数列的通项与数列求和方法的探讨

1、数列的通项与数列求和方法的探讨考纲分析与备考策略:1、考纲分析：（1）了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公 式写出数列的前几项，理解an与Sn的转化关系。(2)（3）（4）2、备考策略（1）对于非等差、等比数列，能够通过变形配凑，构造新的等差、等比数列模型，再运 用等差、等比数列的公式、性质解决问题。能够运用数学归纳法证明数列中的相关问题。 掌握常见的数列求和类型，能够进行数列求和运算。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题 的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通 解通法。对于递推数

2、列问题，要善于从特例入手，有特殊分析归纳一般，即先猜再证，其中 数学归纳法作为一种工具不会单独命题，只会作为一种证明的手段，在应用时要注 意第二步的证明技巧，做到有的放矢，思路鲜明。考点剖析与整合提升：一、求数列的通项公式方法的归纳：求数列通项公式常用观察法、公式法、等差或等比通项公式法、递增关系变形法（累加、 累乘）(3)等。1、公式法：4二丫;n阂，注意n=1 n 2两种情况能合并，则合并，不能合并,2、(1)、则分段表示。常见递推数列通项公式的求法：an+ =an + f （n）型（用累加法）即：an =an+ f(n 1)，ani =an/ + f (n -2),，aa f(1)，将上

3、述 nT个式子相加,可得:an =a1 +f(1)+f(2) + f(3)+L+f( n-1)(2)、an = f (n - 1)an4型(用累乘法)即 an-1可得:=f( n- 2)an2， an-2=f( n- 3归.；，.a f (1)a1 将上述 nT 个式子相乘,an 二 f(1)计(2) f(3)Lf(n-1) 。(3) an = pan4 +q 型(P，q 亡 W) 方法一：待定系数法an = Pan4 +q = an= p（an m），通过待定系数法求出m的值，构造成以（a m ）为首项，以P为公比的等比数列。方法二：迭代法2 2an = pan+q= pQ.工 +q)+q

4、= p 工 + pq +q = P (pa.+q) + pq +q32=P a心 + p Q + pq +q 二=Pna1 + pnN Q + pn； q 十+ p q +q, 而q+p g+p2，q +pn，q是一个等比数列，求出其和，即可求出通项。(4) an = panjL + f (n)型 方法一：待定系数法an +m ”f(n) = p an +m f (n -1)】通过待定系数法确定m的值，转化成以a1 + mf (1)为首项,以P为公比的等比数列。方法二：等式两边同时除以pn有ann pan J.p+卫単，转化为an+ = an + f (n)型。 P两边取倒数有丄an +man

5、 +panan4l+丄P an*转化为an = panj +q型。P二、数列求和的方法(1)公式法：等差数列：s_ n(a1 -2+ an)naJqY) n、=na1 +d ；等比数列：Sn 1和1)(右)171tn 2 1送 k = n(n +1)(2n +1); 心6(2)错位相减法：这是推导等比数列前n项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列an七的前n 项和，其中Qn Hb?分别是等差数列和等比数列。(3) 倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和。(4) 分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数

6、列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。(5) 裂项法常见的裂项法有:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。，f= =(J a - Jb)n(n+1) n n+1 Ja + Jb a-b=cn;n n! =(n +1)!-n!=2, ant an = 3_2三、考题精析例1： (2019年全国高考宁夏卷17)设数列an满足a1(1) 求数列耳的通项公式;(2)令bn = nan，求数列的前n项和Sn解：(I)由已知，当n1时,an 十=(an+ an) +(

7、an an)+(a2 a1) +a1= 3(222 +222 +川 +2)+2= 22(n+)丄而a1=2,所以数列an的通项公式为an=22n(n)由 bn = nan = n ”22n知Sn =1 2+2 23+3 25+111 +n 亡2从而22 = 1” + 2”3+n-得(1-22) Sn =2 +23 +25 +川+22n4 n即sn =(3 n 1)22n+29熟练数点评：本题主要考察由递推关系求数列通项的方法以及运用错位相减法求数列的和。 列的基础知识是解答好本类题目的关键。例2： (2019山东理数18)已知等差数列aj满足：a3=7，a5+ a26，牯丿的前n项和为Sn.(

8、【)求an及Sn ；(n)令bn= 2 (n亡N )，求数列bn 的前n项和Tn . an -1【解析】(I)设等差数列an 的公差为d，因为a3 = 7 , a5中a7 = 26，所以有f1 + 勿=7，解得 ai =30 =2 ,2a +10d =26所以 an =3+ 2(n -1)=2n+1 ； Sn = 3n+l卫咒2 = n2+2n。2(n)由(I)知 an1 1 1= 2n+1，所以 bn= an1 = (2n+1)2 -1 - 41 1 “ 1 1 、 =() n(n+1)4 n n+1111所以Tn=1 (1-丄+丄42 2+卅+ 1-丄)=(1-丄)=_3 n n+14n+

9、14(n+1)即数列bn 的前n项和Tn =。4(n+1)【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例3: (2010四川理数21)已知数列an满足a1 = 0, a2= 2,且对任意 m、n N*都有a2m-1 + a2n -1 = 2am+ n 1 + 2( m n)(I)求 a3, as；(n)设 bn= a2n + 1 a2n-1( n N*)，证明：bn是等差数列；(川)设 Cn= ( an+1 an)qnT(qM0, n N*)，求数列 Cn的前 n 项和 Sn. 解：(1)由题意，零 m= 2, n 1

10、,可得 a3= 2a2 a1 + 2= 6再令 m= 3, n = 1，可得 a5= 2a3 ar* 8= 20(2) 当n N *时，由已知(以n+ 2代替m)可得a2n+ 3+ a2n 1 = 2a2n+ 1 + 8于是a2(n+1)+1 a2(n+1)-1 ( a2n+1 a2n-1) = 8即 bn+1 bn= 8所以bn是公差为8的等差数列(3) 由(1)( 2)解答可知bn是首项为b1= a3 印=6,公差为8的等差数列 则 bn= 8n 2, 即卩 a2n+=1 a?*-1= 8n 2另由已知(令m= 1)可得a2n + 中 a1( n 八 2an=( n 1).那么 an+1 an=a2n 十中 a2n4 _ 2n+ 12=如三-2n+ 12=2n于是 Cn= 2nqnT.当 q= 1 时，Sn = 2 + 4+6+ + 2n=n(n+ 1)当 qM 1 时，Sn = 2 q0+ 4 - q1 + 6 q2+ 2n - qn1 两边同乘以q,可得qSn = 2 q1+ 4 - q2 + 6 - q3+ 2n - qn.上述两式相减得(1 - q)Sn= 2(1 + q