数列求和及综合应用学案

1、考点突破第2讲数列求和及综合应用年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ian与Sn关系的应用T14等差数列、等比数列的前 n 项和是高考考查的重点若以解 答题的形式考查，数列往往与解 三角形在17题的位置上交替考 查，试题难度中等；若以客观题 考查，难度中等的题目较多，但 有时也出现在第12题或16题位 置上，难度偏大，复习时应引起 关注.卷n等差数列前n项和的最值问题T172017卷n裂项相消法求和T152016卷n等差数列的基本运算、数列求和7卷川等比数列的通项公式、an与Sn的关系T17夯买辕归如识I突aa至agffi盲m考点数列求和问题（综合型）典型例题D命题角度一公式法求和n

2、( ai + an)O等差、等比数列的前 n项和（1）等差数列：Sn= na1+ n （； “ d（d为公差）或Sn=?pa 1, q = 1,等比数列：Sn=ia1 (1 qn)a1 ag .其中(q为公比).,q 护11 q 1 q 4类特殊数列的前n项和(1)1 + 2+ 3 + + = 2n(n+ 1).(2)1 + 3+ 5 + + (2n 1) = n2.(3)12 + 22+32+ n2 = 1( n+ 1)(2 n+ 1).6(4)13 + 23+33+ n3 = 1n2( n+ 1)2.,n N*.（1）求证：数列为 等差数列;，求 T2n.(2)设 T2n=1- +1- +

3、a1a2a2a3a3a4a4a5a2n-1a2na2na2n+1【解】(1)证明：由an+二3%，得12an+ 3 12an+ 3an+13anan 3所以土-誥|.又a1= 1，则右=1，所以数列廿j是首项为1,公差为3的等差数列.3设 bn= 一1一- 一1一 = (OtH -丄乜a2n+1 丿a2n由(1)得，数列土 j是公差为22的等差数列,所以丄 132 n- 1a2n + lbn=f 1-丄u = 4X 丄, a2n- 1a2n + 1 丿a2n3 a2n 所以 bn+ 1-bn= 4 ah=-3 la2n+ 2又 b13 X Or-3 X3卜-寥所以数列bn是首项为-20公差为1

4、6的等差数列,99所以 T2n= b1 + b2 + bn=- + 5；X J16=- 9(2R2 + 3n).求解此类题需过 “三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义,断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n项和公式来求解，需掌握等差数列an的前n项和公式:Sn= n (a1+ an)或 Sn= na1 + 叫！!nai, q = 1, d;等比数列an的前n项和公式：Sn=iai (1-qn)1, qz 1 ；第三关，运算关，认真运算，1 - q此类题将迎刃而解.口命题角度二分组转化法求和将一个数列分成若干个简单数列 (如等差数列、

5、等比数列、常数列等)，然后分别求和.也可先根据通项公式的特征， 将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和.颅已知等差数列 an的首项为a,公差为d, nC N ,且不等式ax2-3x+ 20的解集为(1, d).(1) 求数列an的通项公式an；(2) 若 bn= 3an + an- 1, nC N*，求数列bn的前 n 项和 Tn.f 1 + d = 3a【解】(1)易知a丰0,由题设可知I1 d = I，故数列an的通项公式为an= 1 + (n 1) 2= In 1.(I)由(1)知 bn= 3In1+ In 1 1,则 Tn= (3

6、 + 1) + (33 + 3)+ + (3In 1 + 2n 1) n=(34+33+ + 3In 1)+(1 + 3+ + In 1) n31 (1 9n)(1 + In 1) n1n=8(9n- 1)+ nI n.把一般的数列求和转化为等差(1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数 n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.(I)分组求和的策略：根据等差、等比数列分组.口命题角度三裂项相消法求和根据正号、负号分组.把数列的通项公式拆成两项之差的形式,求和时正负项相消， 只剩下首尾若干项， 达到化简求和的目的

7、.常见的裂项式有:= _, = J(In 1)( In+ 1) = In 1 In+ 1丿，n(n+ 1)( n+1) = In (n+ 1)(n + 1)( n+ 2)】何 + 祈=寸 n+ 1 /n 等.ESS (I018唐山模拟)已知数列an满足：严+ 7 + n = |(3In 1), n N*. a1 aIan 8(1)求数列an的通项公式;an111设bn=也孑求b1；+b13+贏【解】土 = 8(3I 1) = 3,= &+ Z+ D 沖+2+ 曰 an 灯1 aI an/ 1 aIan-1/=3(32n 1) 3(32n -2 1)= 32n-1当n =1, Oh 32n 1也

8、成立， bn = log 3半=(2 n 1)，因为 bnbn+1= (2n 1)( 2n+ 1)=2 bn 1 2n + 1 丿，111所以 b12+bn1(1- 3)= n=2ri+ 1.(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规 律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.口命题角度四 错位相减法求和已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，求数列anbn的前n项和Sn时，先令Sn乘以等比数列bn的公比，再错开位置，把两个等式相减，从而求出Sn.色回(2018石家庄

9、质量检测(一)已知数列an满足：a1= 1, a_ n + 1 n+ 1 n+1=n an+2n(1)设bn= ，求数列bn的通项公式;求数列an的前n项和Sn.【解】(1)由an+1 =罟an +号占可得警=n 2 n+1ann又 bn= an 所以 bn+ 1 bn =歹,由 a1= 1，得 b1= 1,累加可得(b2 b1) + ( b3 b2)+ + (bn bn-1)=歹 + + gnT ,1行 1、刚，,212丿，1即 bn b1 =1= 1 2旷 1,1 1由可知an= 2n ，设数列 堺勺前n项和为Tn,则Tn= +討+2,知=11+歩+ 23 +药,1 4得1Tn = 20+

10、2+步+十扌=一令1- 1易知数列2n的前n项和为n(n+1),所以 Sn= n(n+ 1) 4 + 2旷1 .求出前n项和的表达式，然后乘以(1)求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比 数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式， 等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和.(2)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列an , bn 一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号，学生常 在此步出错，一定要小心.口命题角度五并项求和并项求和法：把数列的一些项合并成我们熟悉的等差

11、数列或等比数列来求和.ESS数列an满足an+ 1 =，则数列an的前100项和为()5 1009 850C. 9 800【解析】 设k N*,当 n = 2k 时，a2k+1 = a2k + 4k,即卩 a2k+1+ a2k= 4k,当 n = 2k 1 时，a2k= a2k-i + 4k 2，联立可得，a2k+1 + a2k 1 = 2,所以数列an的前100项和Sn= ai + a2 + a3+ a4 + + a99 + ai。=(ai+ a3+ + a99)+(a2 + a4+ + ai。)=(ai + a3 + + a99)+ ( a3 + 4)+ ( a5+ 4X 2) + ( a

12、7 + 4X 3) + + (玄仙 + 4X 50)=25X 2 + 3 + as+ + ai0i)+ 4X (1 + 2+ 3 + + 50)=25X 2 25X 2+ 4X=5 100.故选B.【答案】B(1)将一个数列分成若干段， 然后各段分别利用等差(比)数列的前n项和的公式及错位相 减法进行求和.利用并项求和法求解问题的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(1)n” .(2)运用分类讨论法求数列的前n项和的突破口：一是对分类讨论的“度”的把控，如本题，因为sin可以等于1,也可以等于0,因此分类的“度”可定位到“n分为奇数与偶数”，有些含绝

13、对值的数列， 其分类的“度”需在零点处下功夫；二是对各类分法做到不重不漏，解题的思路就能顺畅.对点训练(2018郑州模拟)在等差数列an中，已知a3= 5，且a1, a?, a5为递增的等比数列.n(1)求数列an的通项公式；2r an+1, n= 2k 1,若数列 bn的通项公式bn= nI 2-1L 2, n= 2k解: (1)设等差数列an的公差为d,易知d丰0, 由题意得，3 2d)(a 3 + 2d)= (a3 d)2, 即d2 2d= 0,解得d= 2或d= 0(舍去),(k N ),求数列bn的前n项和Sn.所以数列an的通项公式为an= a3+(n 3)d= 2n 1.(2)当

14、 n = 2k, k N*时，Sn= b1 + b2+ bn= (b1 + b3+ b2k- 1)+ (b2+ 5+ + b2k)= + 82+ + ak) + (2 + 21+ 2k1)= k(1 + 2k+= k2 + 2k 1 = J + 22 1;丿1 24，当 n = 2k 1，k N 时，n+ 1 = 2k,则 Sn= Sn+ 1 bn+ 1 =+ 辽1 2呀1 = + 广 3n 1+ 2 22A n (1 + 2n -1)= n2所以 bn飞n2-(n+ 1) 2 = n(+石=1=n n + 1.2 nfy + 2(2)证明：由(1)知，an = 2n 1,所以 1, n= 2

15、k,4*综上，Sn=2+ 2n 3 n 1(k N).n + 2n 3 亍4+ 2 2 , n = 2k 1考点数列与其他知识的交汇问题(综合型)典型例题命题角度一数列与不等式相交汇求数列an的通项公式;1若数列bn满足bn= I=，记数列bn的前n项和为Tn,证明：Tn2).又a1 = 3满足上式，所以 an= 2n + 5（n1）.由(1)知，bn= aan=- 2an+ 5 = 2( 2n+ 5) + 5= 4n 5,所以 Tn= n (b1+ bn) = 2n2 3n.所以Tn的最小值是T1= 1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法已知函数条件,（2）已知数列条件, 用数列的范围、分式

16、、解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利 求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联 系，灵活运用函数的思想方法求解.对点训练已知正项数列an , bn满足：对于任意的n N，都有点（n，血）在直线y=2（x + 2）上，且bn，an+1，bn+1成等比数列，a1= 3.求数列an , bn的通项公式;设Sn= + + ，如果对任意的n N*,a1a2an不等式2aSn 2时,=(n + 1)( n+ 2) n =a1 = 3适合上式，所以an =(n + 1)( n+ 2)由（1） 知, 1所以

17、Sn= 2d-1抄+诂-匕故2aSn2-如可化为:an(n+ 2) 222an后2- (n+ 1 )(n + 2)2-=亠,n+1 n+1即aanD Tnbn+1解析：选D.因为点(n, Sn+ 3)(n N)在函数 以 an= 3 2n-1，所以 bn+ bn+1= 3 2n-1,因为数列y= 3X 2X的图象上，所以Sn= 3 2n-3,所bn为等比数列，设公比为q,贝y b1+ b1q=3, b2+ b2q = 6,解得 b1= 1, q = 2,所以 bn= 2n 1, Tn= 2n- 1,所以 Tnbn+1,故选 D.5已知数列an满足n2 *a1a2a3an= 2 (n N)，且对

18、任意 n N则实数t的取值范围为(A (3, +8 )B. 3，2C. (3,+s )D. l,解析：选D.依题意得,、一a1a2a3 an当 nA2 时，an=aaaah=2 2n-叶1) = 22n-1，又 a1=21 = 22x 1-1，因此an= 22n-1,丄二缶，数列-是以1为首项，2为公比的等比数列，等an 2an 241 111 ( 1-承)比数列J的前n项和等于n 1 -12 12 2=3(1 -3,因此实数t的取值范围是【G+s),故选D.6(2018河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色先染1 ;再染两个偶数2, 4;再染4后

19、面最邻近的3个连续奇数5, 7, 9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10, 12 , 14, 16;再染此后最邻近的 5个连续奇数17,19, 21, 23, 25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1 , 2, 4, 5, 7, 9, 10 , 12, 14,16, 17,则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是（）B . 3 972C. 3 973D . 3 974解析：选B.由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数根据等差数列的前 n项和公式，可知前n组共有n 5； 个数.由于2 016 = E（63+1）201864X（64+ 1）= 2 080，因此，第2 018个数是

20、第64组的第2个数.由于第1组最后，第n组最后一个数是一个数是1，第2组最后一个数是 4,第3组最后一个数是9, n2,因此，第63组最后一个数为 632, 632= 3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970 , 第2个数为3 972.故选B.二、填空题7.已知数列an的前n项和Sn满足Sn+ Sm= Si+m(n,m N )且a1= 5,则a8=.解析：数列an的前n项和Sn满足Sn+ Sm= Sn+ m(n, m N )且a1 = 5,令m= 1,则Sn+ 1 = + S| = Sn + 5，即 Sn+1 Sn= 5，所以 an+1 = 5,所以 a8= 5.答案：58. （2

21、018武汉调研）设等差数列an满足a3+ a7= 36, a4a6= 275,且anan+1有最小值, 则这个最小值为.解析：设等差数列an的公差为d, 因为 a3+ *7= 36,所以 84+ a6= 36,与a4a6= 275，联立，解得|36= 25a4= 25,或 U11,当ja4=11,时，可得6= 25a1 = 10,此时 an= 7n 17, a2= 3, a3= 4,易知当 nW 2 时,ld= 7,an 3 时，an0,|a4= 25,当5时，可得06= 11所以a2a3= 12为anan+1的最小值;an0 ,当 n 8 时，an0,a1 = 46,此时 an= 7n+ 5

22、3, a7= 4, a8= 3,易知当 n2 时，因为 Sn = 2bn 1,所以 0-1= 2bn-i 1,所以 bn= 2bn 2bn-1，所以bn= 2bn- 1(n 2且n N)，因为b1= 2b1 1，所以b1= 1，所以数列bn是首项为1,公比为 2的等比数列，所以bn = 2n1.设 a1, a2, a4, a?, a,的下标 1, 2, 4, 7, 11,构成数列Cn，贝U C2 6= 1, 5C2= 2 , C4一 C3= 3 , C5 C4= 4,，Cn Cn- 1 = n 1，累加得，C1 = 1 + 2 + 3 + 4+(n 1)，所以 Cn = n 5一 1)+ 1,

23、由 Cn=巴产+ 1 = 56,得 n= 11,所以 a56= bn = 210=1 024.答案：1 024三、解答题10. (2018高考天津卷)设an是等差数列，其前 公比大于0,其前n项和为Tn(n N*).已知b1= 1,n项和为Sn(n N*); bn是等比数列,b3=匕2+ 2 , b4= a3+ a5 , b5= a4+ 2a6.(1)求 Sn 和 Tn；若Sn+(T1 + T2+ Tn) = an + 45,求正整数解：(1)设等比数列bn的公比为q.由b1 = 1, b3= b2+ 2，可得q2 q 2= 0. 因为 q0，可得 q= 2，故 bn= 2n1.n的值.所以，

24、Tn=啓=2n 1.设等差数列an的公差为d.由b4 = a3 + a5，可得玄勺十3d = 4.由 b5= 84+ 2a6,可得 3a1 + 13d = 16,从而 a1= 1, d = 1,故 an= n.所以，Sn =牢严(2)由(1)，有T1 + T2+ Tn= (21 + 22+ 2n) n= 2 X ( 1 一2) n = 2n+1 n 2.1 2由 Sn+(T1 + T2+ Tn) = an+ 4bn可得+ 2n+1- n - 2= n + 2”1整理得 n2 3n 4= 0,解得n= 1（舍），或n= 4.所以，n的值为4.11. （2018陕西教学质量检测（一）已知在递增的等

25、差数列an中，a1= 2, a3是 內和a?的等比中项.求数列an的通项公式;1若bn=（n+ 1）a , Sn为数列bn的前n项和，求$00的值.解：设公差为d（d0）,则 an= ai+ (n 1)d.因为a3是a1和a9的等比中项,所以 a2 = a1a9,即(2 + 2d)2= 2(2 + 8d),解得d= 0（舍去）或d = 2.所以 an= ai + (n 1)d = 2n.111 口 1 、(2)由(1)得 bn= (n + 1) an = 2n (n+ 1) = 2 n + 1 丿,需為=A（1 -話誥.1 111所以 S100= 6+ b2+ b100=1X(1 1 + -1

26、2. （2018兰州模拟）已知等差数列an中，a2= 2, a?+ a5= 8，数列bn中，b1 = 2,其 前 n 项和 Sn满足：bn+1 = Sn+ 2（n N*）.（1）求数列an, bn的通项公式;设Cn= an求数列cn的前n项和Tn.解: （1）设an的公差为d ,因为a2= 2, a3+ a5= 8,所以2+d+ 2+ 3d= 8,所以因为所以d= 1，所以 an= n.bn+ 1= Sn+2(n N*)，* bn= Sn-1 + 2(n N , n 2).一得，bn+1 bn= Sn Sn-1 = bn(n N , n 2),所以 bn+1= 2bn(n N , n 2).因

27、为 b1 = 2, b2= 2b1,所以bn为等比数列，b1 = 2，q= 2,所以bn= 2n.(2)因为 Cn= bn = jn,所以 Tn= 1 +4+23+ n1 +1_123n 1 n2Tn=歹+2+歹+2厂+ 尹,曲卡主口、宀 /a 11,11nA 2 + n两式相减，得 2Tn= 2 + 2+ 才= 1 ,所以Tn = 2 专.B组大题增分专练1. （2018 昆明模拟）数列an满足 a1= 1, an+1 + 2an= 3.（1）证明an 1是等比数列，并求数列an的通项公式；! x0,已知符号函数sgn (x)=Y 0, x= 0,设bn= a. sgn (aj,求数列bn的

28、前100项和.-1, x0,解：(1)因为為+1 = 2an + 3, a1= 1,所以 an+1 1 = 2(an 1), a1 1 = 2,所以数列an 1是首项为一2,公比为一2的等比数列.故 an 1 = ( 2)n，即 an= ( 2)n + 1.2n+ 1, n为偶数，(2)bn = an Sgn(an) =1 ,门为奇数，设数列bn的前 n 项和为 Sn,贝y S100 = (2 1) + (22 + 1)+ (23 1) + + (299 1) + (2100 + 1)= 2+ 22+23+ + 2100= 2101 2.2. （2018惠州第一次调研）在公差不为0的等差数列a

29、n中，a1, a4, ag成等比数列.若数列an的前10项和为45,求数列an的通项公式;1 1 1anan+1若bn=r-，且数列bn的前n项和为Tn,若Tn = _ +9，求数列an的公差.解: (1)设数列an的公差为d(dM0),由a1, a4, a8成等比数列可得 a4 =印 ag, 即(a 3d)2= a1 (a1 + 7d),得 a1 = 9d.由数列an的前10项和为45得10a1 + 45d = 45,即 90d + 45d = 45,1所以 d= 3, a1 = 3.故数列an的通项公式为an= 3+ (n 1) x 3=n+8.11f11 、丿(2)因为 bn= a= dQnan+1所以数列 bn的前n项和Tn =走iy 6- )+6-aU=骡一 aU即 Tn= d- a+d 卜瞪一 9d+d )=參一丄L1一丄 d 9+ n丿 99 + n因此？ = 1，解得d = 一 1或1.故数列an的公差为一1或1.3.已知等差数列 an的首项a1= 2，前n项和为0,等比数列bn的首项b1= 1,且a?=b3，&= 6b2, n N .(1)求数列an和bn的通项公式；数列 Cn满足Cn=