排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

1、排列组合应用题的类型及解题策略商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公一.处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成益广告，则共有种不同的播放方式(结果用的是一件什么事(审题) 有序还是无序分步还数值表示).是分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路：直接法，间接法。(2) 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置 优先考虑。特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22 A44=48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，

2、即先组合 再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基本题型及方法：1. 相邻问题列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决(1)、全相邻问题，捆邦法特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种 例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在解法叫做特殊优先法。起的不同排法有(C )种。例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的A) 720 B) 360 C) 240 D) 120说明：从上述解法可以看出，所谓 捆邦法”，就是在 解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将 相邻元素视作一个矢”元素。(2)、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的

3、演 出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同 的排法,解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有 6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排 4个舞蹈节目有A；种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目 不得相邻的排法为A；A；种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(A) 1800(B) 3600(C) 4320(D) 5040解：不同排法的种数为aaI=3600,故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某 些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以 先将其它元素排好，再将特殊

4、元素插入，故叫插空法(3) .不全相邻排除法，排除处理例5.五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：As启启或3A；A；A；72例6.有两排座位，前排 个座位，后排12个座位, 现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示A2 5 A = 30种不同排法。解二：一=304!例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去, 的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（可表示不同信号的种数是（）（用数字作

5、答）。A)210 个解：5面旗全排列有A种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法故有嘉10B） 300 个a5a5 300 故选（B）24、多元问题，分类法D）600个解:C)464个例10.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边例8.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙 必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙 远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是共有600种不同的选派方案.例11:设集合I1,234,5。选择I的两个非空子集

6、A（用数字作答）和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、选择方法共有丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有A. 50 种 B . 49 种C . 48 种D . 47 种总计有49种，选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为 1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于 该盒子的编号，则不同的放球方法有 AA. 10 种 B. 20种C. 36 种 D. 52 种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互 不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例13、从6名运

7、动员中选出4名参加4X100米接力 赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不 同的参赛方法？ 252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排 两节课。(1)若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法?(2)若要求数学、物理、化学不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排)，一共有多少种不同的排课方例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后 每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同 的分配方式有(BA) 6 种 B) 9 种 C) 11 种 D) 23 种说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规

8、定排入, 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法 例18.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三的总数是.（用数字作答）。（答：78种）项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集案共有合中求元素的个数的公式来求解。(A) 108 种(B) 186 种(C) 216 种(D) 270 种6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数

9、，合理的选派方案共有a3 a3=186种，选B.个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法例19.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.A)CsCiB) A；C?CsC)駅现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛贝y入解：此题分两排座可以看成是一排座， 故有 A8种座法。选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一名新队员的排法有种（以数作答）排考虑，再分段处理。【解析】两老一新时，有C3 c2a； 12种排法；两新一老时，有C；C： 36种排法，即共有48种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分 类讨论

10、思想.例20.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有B说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是 需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明 确且易于计算的情况。&部分符合条件淘汰法 例21.四面体的顶点各棱中点共有 W个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有D) 141种A) 150 种 B) 147 种 C) 144 种解：10个点取4个点共有C；o种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面,这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个,故符合条件不共面的平面有Cio 4C；6 3 141说明：在选取总数中,只

11、有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数,即为所求。9.分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组 合处理例22o有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2, 3, 4。上述问题丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上各有多少种不同的分法?述问题各有多少种不同的分法？ （ 1）此题是定额分配问分析：（1）此题属于分组问题:先取3个为第一组,题，先让甲选，有C92种；再让乙选，有C3种；剩下的给有C：种分法，再取3个不第二组,有C：种分法，剩下3丙，有C4种，共有C；C；C44种不同的分法（2）此题是随机个为第三组，有C3种分法

12、，由于三组之间没有顺序，故分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆,分配问题:定额分配，组合处理；有CAC3种分法。（25（几共有沁种分法因 三组个数各不相同，故不必再除以 a3。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型 活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组 方法?随机分配，先组后排。例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本, 再将三堆分给三个人，共有C；C；C：.A；种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰 好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多 少种可能？解：第5次必测出一次品

13、，余下3件次品在前4次 被测出，从4件中确定最后一件次品有C1种方法，前4 次中应有1件正品、3件次品，有C6C3种，前4次测试 中的顺序有A4种，由分步计数原理即得：C4（ CeC； ） A4 =576。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限 制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？ cldcl 902.将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1 本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？ C1oC3C：C114!盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例:例26。求

14、方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：103!个相同的小球分给三人，每人至少 1个，有多少种方例25某外商计划在四个候选城市投资 3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）A.16 种B.36种C.42 种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、法？）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成 9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分2个项目，此时有C3 A 36，二是在在两个城市分别别为x.y.z之值（如图）投资1,1，1个项目，此时有A 24，共有OOO OOO OOO

15、Oc3 A a43=60，故选（D）则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系， 故解的10.隔板法：隔板法及其应用技巧个数为C； 36个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明:技巧一：添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到X、y、Z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给X、y、Z各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为 C；2=66 个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为

16、如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例28.将20个相同的小球放入编号分别为1, 2, 3, 4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析1:先在编号1, 2, 3, 4的四个盒子内分别放0, 1, 2, 3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成 4组，每组至少1个，由例25知有 C；3 =286种方法。分析2:第一步先在编号1, 2, 3, 4的四个盒子内分别放1, 2, 3, 4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子里，由例26知有 =286 种方法。【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例 2

17、5、例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层 宣传演出，准备的节目表中原有 4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添 2个小品节目，则不同的排列方法有多少种? 能被5整除的数的特征：末位数是 0或5。分析：记两个小品节目分别为 A B。先排A节目。根 能被25整除的数的特征：末两位数是25, 50, 75。据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。个球分成两堆，由例26知有c5种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数, 例30在123,4,5

18、这五个数字组成的没有重复数字的三同上理知有C1种方法。故由乘法原理知，共有C；c630位数中，各位数字之和为奇数的共有种方法。(A) 36 个(B) 24 个(C) 18 个11.数字问题（组成无重复数字的整数）(D) 6 个 能被2整除的数的特征：末位数是偶数;不能被解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1） 3个数2整除的数的特征：末位数是奇数。字都是奇数，有a3种方法（2） 3个数字中有一个是奇数,能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数;有c3a3，故共有A3 + cIa3 = 24种方法，故选B能被9整除的数的特征：各位数字之和是 9的倍数。例31。用数字0, 1, 2, 3,

19、 4组成没有重复数字的五 能被4整除的数的特征：末两位是 4的倍数。位数，则其中数字1, 2相邻的偶数有24个（用数字作答）.12.分球入盒问题例32:将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下,本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有c5 （C54 C；）（洋+空2 41种A 2 A 2 小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 各有多少种投放方法?00 00,有C4种方法小球不同，盒子不同，盒子不空小球相同，盒子不同，盒子可空解：将小球分成3份，每份1,1, 3或1, 2, 2 解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7放在3个不同的盒子中，即先分堆,后分配。有个球）。

20、7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2（淳+逬I）?a3A 2A 23r 22块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有c；=21解：分步插板法。小球不同，盒子不同，盒子可空解：35种小球相同，盒子相同，盒子不空 解:5个相同的小小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将球分成3份即可，有3，1，1； 2, 2，1。个不同小球分成3份，分法为：1, 1, 有 c5c2 + C1CL=25 种A 2 A 23； 1, 2, 2。小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将5个相同小球分成1份,2份，3份即 小球不同，盒子相同，盒子可空可。分法如下：5, 0, 0;4 , 1, 0; 3

21、, 2, 0;3 , 1, 部分(如图)。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种例34、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个1； 2 , 2, 1。例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内,方法有120种？一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，贝y不同的栽种球全部放入盒子内例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使(1)共有几种放法？(答：44 )(2)恰有1个空盒,同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不有几种放法？(答：C4A3 144 )同的染色种数为420(3)恰有1个盒子内有2个球,有几种放法？(答:同上C42a3 144 ) (4)恰有2个盒子不放球，有几种

22、放法?（答：CX C84 ）13、涂色问题：(1)用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色?(2)以涂色先后分步，以色的种类分类。巧解排列组合的21种模型A、1440 种B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式,解析：除甲乙外，其余5个排列数为a5种，再用甲乙去插6并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解 个空位有A种，不同的排法种数是 駅 3600种，选B.排列组合的21种模型.3.定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持1.相

23、邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个定的顺序，可用缩小倍数的方法.组，当作一个大元素参与排列.例3. A, B,C, D, E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B边（A, B可以不相邻）那么不同的排法种数是在A的右边，那么不同的排法种数有A、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种A 60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A424种，答案：D. 的排法只是5个

24、元素全排列数的一半，即-Af 60种，选B.24.标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个2.相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述 几个元素的空位和两端.元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次 即可完成.例4.将数字1, 2，3, 4填入标号为1, 2，3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不 同的排法种数是A 6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种

25、方法，第二步C1：c8c4 种A把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第 三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X 3X 1=9种填法,答案：A.6.全员分配问题分组法：例6.( 1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至5.有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有A种，故共有c2a336种方法.例5.( 1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 1260 种 B 、20

26、25 种C 、2520 种 D 、5040说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用 先分组再分配.(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本,解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人 中选1人承担乙项任务，第三步从另外的 7人中选1人承担丙项 任务，不同的选法共有Cbcic；2520种，选C.不同的分法种数为A、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案：B.(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若 每个路口 4人，则不同的分配方案有A、C1；C：C：种B 、3C1：C；C4 种C 、C12C8 A3 种7. 名额分

27、配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名 额，有多少种不同分配方案?解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个 相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空 位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C； 84种.8. 限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部 四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不 到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类, 有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加

28、，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以 共有3/若乙参加而甲不参加同理也有3民种；若甲乙都参 加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两 个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为盘 3A? 3A 7A4088 种.9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计例9. (1)由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有、464 种 D 、600 种A、210 种 B 、300 种 C解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有足、a；Aa

29、；、A3 兄冗尼和Na?个，合并总计300个，选B.(2)从1, 2, 3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,L 98共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做q A 1,2,3,4,L ,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有Ci4 ,从A中任取一个，又从q A中任取一个共有C；4C；6,两种情形共符合要求的取法有C： CuCse 1295 种.(3)从1, 2

30、, 3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析：将I 1,2,3L ,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,L 100 ;能被4除余1的数集B 1,5,9,L 97 ,能被4除余2的数集C 2,6,L ,98 ,能被4 除余3的数集D 3,7,11,L 99 ,易见这四个集合中每一个有 25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合 要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要 求；所以符合要求的取法共有 cfs C25C25 C；5种.10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集

31、合中求元素个数公式n(AUB) n(A) n(B) n(AI B).例10.从6名运动员中选出4人参加4 X 100米接力赛，如果 甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列, A=甲跑第 一棒的排列, B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:n(l) n(A) n(B) n(A B)a| Af 252 种.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先 排这个或几个元素；再排其它的元素。例.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不 站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有 冗种，4名同

32、学在其 余4个位置上有种方法；所以共有 冗72种.12. 多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例12. (1) 6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素, 那么不同的排法种数是A、36 种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共720种，选C .(2) 8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某 2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排 2个,有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A：种，其余

33、5个元素任排5个位置上有A?种，故共有5760种排法.13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合元素不能分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少 要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140 种 B 、80 种 C 、70 种 D 、35 种解析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型 号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有d C： C| 70 种，选.C解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲 型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 c|c； C5C4 70 台，选C.14. 选排问题先取后排：从几类元素

34、中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法例14. (1)四个不同球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C：种，“再排”在四个盒中每次排3个有A：种,故共有C：A： 144种.(2) 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混 和双打练习有中排法，故共有c/caI 120种.15. 部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求例15. (1)以

35、正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种 B 、64 种 C 、58 种 D 、52 种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 C：四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C； 12 58个.(2)四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、150 种 B 、147 种 C 、144 种 D 、141 种解析：10个点中任取4个点共有Cw种，其中四点共面的有 解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A：种，然后三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为c6， 在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右

36、边，有2种方式,故不同的安排方式24 25 7 68种不同站法.四个面共有4C：个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6个.所以四点不共面的 情况的种数是Co 4C； 3 6 141种.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 丄Amm种不同排法.16. 圆排问题线排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位17. 可重复的排列求幕法：允许重复排列问题的特点是以元素置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列,为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置,而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?通排列:a1,a2,a3L ,an； a?,83,84,L ,an,L ;an,a,L , a. 1 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有一种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的 n 1元素全排 n解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到 车间有7种不同方案，