勾股定理单元检测试题(最新整理)

1、勾股定理单元检测试题邮编：518052地址：深圳市南ft区常兴南路荔香中学数学组作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）一、选择题（每题 3 分,共 18 分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）（a）1, 2, 3（b） 2, 3, 4（c） 3, 4, 5（d） 4, 5, 6解：因为32 + 42 = 52 ，故选（c）2. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13 ，一条直角边的长为12 ，那么这个直角三角形的面积是（）（a） 30（b） 40（c） 50（d） 60132 -122解：由勾股定理知，另一条直角边的长为面积为 1 12 5

2、 = 30 .2= 5 ，所以这个直角三角形的3. 如图 1,一架 2.5 米长的梯子 ab ,斜靠在一竖直的墙 ac 上,这时梯足 b 到墙底端c 的距离为 0.7 米,如果梯子的顶端下滑 0.4 米,则梯足将向外移()(a)0.6 米(b)0.7 米(c)0.8 米(d)0.9 米解:依题设 ab = a1b1 = 2.5, bc = 0.7 .在 rtdabc 中,由勾股定理,得ab2 - bc 22.52 - 0.72ac = 2.4由 ac = 2.4, aa1 = 0.4 ,得 a1c = ac - aa1 = 2.4 - 0.4 = 2 .在 rtda1b1c 中, 由勾股定理,

3、得a b 2 - ac 21 112.52 - 22b1c = 1.5图 1所以 bb1 = b1c - bc = 1.5 - 0.7 = 0.8故选(c)4. 直角三角形有一条直角边的长是 11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）（a）132（b）121（c）120（d）以上答案都不对解：设直角三角形的斜边长为 x ,另外一条直角边长为 y ,则 x y .由勾股定理,得 x2 = y2 +112 .因为 x, y 都是自然数，则有( x + y )( x - y ) = 121 = 1211 .所以 x + y = 121, x - y = 1.因此直角三角形的周长为 121+11

4、=132.故选（a）5. 直角三角形的面积为 s ， 斜边上的中线长为 d ， 则这个三角形周长为d 2 + sd 2 - s（）（a）+ 2d（b）- d（c） 2+ 2d（d） 2+ dd 2 + sd 2 + s解:设两直角边分别为a, b ,斜边为c ,则c = 2d , s = 1 ab .2由勾股定理,得a2 + b2 = c2 .d 2 + s所以(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = c2 + 4s = 4d 2 + 4s .d 2 + s所以a + b = 2故选（c）.所以a + b + c = 2+ 2d .6. 直角三角形的三边是 a - b, a, a

5、+ b ,并且 a, b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()（a）61（b）71（c）81（d）91解:因为a + b a a - b .根据题意,有(a + b)2 = (a - b)2 + a2 .整理,得a2 = 4ab .所以a = 4b .所以a - b = 3b, a + b = 5b .即该直角三角形的三边长是3b, 4b, 5b .因为只有 81 是 3 的倍数.故选（c）图 2二、填空题（每题 3 分,共 24 分）7. 如图 2，以三角形dabc 的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为.解:根据题意，有s1

6、+ s2 = s3 ，即1 a 21 b 21 c 22p 2 + 2p 2 = 2p 2 .整理,得a2 + b2 = c2 .故此三角形为直角三角形.8. 在 rtdabc 中, a = 3, c = 5 ,则边b 的长为.解：本题在 rtdabc 中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论： 当c 为直角时, c 为斜边，由勾股定理,得a2 + b2 = c2 ，c2 - a252 - 32 b = 4 ；当c 不为直角时, c 是直角边， b 为斜边，由勾股定理，得a2 + c2 = b2 ，a2 + c232 + 52 b =34.34因此,本题答案为 4 或 .9. 如图 3,有两棵

7、树,一棵高 8 米,另一棵高 2 米, 两树相距 8 米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 米.解 ： 由 勾 股 定 理 ， 知 最 短 距 离 为图 3ac 2 + ( ab - cd)282 + (8 - 2)2bd = 10 .10. 如图 4，已知dabc 中， acb = 90 ，以dabc 的各边为边在dabc 外作三个正方形， s1 , s2 , s3 分别表示这三个正方形的面积， s1 = 81, s2 = 225 ， 则s3 =.解：由勾股定理，知 ac 2 + bc 2 = ab2 ，即 s + s = s ，所以s3 = 114 1231011.

8、 如图 5,已知， rtdabc 中， acb = 90 ，从直角三角形图 4两个锐角顶点所引的中线的长 ad = 5, be = 2，则斜边ab 之长为.解： ad 、 be 是中线， 设 bc = x, ac = y ， 由已知，5ad = 5, be = 2， y 2图 5 x 2所以 x2 + = 40, y2 + = 25. 两式相加， 2 2 4得 5 (x2 + y2 ) = 65 ，所以 ab =x2 + y252= 2 13.12. 如图 6， 在长方形 abcd 中， dc = 5cm ,在dc 上存在一点 e ,沿直线 ae 把daed 折叠，使图 6点 d 恰好落在 b

9、c 边上，设此点为 f ，若dabf 的面积为30cm2那,的面积为.解:由折叠的对称性,得 ad = af , de = df .么折叠daed由sdabf= 1 bf ab = 30, ab = 5 ,得 bf = 12 .2ab2 + bf 2在 rtdabf 中,由勾股定理,得 af =设 de = x ,则 ec = 5 - x, ef = x, fc = 1 .= 13 .所以 ad = 13 .在 rtdecf 中, ec 2 + fc 2 = ef 2 ,即(5 - x)2 +12 = x2 .解得 x = 13 .5故sdade= 1 ad de = 1 13 13 = 16

10、.9 cm2 .()22513. 如 图 7， 已 知 ：dabc 中 ，bc = 2 ， 这 边 上 的 中 线 长ad = 1 ，3ab + ac = 1+，则 ab ac 为.解:因为 ad 为中线，所以 bd = dc = ad = 1,于是1 = c, 2 = b .但1+ c + 2 + b = 180 ,故2 (1+ 2) = 180, 1+ 2 = 90 ,即bac = 90 又.3ab + ac = 1+,两边平方,得ab2 + ac 2 + 2 ab ac = 4 + 2 3 .而由勾股定理,得 ab2 + ac 2 = 4 .所以2 ab ac = 4 .故 ab ac

11、= 2 .图 7即 ab ac = 2 .14. 在dabc 中, ab = ac = 1, bc 边上有 2006 个不同的点 p1 , p2 ,l p2006 ,iiii122006记m = ap2 + bp pc (i = 1, 2,l2006) ,则m + m+lm=.解:如图 8,作 ad bc 于 d ,因为 ab = ac = 1,则 bd = cd .由勾股定理,得 ab2 = ad2 + bd2 , ap2 = ad2 + pd2 .所以ab2 - ap2 = bd2 - pd2= ( bd - pd)( bd + pd) = bp pc .所以 ap2 + bp pc =

12、ab2 = 12 .图 8122006因此m + m+lm= 12 2006 = 2006 .三、解答题（每题 10 分,共 40 分）15. 如图 9，一块长方体砖宽 an = 5cm ，长 nd = 10cm ， cd 上的点 b 距地面的高 bd = 8cm ，地面上 a 处的一只蚂蚁到 b 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图 9，在砖的侧面展开图 10 上，连结 ab ，则 ab 的长即为 a 处到 b 处的最短路程在 rtdabd 中，因为 ad = an + nd = 5 +10 = 15 ， bd = 8 ， 所以 ab2 = ad2 + bd2 = 152 + 82

13、= 289 = 172 所以 ab = 17 (cm) 因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm 图 9图 1016. 如图 11 所示的一块地， adc = 90 ， ad = 12m ， cd = 9m ， ab = 39m ，bc = 36m ，求这块地的面积s 解：连结 ac ，在 rtdacd 中，由勾股定理，得ac 2 = ad2 + dc 2 ，即 ac 2 = 122 + 92 ，所以 ac = 15 在dabc 中，由 ac 2 + bc 2 = 152 + 362 = 392 ，即 ac 2 + bc 2 = ab2 所以dabc 为直角三角形， acb = 90 所以s = sd

14、abc- sdadc= 1 15 36 - 1 12 9 = 216 m2 ()22所以这块地的面积为216m2 17. 如图 12 所示，图 11在rtdabc 中,bac = 90, ac = ab, dae = 45,且 bd = 3 ,ce = 4 ,求 de 的长.图 12答图 13解:如图 13,因为dabc 为等腰直角三角形,所以abd = c = 45 .所以把daec 绕点 a 旋转到dafb ,则dafb daec .所以 bf = ec = 4, af = ae, abf = c = 45 .连结 df .所以ddbf 为直角三角形.由勾股定理,得 df 2 = bf 2

15、 + bd2 = 42 + 32 = 52 .所以 df = 5 .因为dae = 45, 所以daf = dab + eac = 45 .所以dade dadf (sas ) .所以 de = df = 5 .18. dabc 中， bc = a, ac = b, ab = c ，若c = 90 ，如图 14，根据勾股定理，则a 2 + b 2 = c 2 ，若dabc 不是直角三角形，如图 15 和图 16，请你类比勾股定理，图 14图 15图 16试猜想a 2 + b 2 与c 2 的关系，并证明你的结论。解：若dabc 是锐角三角形，则有a2 + b2 c2.若dabc 是钝角三角形，

16、 c 为钝角，则有a2 + b2 0, x 0 ， a2 + b2 c2.2ax 0.图 17当dabc 是钝角三角形时，图 18,证明：过点 b 作 bd ac ，交 ac 的延长线于点 d.设cd 为 x ，则有 db2 = a2 - x2.根据勾股定理，得(b + x)2 + a2 - x2 = c2.即b2 + 2bx + x2 + a2 - x2 = c2.a2 + b2 + 2bx = c2.b 0, x 0 ，2bx 0.图 18 a2 + b2 c2.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said,

17、 people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge,