数列考点测试30等比数列

1、考点测试30等比数列高考概览5分、12分,本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 中、低等难度考纲研读1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式答案 A3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系狂刷小题-基础练一、基础小题1 .在等比数列an中，已知a1= 1, a4 = 8,贝U a5=()A. 16B . 16 或16C. 32D . 32 或32答案解析由 a4= aq3，贝U q= 2,所以 a5= a4q= 16.故选 A.2.在等比数列an中，已知 a7a12= 5，贝U a8

2、a9a1oa11=（）A. 10 B . 25 C . 50 D . 75答案 B2解析 因为 a7a12= a8a11 = a9a1o= 5,所以 a8a9a1oa11 = 5 = 25.故选 B.3.已知等比数列an的公比为正数，且a2a6= 9a4, a2= 1，则a1的值为（）A. 31 1B. -3C. -3D. 1答案422解析设数列an的公比为q,由a2a6 =9a4,得a?-a2q=9a2q，解得q = 9,所以qa21=3或q=3（舍去），所以a1=q=1 .故选D4.已知等比数列an的前n1an 项和 Sn= a *3 + b,则 b=()A. 3 B . 1 C . 1

3、D解析等比数列an的前n项和S = a3n 1+ ba1 = Si = a+ b,a2= S2一 S = 3a+ b一 a一 b= 2a, a3= S3一 S2= 9a+ b一 3a一 b= 6a,.等22a比数列an中，a2= aia3,.(2 a) = (a+ b) X6 a,解得 b=- 3.故选 A.5.若等比数列an满足anan+1= I6n,则公比为（）A. 2 B . 4 C . 8 D . 16答案解析由 anan+1 = 3詁=l60 知 q0,又n + 1an+ ian+22 16_丄/、心=C =r7 = 16,所以 q= 4.故选 B.anan+1y 16y6设SS6S

4、是等比数列an的前n项和，若3,则=（）A. 2答案解析S2= k,则S= 3k，由数列an为等比数列（易知数列an的公比qz 1），得S2, S4 S2,S6 S4为等比数列，又S2= k, S4 S2= 2k,. S S= 4k, S6= 7k,.头7k =043k3, 故选B.7.设an是由正数组成的等比数列，公比q= 2，且aia2a3 a30 = 2 30,则a3a6a9 a30=( )A. 210B . 220 C . 216 D . 215答案解析因为aia2a3 = a 2 ,aasae = a 5,a7a8a9 = a 8,a28a29a30 = a 29 ,所以aia2a3

5、a4a5a6a7a8a9a28a29a30 = (a2a5a8比9)3 = 2 30. 所以a2a5a8比9 = 210.贝Ua3a6a9a30 =(a2C|)(a5q)(asq)(a29q)= (a2a5a8 a29) q10= 210X210=220,故选B.& 在数列an中，已知 a= 1, an= 2(an 1 + an 2+ a2+ a1)( n2, n N)，则这个数 列的前4项和S4=答案 27解析 由已知 n2 时，an= 2$一1, an+1= 2S,. an+i an= 2an,即卩 a+1= 3an(n2), 1, n= 1, a = 12x32, n2, S = 1 +

6、 2 +6+ 18= 27.二、高考小题9. （2018 北京高考）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十 二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于1匂2若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为（）A. &f B .紡f C .加 D .加答案 D12解析 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f,公比为 护的等比数列，设该等比 数列为an，则a8= ag7,即卩a8= 1荷 ，故选D.10. （2018 浙江高考）已知 a1, a2, a3,

7、 a4成等比数列，且 a1+a2+a3+ a4= In （ + a2+ a3）.若 ai1，则（答案 1A.aia3, a2a3, a2a4C. aia4aia3, a2a4答案 B解析设f(x) = In11 一 xx x(x0)，贝U f (x) = - 1 =，令 f (x)0，得 0vxv1，令 xxf(x)1,.f (x)在(0,1)上为增函数，在(1 ,+s)上为减函数， f(x) w f (1)=1，即有 In xw x 1 .从而 ai + a2+ a3 + a4= In ( ai + a2 + a3)w ai + a2 + a3 1, a41,.公比 q0.若 q = 1，贝

8、U a1+ a2+ &+ a4= 0, In ( &+ 比 + a3)= ln a0,矛盾.若 q 1,贝y a1 + a2+a3+ a4= a1(1 + q+q2+ q3) = a1(1 + q)(1 + q2)0 , In ( a1 + a2+ a3)ln a10,也矛盾. 1q0.从而一=q0, a1a42a1a .同理，一= q a2.故选 B.a2 （2017 全国卷n ）我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了2倍，则塔的顶层共有灯（），a7构成以2为公比的等比数列,381盏灯，且相邻两层中

9、的下一层灯数是上一层灯数的A. 1盏B . 3盏C . 5盏D . 9盏 答案 B 解析 由题意可知，由上到下灯的盏数 a1, a2, a3,a1 f 1 2 - S7= 381, a1 = 3.故选 B.1 212. （2017 北京高考）若等差数列an和等比数列bn满足a1 = b1 = 1, a4= b4= 8,则色b2 =解析 设等差数列an的公差为d等比数列bn的公比为q.T a1 = b = 1, a4= b4=-1+ 3d= 8,8I-1 q3= 8,卩=3,a225a2= 2, b2= 2. 77 = ；= 1.q=- 2.b22-13. （2017 江苏高考）等比数列an的各

10、项均为实数，其前n项和为S.已知8=,86=63,则4a8=答案32解析设等比数列an的公比为q.答案 B当 q = 1 时，S3= 3a1, 85= 6a1= 2S，不符合题意,3I1 - q= 7丨 1-q = 4， qz 1,由题设可得6a1 - q6 63L 1- q = 414,ia1=- 解得i 一lq= 2, a8= a1q7 = 4x 2 7= 32.14. (2016 全国卷I )设等比数列an满足ai+ a3= 10, a2+ a4= 5,贝U aia2an的最大值为答案64设an的公比为q,a1(1 + q2) = 10, a1(q + q3) = 5，解析于是1联立得a

11、1 = 8, q = 2,1 7c4 nc3+ 2 + 1+ + (4 n )*2”-an= 2，- a an= 2= 2 -n += 2-;2 2t1(7、4962卜-0丿+2 = 64，aia2an的最大值为 64.三、模拟小题15. （2018 呼和浩特调研）已知等比数列an的公比q0,且asa? = 4a2, a2= 1,贝U aA 1 B .乎 C y D . 2a6=2,又 q0,所a4an的前n项和，若A. S= 4 3an81= 3 2anC. 8n= 3an 281= 2an 1答案 B解析由题意,2n12322an= 3 二 S=2 = 31 3 = 3 2X3 ，所以 S

12、= 3 2an,故选 B.1218. （2018 唐山期末）在数列an中，已知a1= 1, an+1 = 2an, Sn为an的前n项和，若S +入为等比数列，则入=（A. 1 B . 1 C . 2 D .答案 B得 a2= 2, a3= 4,所以 81= a1= 1, S = 8 + a2 = 3, 83= S + a3= 7.而81 +入为等比数列，所以（3 +入）2= （1 +入）（7 +入），解得入=1 .故选B.解析 由 a1= 1, an+1 = 2an,19. （2019 陕西西安市八校联考 ）设公比为q的等比数列an的前n项和为S,若8=3a2 + 2,S=3a4 + 2，贝

13、y q=答案I或-1解析因为an是等比数列，所以a5a7 = a6= 4a4,所以a6= 2a4, q2以 q=e a,= q =半 ,故选B.16. （2018 安徽皖江名校联考）已知S是各项均为正数的等比数列a2a4= 16, 83= 7,贝y a8 =（）A. 32 B . 64 C . 128 D . 256答案 C解析a2a4= a3= 16, a3= 4（负值舍去），/ a3= aq = 4, 83= 7,2 2 7 3q 4q 4= 0,解得 q= 3或 q = 2,an0, - q= 2,二 a1= 1, - 33= 2 = 128.故选 C.3217. （2018 长沙统考）

14、设首项为1,公比为卫勺等比数列an的前n项和为8n,则下列结论正确的是（）解析公比为q的等比数列an的前n项和为 S,且82= 3比+ 2, S= 3a4+ 2,a S23、82= a4 + a3= 3a4 3a2，即 2q q 3 = 0, q = 2或一1.20. （2018 乌鲁木齐一诊）设正项等比数列an的前n项和为S,则以S,S为前 三项的等差数列的第 8项与第4项之比为答案逼解析 设正项等比数列创的公比为q.当q= 1时，S1= a1, 9= 3a1, S= 4a1 .显然不符合题意，所以qz 1.因为S, Sb, S为等差数列的前三项，所以S4 S3= S3 S,即a4 =a3

15、+ a2,得aq = a2q+a2,所以q2= q+ 1,解得q= 1+5（负值舍去）.所以该等差数列的第22S + 3(S S)8 项与第 4 项之比为 S + 7汁 S)=a1 + 7比+ a3)=a +7a1 q+ 7已22 =1+ 7q + 7q2=a1 + 3(a2+ a3 Jai +Bag + Bag1 + 3q + 3q 1 + 7q+7(q+ 1 = 7q+ 41 + 3q+3(q+ 1 = 3q+ 2精做大题能力练*、咼考大题an1. (2018 全国卷I)已知数列叭满足a1 = 1, nan+1 = 2( n+ 1) a，设5=韦.(1)求 bi, b2, b3 ；判断数列

16、bn是否为等比数列，并说明理由;求an的通项公式.解由条件可得an十弩台n.将n = 1代入，得 a2= 4a1,而 a1= 1,所以 比=4.将n = 2代入，得a3= 3a2，所以a3= 12.从而 bi= 1, b2= 2, b3 = 4.（2） bn是首项为1,公比为2的等比数列.由题设条件可得an + 11 =经，即 bn+ 1= 2 bn ,ri+1n 又b1 = 1 ,所以bn是首项为1，公比为2的等比数列.由可得=2 ，所以an= n -2“ I2. (2018 全国卷川)等比数列a中，a1= 1, a5= 4a3.（1）求an的通项公式;记S为an的前n项和.若Sm= 63,

17、求m解（1）设an的公比为q,由题设得an= qn 1.由已知得q= 4q2，解得q= 0（舍去），q= 2或q= 2. 故 an= （ 2） nT 或 an= 1 .(2)若 an = ( 2) n；贝y Sn= 1 匸 2 13由63得（2）m= 188，此方程没有正整数解.若 an= 2n:贝U S= 2n 1.由 Sm= 63得 2m= 64，解得 rr= 6.综上，m= 6.3. （2017 全国卷n ）已知等差数列an的前n项和为S,等比数列bn的前n项和为Tn， a1 = 1， b1= 1， 82+ b2 = 2. 若a3 + b3 = 5,求bn的通项公式;若T3 = 21,求

18、S3.解 设an的公差为 d，bn的公比为 q，贝y an= 1+（n 1）d，bn= qn 1.由 a2+ b2 = 2 得 d+ q= 3.2(1)由 a3 + b3 = 5 得 2d + q = 6 .（舍去）或C 2|d= 3，联立和解得|q=0因此bn的通项公式为 bn= 2nT. 由 b1 = 1， T3= 21 得 q2+ q 20= 0.解得q= 5或q= 4.当q= 5时，由得d= 8，贝y S = 21.当q = 4时，由得d= 1，贝y S = 6.二、模拟大题4. （2018 陕西质检）已知数列a.的前n项和为$，且S= 4an 3.（1）证明：数列an是等比数列；若数

19、列bn满足bn+ 1= an+ bn（门 N），且4= 2，求数列bn的通项公式.解 （1）证明：当 n= 1 时，a1= 4a1 3，解得 a1= 1.4当 n2 时，an= S Sn- 1 = 4an 4an-1，整理得 an = an-1,4又a1= 1工0，. an是首项为1,公比为-的等比数列.34n 1* an = -，由bn + 1 = an +bn(n N)，得3bn+ 1 bn= 4n- 11釦34n 1r=37 1,133当 n2 时，可得 bn= b1 + (b2 b1)+ (b3 b) + (bn bn1) = 2 +4当n = 1时，上式也成立，所以数列bn的通项公式为 b = 3X-n 1 1.35. （2018 湖北八校第一次联考）已知数列an满足a1= 1, a2= 4, an+2= 4an+1-4an. 求证：an+1-2an是等比数列;求an的通项公式.解 (1)证明：由 an+ 2= 4an+ 1 4