分数的巧算教师版(最新整理)

1、分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：第 42 页 共 42 页计算： 1+ 2+ 3+ 4+ + 2006 + 20072008200820082008200

2、82008分析：这道题中相邻两个加数之间相差项+末项）项数2 来计算。12008，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首1+ 2+ 3+ 4+ + 2006 + 2007200820082008200820082008=（ 12008 2007 ）200722008=1003 12二、图解法： 计算： 111111248163264分析：解法一，先画出线段图： =1=从图中可以看出： 111111163 2481632646464解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数 164，就能凑成 132，依次向前类推，可以求出算式之和。111111 24

3、8163264 （）= 111111112481632646464 （+）= 111111124816323264= 1 2 1264= 6364解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大 2 倍，然后两式相减，消去一部分。 设 x= 111111248163264 那么，2x=（ 1111 1 1）22=1+ 148163264 11112481632用得 （ ）2xx=1+ 111111111112x= 6364 =所以， 148163221111163 4816326424816326464三、裂项法1 、 计 算 ： 1 + 1 1 1 1 1 1

4、2612203090110分析： 由于每个分数的分子均为 1，先分解分母去找规律：2=12，6=23，12=34，20=45，30=56，110=1011，这些分母均为两个连续自然数的乘积。11111111111111再变数型：因为=1，= ，= ，=- 21 2262 323123 43411010 11 101 。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来11方便。1111111+2612112030111901101111=1 -22=1 11133491010 11= 10112、计算：11 515 919 13129 33133 37=1 ，=

5、 ，= =，=。分析：因为 41411 411 411 411 1 555 9599 1391329 33293333 373337所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大 4 倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。11 5 15 9 19 13129 33133 37=（ 41 5 45 9 49 13429 33433 37）4111111111=（1 ）455991329333337=（1 137）4= 9373、计算：21 4 4 4 315354 46399 4143 4 195425541111分析：因为=4 =4=4（1 ）,=4( ),331 3324 =4 1=4 111115

6、154 =4 1=43 51352=4( )111 ,35355 75724255=41255=4115 17=4( 1 115171).2所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。21 4 4 4 315354 46399 4143 4 195425511111111=214（1 + + ）33557=212(1 1 )1715172=19 2174、计算： 1511192997019899261220309702990011151分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少 1.这样可变形为：=1=1，=1221 266=1 1， 11 =1 1 =1 1， 19 =1 1 =1 1，

7、 9899 =1 1=11.然2 312123 420204 59900990099 100后再裂项相消。1511192997019899261212030197021990011=（1）（1）（1）(1)(1)261111122019900=199()=99(261 11220 1 199001)1 2=99(1 12 3)3 44 599 100=9911001005、计算：111 + 2+11 + 2 + 3+11 + 2 + 3 + 4+11 + 2 + 3 + . + 100分析：可以看出，第一项的分母为 1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是 100 个数相加且都是

8、等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。再裂项求和。解法一：111 + 2+11 + 2 + 3+11 + 2 + 3 + 4+11 + 2 + 3 + . + 100= 1 2 +1 21+(1 + 2) 221+(1 + 3) 321(1 + 4) 42+ . +1(1 + 100) 100 2= 2+1 22+2 32+3 424 5+ . +2100 101=2（1=1 991011 ）101解法二：原式=2+1 21 2+2 (1 + 2)1 2+2 (1 + 2 + 3)1 22 (1 + 2 + 3 + 4)+ . +1 2=2 (1 + 2

9、 + . + 99 + 100)2+1 22+2 323 4+ . +2100 101=2（1+1 21+2 313 4+ . +1）100 101=2（1=1 991011 ）1016、计算：1+1 2 312 3 4+13 4 5+ 198 99 100分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：11 2 3= 1 ( 21-1 21 ) ，2 312 3 4= 1 ( 21-2 313 4) ，198 99 100= 1 ( 2198 99-199 100) ，此时，可消中间，留两头进行巧算。1原式=（21-1 212 31）（21-2 313 41）+（2198 99-1）99 1

10、001=（21=（1-1 21-12 311-2 3）13 4198 99-1）99 1002= 4949198001 299 100四、分组法：计算，12004+ 22004 32004 42004 52004 62004 72004 82004 92004 102004 1999 2000 2001 20022004200420042004分析：算式中共有 2002 个分数，从第二个分数为止，共有 500 组，每组计算结果都是 0.22004开始依次往后数，每四个分数为一组，到 20012004原式=12004+（ 22004 32004 42004 52004）（62004 72004

11、82004 92004） 102004+（1998 1999 2000 2001 ） 200220042004200420042004= 12004+ 20022004= 20032004五、代入法：计算（1+ 1 + 1 + 1 ）（ 1 + 1 + 1 + 1 ）（1 1 + 1 + 1 + 1 ）（ 1 + 1 + 1 ）23423452345234分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。设 1 + 1 + 1 =a， 1 + 1 + 1 + 1 =b，则2342345原式=（1+a）b(1+b)a=babaab=ba=( 1 + 1 + 1 + 1 )(

12、1 + 1 + 1 )2345= 15234热点习题计算：1、 1 +3 + 5 + 7+ 9 + 11 + 13 【1】494949494949492、1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 -1 【 1 】2481632641281283 、 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 【 6 】261220304274、11988 1989+11989 1990+11990 1991+ . +1+2007 200812008 2009【 1-198812009=3】5705564、113 15+115 17+117 19+ . +135 37+137 39【 1 】396、2

13、+ 3 1 + 5 1 + 7 1 + 11 1 + 13 1 【41 5 】612203042147、 1 + 5 + 11 + 19 + 29 + 41 + 55 【6 1 】26122030425688、 4 + 16 + 36 + 64 + 100 + 144 + 196 + 256 + 324 + 400 【1010 】315356399143195255323399219、1 - 5 + 7 - 9+ 11 - 13 + 15 - 17 + 19 - 21612203042567290110【原式=1 2 + 3 3 + 4 4 + 5 + 5 + 6 - 6 + 7 + 7 +

14、8 8 + 9 + 9 + 10 10 + 11 2 33 44 55 66 77 88 99 1010 11=1（2+2 332 3）+（33 4+43 4）(4+4 554 5)+（1010 11+11）10 11=1( 1 + 1 )+( 1 + 1 )( 1 + 1 )+( 1 + 1 )324354=1 1 - 1 = 9 】21122111010 、 1+ 2+ 3+ 4 5 6 7 8 9 10 1995 1996200220022002200220022002200220022002200220022002 1997 1998 1999 2000 2001 2002200220

15、022002200220022002【从第三个分数32002开始依次往后数，每 8 个分数为一组，到最后一个分数 2002 为止，共有 250 组，2002每组计算结果都是 0.所以，原式=12002+ 22002= 3】200211、(1+ 1 + 1 + 1 + 1 )（ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ）(1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )( 1 + 1 + 1 + 1 )234523456234562345=b，原式=a（b+）（a+）b=】【设 1+ 1 + 1 + 1 + 1 =a， 1 + 1 + 1 + 11112345234566612、 1 + (1 + 2)

16、 + ( 1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) +（ 1 +2 + 3+ . + 18 + 19 ）23344455552020202020111111【原式=+1+1+2+2+9=（+9）192=95】22222213、2001 年是中国共产党建党 80 周年， 1921 是个有特殊意义的分数。如果下式大于 1921 ，那么 n最小等于多少？200120011+1 21+2 313 4+ . +1n (n + 1)【1 1 1921 ，n 24 1 】n + 12001814、1 -21 (1 + 2)-3(1 + 2) (1 + 2 + 3)-4(1 + 2 + 3)

17、(1 + 2 + 3 + 4)10(1 + 2 + 3 + . + 9) (1 + 2 + 3 + . + 10)【先对分母用等差数列求和，再整体裂项求和。原式=14-1 2 342 3 4-43 4 549 10 111=14(211-1 2112 311)+(211-2 313 41)（219 10-1）10 11=14（21 2- 10 11）=】5515、1+22 - 11+42 - 1162 - 1+ . +11002 - 1【利用公式 1= 1 1-1 变形各项。原式= 1 1-1 = 50 】a2 - 12 a - 1a + 12 2 - 1100 + 1101（二）分数巧算（复

18、杂的裂项型运算）复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸， 差数除以 n。n 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解

19、。一、整数裂项(1) 1 2 + 2 3 + 3 4 + . + (n - 1) n = 1 (n - 1) n (n + 1)3(2)1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + . + (n - 2) (n - 1) n = 1 (n - 2)(n - 1)n(n + 1)4【例 1】 计算：1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 +l+ 99 101【巩固】计算： 3 5 + 5 7 + 7 9 +l+ 97 99 + 99 101【例 2】 计算10 16 22 +16 22 28 +l+ 70 76 82 + 76 82 88【例 3】 计算 11+22+33+9999+100

20、100【巩固】3 3 3 + 4 4 4 +l+ 79 79 79【例 4】 计算：111+ 2 2 2 + 3 3 3 +l+ 99 99 99 +100 100 100【例 5】 1+ (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + (1+ 2 + 3 + 4) +l+ (1+ 2 + 3 +l+100)【巩固】3 + (3 + 6) + (3 + 6 + 9) +l+ (3 + 6 +l+ 300)二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a + b =a+ b= 1 + 1 （2） a2 + b2 = a2+ b2= a + b a ba ba bbaa ba ba

21、 bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 6】 填空：5 = 1 + ( ) ，627 = 1 + ( )，1239= 1204+ ( )11 = 1 + ( )， 13= 1 + ( ) ，15 = 1 + ( )305426567【巩固】计算：1- 5 + 7 - 9+ 11 - 13 + 15 - 17 + 19612203042567290【例 7】 5 + 6 - 6 + 7 + 7 + 8 - 8 + 9 + 9 + 10 5 66 77 8

22、8 99 10【巩固】 3 + 6 + 5 + 7 + 9+ 11 + 1357612203042【例 8】 计算： 1 + 3 + 2 + 5 + 7 + 9+ 10 + 11 + 19 =3457820212435【巩固】 1 + 2 + 3 + 7 + 9+ 11 + 17 + 253571220283042【 例 9 】 1 + 1 + 1+ 1 + 1+ 20 + 10+ 26 + 38 + 27233031415111912012312488【巩固】 35 - 49 + 63 - 77 + 91 - 105 - 13 1 61220304256 12 + 2222 + 32182

23、+ 192192 + 202【例 10】+1 22 318 1919 202【巩固】113- 12 + 2213 + 23+ 12 + 22 + 3213 + 23 + 33- 12 + 22 + 32 + 4213 + 23 + 33 + 43+-12 + 22 + 26213 + 23 + 263(22 + 42 + 62 + . + 1002 ) - (12 + 32 + 52 + . + 992 )1 + 2 + 3 + . + 10 + 9 + 8 + . + 1【利用a2 - b2 = (a + b)(a - b)变形，分母=100，分子=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）

24、（10099）（100-99）=3711199=10150,原式= 101 50 = 50 1 】1002课堂测试1、1 4 + 4 7 + 7 10 +l + 49 52 =2、 计算：1 - 5 + 7 - 9+ 11 - 13 + 15 - 17 + 191 + 1 + 7 + 9+ 8 + 17 + 561220304256729045122015301212 + 223 、 1 2+ 22 + 322 3+l+20042 + 200522004 2005+ 20052 + 200622005 20065、1+ 11+ 1 l1+122 -1 32 -1 992 -1 作业1、11+

25、2 2 + 3 3 +l+ 50 502、2 4 6 + 4 6 8 +l+ 96 981003 、 1 + 2 + 3 + 7 + 9+ 11 + 21 + 3135712202840564、(1- 1 ) (2 - 2) (3 - 3) l(8 - 8) (9 - 9 )2349105、1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 l 1+ 2 + 3 +l+ 5022 + 32 + 3 + 42 + 3 +l+ 50（三）分数巧算（裂差型运算）分数速算、巧算常用的方法1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行

26、解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环 小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式“裂差”型运算一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂

27、项的计算题时， 要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b ，那么有 1=1 ( 1 - 1) a bb - a ab2、对于分母上为 3 个或 4 个自然数乘积形式的分数，即：11n (n + 1) (n + 2) ， n (n + 1) (n + 2) (n + 3) 形式的，我们有：1= 1 1-1 n (n + 1) (n + 2)2 n (n

28、 + 1)(n + 1)(n + 2)1= 1 1-1 n (n + 1) (n + 2) (n + 3)3 n (n + 1) (n + 2)(n + 1) (n + 2) (n + 3)或1= 1 1-1 n (n + k ) (n + 2k )2k n (n + k )(n + k )(n + 2k )1= 1 1-1 n (n + k ) (n + 2k ) (n + 3k )3k n (n + k ) (n + 2k )(n + k ) (n + 2k ) (n + 3k )3、对于分子不是 1 的情况我们有：k= 1 -1n(n + k ) nn + k h= h 1 -1n (

29、n + k )k nn + k 2k=1-1n (n + k )(n + 2k )n (n + k )(n + k )(n + 2k )3k=1-1n (n + k )(n + 2k )(n + 3k )n (n + k )(n + 2k )(n + k )(n + 2k )(n + 3k )h= h 1-1n (n + k )(n + 2k )2k n (n + k )(n + k )(n + 2k ) h= h 1-1n (n + k )(n + 2k )(n + 3k )3k n (n + k )(n + 2k )(n + k )(n + 2k )(n + 3k ) (2n)21 11(

30、2n -1)(2n +1) = 1+ 2 2n -1 - 2n +1 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1） 分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3） 分母上几个因数间的差是一个定值。难点：1、分子不是 1 的分数的裂差变型；2、分母为多个自然数相乘的裂差变型。三、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个

31、9，其中 n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧a ab ab1ab abc - a0.a =9 ；0.ab =99 ；0.0 ab =99 10990 ；0.abc =990，四、整数裂项(1) 1 2 + 2 3 + 3 4 + . + (n - 1) n= 1 (n - 1) n (n + 1) 3(2)1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + . + (n - 2) (n - 1) n = 1 (n - 2)(n - 1)n(n + 1)4一、用裂项法求1n(n +1)型分数求和分析：1n(n +1)型（ n 为自然数）

32、因为 1 -1n +1 -n=1（n 为自然数），所以有裂项公式：1= 1 -1 nn +1n(n +1)n(n +1)n(n +1)n(n +1)nn +1【例 1】填空：1-=（1） 1（2） 1=（3）1 - 1 = （4） 1=21 2232 3（5）1=59 60（6） 1 - 1 =5960（7）1=99 100（8） 199- 1 =100【 巩 固 】 1 + 1 + 1 + 1 + 1=。 1 22 33 44 55 6【例 2】 计算： 1+1+ . +1 10 11 111259 60【巩固】计算：1+1+l+1+1+1 198519861986 198719951996

33、1996 19971997【例 3】 计算： 1 + 1 + 2 + 2 + 4 =。26153577【巩固】 1 + 1 + 1+ 1 + 1+ 1 + 1 + 1 =。612203042567290【例 4】 计算： 1 - 1 - 1 - 1- 1 - 1- 1 - 1- 1 。2612203042567290【巩固】计算：11 + 2 1 + 3 1 + 4 1 +l + 20 1261220420【例 5】计 算 ： 2008 1 + 2009 1 + 2010 1 + 2011 1 + 2012 1 =。1854108180270l【巩固】计算： 1 + 5 + 11 + 19 + 29 + 9701 + 9899 =26