数列考点测试29等差数列

1、考点测试29等差数列高考概览5分、12分,本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 中、低等难度考纲研读1.理解等差数列的概念2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系彳狂刷小题*基础练一、基础小题1 已知an为等差数列，其前 n项和为S,若a1= 1, a3 = 5, S= 64,则n=()A.6答案解析因为 d=2 = 2,所以 S= na1+ = n+n(n 1) = 64,解得 n= 8.故选C.2.在等差数列an中，已知a3+ a8= 10,贝U 3a5

2、 + a7=()A. 10B 18 C 20 D 28答案解析由题意可知 a3+ a8= a5+ a6= 10,所以 3a5+ a7= 2a5 + a5 + a7= 2a5 + 2a6= 20,故选C.3.已知S是数列an的前n项和，且 S+1= S + an+ 3, a4+ a5= 23,则&=()A. 72 B 88 C 92 D 98答案 C解析 由S+1= S+an+ 3得a+1 an= 3,所以an为等差数列，公差为 3,由a4+ a5 =123 得 2a1 + 7d= 23,所以 a1= 1, S8= 8+ x 8x 7X 3= 92.故选 C .4.设S为等差数列 an的前n项和

3、，若a1 = 1,公差d= 2, S+2 S = 24,则k=()A. 8 B 7 C 6 D 5答案 D解析 由 a1 = 1,公差 d= 2，得通项 a = 2n 1，又 Sk+2 Sk= ak+计 ak+ 2,所以 2k + 1 +2k+ 3= 24,解得 k= 5.故选 D.5.已知等差数列an的前n项和为S,若a2+a8+ an = 30,则S3=（）A. 130 B . 65 C . 70 D . 140答案 A解析 设等差数列an的首项为ai，公差为d,由a2+a8 + aii = 30,可得ai+ 6d= 10,故 $3= 1a1+ a13 = 13( a1 + 6d) = 1

4、30 .故选 A .2 2 2 26.设an是公差不为0的等差数列，且a4+ a5= a6 + a?,则该数列的前10项和S0=（）A. - 10 B . - 5 C . 0 D . 5答案 C2 2 2 2 2 2 2 2解析 由 a4+ a5= as + a?得 a4- a6= a? a,即(a4- &)( a4+ a6)= (a? a5)( a?+ a5)，也即2d X2 a5=2dX2a6,由 d工 0,得a6+a5=a1 +a1o= 0,所以 So= 5( a1 +ae)= 0.故选C.7.在等差数列an中，已知S = 1, Sh 4，设 A a17+ a18 + a19+ a?。，

5、则S的值为（）A. 8 B . 9 C . 10 D . 11答案 B解析 由 S= 1,S8= 4 得 S8- S4= 3,所以 S12- S8= 5,所以 Se 812= 7,所以 S= S20-S6= 9.故选 B .&等差数列an的前n项和为S .已知am-1+ an+1-am= 0,圧皿-一 38,则m=答案 10解析 因为am-1 + am+1 - am= 0,数列an是等差数列，所以2am-am= 0，解得am= 0或am= 2.又Sm1 = 38,所以am=0 不符合题意，所以am=2.所以Sm-1 =(m- 1+ a h)= (2 0- 1)am= 38,解得 n= 10 .

6、二、高考小题9 . （2018 全国卷I ）设Sn为等差数列an的前n项和，若3=圧+ S, a1= 2，贝U a512 B . 10 C . 10 D . 12答案解析设该等差数列的公差为 d,根据题中的条件可得3X hx 2 + 号 町=2X 2+ d4X3+ 4x2+ 2 d,解得 d= 3，所以 a5= a1 + 4d = 2 12= 10,故选 B .10 . (2017 全国卷I )记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+ a5= 24, S = 48,则an的公差为（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 8答案 C解析 在等差数列an中，8 =- = 48，贝U a1 +

7、a6 = 16 = a2+ a5 .又 a4+ a5= 24,所以 a4 a2 = 2d= 24 16= 8,得 d= 4.故选 C.11.（2017 全国卷川）等差数列an的首项为1，公差不为0 .若a2, a3, a6成等比数列,则an前6项的和为（A. 24 B . 3答案 A解析设等差数列an的公差为d,依题意得2 2a3= a2 a6,即(1 + 2d) = (1 + d)(1+ 5d),6X5 解得d= 2或d= 0(舍去)，又a1= 1，所以8 = 6X 1 + X ( 2) = 24 .故选A.12. （2016 全国卷I ）已知等差数列an前9项的和为27, a10= 8,贝

8、y a1oo =(A. 100 B . 99 C . 98 D . 97答案 C解析 设 an的公差为d ,由等差数列的前n项和公式及通项公式，得S = 9a1+ 与8d= 27,!a10 = a1+ 9d= 8,ai = 1,解得 1an = a1 + (n 1) d = n 2,所以 awG = 100 2d= 1,=98 .故选C.13 . (2018 北京高考）设an是等差数列，且 a1= 3, a2+ a5 = 36,则an的通项公式为答案an= 6n 3解析 设等差数列an的公差为 d,贝y a2+ a5= a1+d+a1+ 4d= 2a1 + 5d= 6 + 5d= 36,d =

9、 6, an= a1+ (n 1) d= 3 + 6(n 1) = 6n 3 .14 . (2016 江苏高考)已知an是等差数列，S是其前n项和.若 + a2= 3,85= 10,则a9的值是答案 20解析 设等差数列an的公差为d,则由题设可得ja1 + (a1 + d $= - 3, 隔1 + 号 d= 10,解得 F = 3，从而 a9= a1+ 8d= 20 .(31= 4,三、模拟小题15 . （2018 深圳4月调研）设S为等差数列an的前n项和，已知a1 = &= 3,贝U S的值为（）A. 3 B . 0 C . 3 D . 6答案 B解析 解法一：由 S3= 3a2 = 3

10、,得 a2= 1，又 ai= 3，则公差 d= 2,故 S= ai + a2 + as+ a4= 3 + 1 + ( 1) + ( 3) = 0，故选 B.故选B.an的前n项和为S，若a6= 3a4，且解法二:a2+ a3= S3 a1 = 0，贝S= 2( a2+ aa) = 0,16. （2018 青岛质检）已知公差不为0的等差数列S=入a4,贝U入的值为（）A. 18 B . 20 C . 21 D . 25答案 A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.由a6= 3a4,得 a1+ 5d= 3( a + 3d),A.以 a1 = 2d.由 S =入 a4，得 9a1 + 36d =

11、入(at + 3d)，代入 a1 = 2d,得 入=18.故选S117. （2018 沈阳质检一）在等差数列an中，若S为其前n项和，2a7= as+ 5，则的值是（A. 55B . 11 C . 50 D . 60答案解析依题意有a7（a8a7）= 5,即卩a?d = 5（d为an的公差），亦即a6=5.从而S1=11 a6= 11 X 5= 55 .故选 A.18. （2018 安徽江南十校模拟）九章算术是我国古代的数学名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知A, B, C, D E五人分5钱，A, B两人所得与 C D, E三人所

12、得相同，且 A, B, C, D, E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，E所得为（答案 A解析 由题意，设 A所得为a4d, B所得为a 3d, C所得为a 2d, D所得为a d,|5a 10d= 5,22E所得为a,则la 7d=3a 3d,解得a= 3，故E所得为3钱.故选A19. (2018衡阳二模）已知在等差数列an中，1色0时,n的最大值为（）A. 11B . 12 C . 13 D . 14答案a7解析由数列an为等差数列，且它的前n项和S有最大值，可得d0.因为一10,a?a?a6 + a7由一0, a7 1，得0,所

13、以 a6 + a70,所以 a1 + a120,所以 S20,a6a6a6又S13= I3a70时，n的最大值为12,故选B.S20.（2016 合肥质检三）已知数列an的前n项和为S,且数列一为等差数列，若S2= 1,nS2o18 82016= 5，贝y 82016 =答案3027解析依题意，设= xn+ y(x, y R),则字 1 = 2x + y,且 S2o18 S2o16= 2018 x + 2018y(2016 2、 “口1503 c 12503 cx+ 2016y) = 5,联立可解得 x=2016，y=1006.则 Sn= 20n + 7oo8n, S2o18= 3027 精做

14、大题能力练*、咼考大题1. （2018 全国卷n ）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 = 7, &= 15.求an的通项公式;（2）求Sn，并求Sn的最小值.解 设an的公差为d由题意，得3ai + 3d=- 15.由 a1= 7,得 d = 2.所以an的通项公式为 an= 7 + (n 1) x2= 2n 9.由(1)，得 & = nx ( 7) + 叩-1 X 2= n2 8n= ( n 4)2 16.所以当n= 4时，Sn取得最小值，最小值为16.2.（2018 北京高考）设an是等差数列，且a1 = In 2 , 82+ a3= 5ln 2 .(1)求an的通项公式;求 ea

15、1+ ea2 + ean.（1）设an的公差为d.因为 a2+ a3= 5ln 2，所以 2a1+ 3d= 5ln 2 .又 a1= In 2，所以 d= In 2 .所以 an= a1+(n 1)d= nin 2 .rn、rln 2ean/(2)因为 ea1= e= 2, = ean an 1 = eean1所以ean是首项为2，公比为2的等比数列.1 2n所以 ea1 + ea2 + + ean= 2x= 2(2 1) = 1 2.1 23. （2017 全国卷I ）记Sn为等比数列an的前n项和.已知 S= 2, S3 = 6.求an的通项公式;(2)求S，并判断Sn + 1, Sn,

16、Sn+ 2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q,由题设可得十q尸2,5(1 + q+ q2 尸6.解得 q= 2, a1 = 2.故an的通项公式为an= ( 2)n.n+ 1(2)由(1)可得 S=飞1q L 3十(一1)n 33 .2门+3 2门+ 24n由于 Sn+ 2十 Sn+ 1=-十(一1) 3n+ 12n2c=2 3+ ( 1) T = 2Sn,故Sn+1 , Sn, Sn+2成等差数列.二、模拟大题4. (2018 福建龙岩检测 )已知数列an满足(an+1 1) ( an 1) = 3( an an+1), a1 = 2,令 bn = .an 1(1)证明：数列bn是等差

17、数列;求数列an的通项公式.解(1)证明：1an an+ 1an+ 1 1an 1(an + 1 一 1 a n 1 )11=3,.bn+ 1 bn= - 数列bn是等差数列.333(2)由(1)及 b1 = 017= 2= 1,知 bn=n* 3,n+ 53 an 1 =，- an =.n+2n+25. (2018 福建外国语中学调研 )已知等差数列an的公差d0,前n项和为S,且a2 - a3=45 , S = 28.(1)求数列an的通项公式;若bn = F+C(C为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求 C的值.n十C解(1) S = 28,.(a1+ ；4Z = 28,-a1 + a

18、4 = 14 , a2 + a3 = 14,又 a2 a3 = 45,公差 d0,/. a2a3,32= 5,a3= 9,向 + d = 5,a1 = 1,U 2d=9,解得 ld=4,an = 4n 3 (2)由(1)知 S = 2n2-n,=2n2- n b = -Snn n+ c n+ c15b3 = 3+.又bn是等差数列,二 bi + b3 = 2b2,解得c= 2（ C = 0舍去）.6. (2019 河南郑州质检)在数列an中，an+1+ an= 2n-44( n N), & = 23.（1）求 an ；设S为an的前n项和，求 S的最小值.解 (1) V an+1 + an = 2n-44( n N)，an+2 + an+1 = 2( n+ 1) 44，由一，得an + 2 an = 2.又a2 + ai = 2 44, ai =- 23, 82=- 19,冋理得，a3= 21, a4 = 17.故a1, a3, as,是以a1为首项，2为公差的等差数列， 比，a4, a6,是以 比为首项,2为公差的等差数列.从而an =n- 24, n为奇数，In 21, n为偶数.（2）当n为偶数时,S= (ai + a2)+( a3 + a4) + (an-1 + an)=(2 X 1-