数列aa7 中a8 中3 =6，求比 ag.在等差数列(aj中，q a4 ag 耳2+印5 =2，求ag中的值。 解：由条件：a6 +a9 =&7 +比=a2 +印3 =3 ；：由条件：2比=印+65=&4+印2 ag = -2 a3 + 印3 =2a8 = -4 .例4.已知三个数成等差数列，其和为 15，首末两项的积为 9，求这三个数。解：由题意，可设这三个数分别为a-d , a , a+d，则f(a-d)

13、+a+(a+d) =15- Ta =5i(a -d)(a +d) =9 一 d = 4，所以，当d =4时，这三个数为1, 5 , 9 ；当d = /时，这三个数为9, 5 , 1.4.等差数列的前n和：八十。n(a1+an)丄 n(n-1)2 2说明：在等差数列前 n项和公式及通项公式中有 a1, an, 个可以求出另外两个。女口： a1=20an=54 , Sn =999，求 d 及 n ；1=一 ,n = 37 , Sn = 629，求印及 n ;30=2 , n =15, an=10,求 a1 及 Sn.-10 , -6 , -2 , 2 ,前多少项的和是Sn五个量，已知其中三d例1.

14、等差数列解：设题中的等差数列为 aj，前n项和是Si，则a-10 , d54 ?=4 ,Sn=54 ,则10n + 咒4=54 , 所以，01=9 , n2 = 3 (舍)。2 1 2答：等差数列10, -6 , -2 , 2 ,前9项的和是54 . 例2在等差数列aj中，$0=100, S,00=10,求S10 ?I 10x9 10a1=1009 解：设该等差数列首项 a1，公差d，则21100 X 99100a1+d =10L2所以，S10 =110+ 110x109d =-110 . 2拓展练习：在等差数列中，Sp = q , Sq = p，则Sp七=一(P + q).在等差数列中，aw

15、 = 23 , a25 = 22,该数列第几项开始为负？前多少项和最大？求鶴卩前n项和？例3.(1)(2)(3)解：设等差数列a,中，公差为d ,由题意得:&25 一耳0 =15d = -45I 4 =50.23=4+(10-1)x(-3厂 Ld=-3(1)设第 n项开始为负，an =50-3(n-1)=53-3n,3ai_109-101=5所以从第18项开始为负。103 n2一弘一吗2 +冬(空)2 ,2 6 2 6(2)(法一)设前n项和为S1，则Sn=50n+n(-3)3n2 +2 2所以，当n =17时，前17项和最大。小 53-3n0，则Q,a-3n 0詈皿53，所以心7 .(3)

16、an53 3n,0 c n 17Sn = ai + a? + a3 +3 2=n2-(-l当 n 17 时，Sn+ an =ai + a2 屮+ (ai8 +ai9 十+an),103 Pn， n2 +101 n) +2721 2=一 n2-竺 n+884 ,2-3n2-I十103 n(n 17)例4 . (1 )如果数列an满足d =3,-一 an + an(2)已知数列an的前n项和为Sn = -n -2n,求an.解：(1 )由题意：是公差为5的等差数列，其首项为 1an311”15 n1433=5( n 亡 N),求 ai ；anan=型鼻，求更的值。n +3b7解： S1IJ3佝乜1

17、3)=i3a7, si3所以，鱼-Sb7Sl327x13+293-13+3i63 一15n -14 (2)当 n =1 时，d =0 = 3 ,当 n 2时，an =Sn -Sn4=(n2 -2n)-(n-1)2-2(n-1) = 2n-1 , 所以，an = 2n1 ( n N”).Sn例5等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Sn，且S n三、等比数列1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比2. 等比数列的通项公式：an =ai ”qn4(ai *q ho).说明：由等比数列的通项

18、公式可以知道：当公比d =1时该数列既是等比数列也是等差数列；例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项、第2项、公比和通项公式。 2=-解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 012 = J 2,aiq3=18I _WLai 3因此，a2= ； an=梓严3232例2已知an, bn是项数相同的等比数列，求证：an 4是等比数列。证明：设数列an的首项为a1，公比为P ；数列bl的首项为d，公比为q , 则数列an bn的第n项和第门十1项分别是印卩2 ”bqn与Q pn ”bqn , 即为 a1叽 pq)2与 a1b(pq)n ,- 4丰g 4匕(PG =p

19、q是一个与n无关的常数，an bnab( pcf 丄所以，an bn是以pq为公比的等比数列。说明：若an是等比数列，c是不等于零的常数，那么数列 C an也是等比数列。 3.等比数列性质：(1)等比中项：a,G,b成等比数列=G =ab(2)若 m +n = P +q (m, n, q, p 丘 N，则 am a. = ap q ；(3)由等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则.an例1已知an为GP，且a8,a2，该数列的各项都为正数，求 的通项公式。a211解：设该数列的公比为 q，由=q得q2 =-=，又数列的各项都是正数，故 q =842as则an =8咒(丄)2 =(1严.2

20、2例2.已知三个数成等比数列，它们的积为解：由题意可以设这三个数分别为旦，a,aqq27,它们的平方和为 91,求这三个数。,得:aa aq =27q=2r葺 +a2 + a2q2 =91 qa=31 2 （_+1 + q2）=91 q42- 9q -82q +9= 0 ,即得2 2q =9 或 q_丄9 q = 3或 q = -,3故该三数为：1, 3, 9或-1,3, -9 或 9,说明:已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为或-9，3，-1 .a-,a,aq .q例3.证明:已知；an为等比数列，kn是等差数列且kjN +求证：akn是等比数列。 设an的公比为q，则an =a1pn4

21、； kJ的公差为d，则kn =匕+(n 1)d Cc(k,十 n4)dj)akn - a1q,a(k,十nJ)dJ)kn 十n4)d斗)=qd (与n无关的常数)，a qq )所以，akn是等比数列。4.等比数列前n项和公式：当 q 工1 时，Sn =a1（1 q）或Sna1 -ag二 1-q当q=1时,说明：（1）1 - qSn =（错位相减法）a1,q,n,Sn和d,a.,q, Sn各已知三个可求第四个; 注意求和公式中是 应用求和公式时例1.（ 1）求等比数列（2）求等比数列q142, 4,qn，通项公式中是q-1不要混淆； h1，必要时应讨论q =1的情况。1-,的前8项的和；8从第5

22、项到第10项的和。21-（1）8n = 8，得 S8 = 21112_12255 ； 256 (2)由 a =1, a2 =2 得q =2 ；Si011一210)=10231-21x（1-24）S4 =15 ,1-2即从第5项到第10项的和为S10 S4 =1008 .例 2.在等比数列an中 a1+an=66 , aza.=128, Sn =126，求 n 和 q 解： an是等比数列.a2an_1 Fan =128,又 ai阡64或IIan =2当 F164时 126 二6得 q Jgn=21-q2+ an =66 ,aj =2a =64当! a2 时 126=8 得 q=2 =641-q

23、例3.设an是等比数列，求证：Sn,S2n-Si,S3n -S2n成等比数列。证明：设an的公比为q，则Sn =a1 +a2 + + an =a1(1+ q+q2+亠)5n Sn =an十 +an + +aq “+ + +aq2n4 =a1qn(1 +q + q2 + + qn)S3n S2n - a2n+ +a2n 七2n,2n+,丄 3n4=aq +aq + + aq2n(1+q+q2 S2n Sn Snn=q& , S2n - 31 , Ssn - 32*成等比数列。例4 .已知：Sn是等比数列 右n的前n项和，S3, S9, Se成等差数列, 求证：a2,a8,a5成等差数列.证明：

24、S3, S9, Se成等差数列二 S3+S6=2S9 若 q=i，则 S3=3ai,S6 =6ai,S =9ai由ai H 0可得Ss + Se H 2S9，与题设矛盾q 幻.6(1q3)十a1(1q6) _2a1(1-q9) 1 q1 -q1 -q整理，得 q3+q6=2q9由q H0得 1 +q3 =2q6436二 a2 +a5 =a1q +a1q =a1q(1 +q ) =a1q(2q )=2a1q = 2a8/. a2,a8,a5成等差数列.例5.在公差不为0的等差数列an和等比数列bn中，a1=bi=1 ,a b2,a =th,(1) 求数列an的公差和数列bj的公比；(2) 是否存在a,b使得对于一切自然数 n都有a loga b