勾股定理知识点+对应类型(最新整理)

1、勾股定理的验证勾股定理判定直角三角形第二章勾股定理、平方根专题实数立方根平方根勾股定理和平方根定义、性质开平方运算近似数、有效数字一、勾股定理：第一节 勾股定理开立方运算定义、性质1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方弦 cba 勾acb 股勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，

2、kb，kc 同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1） 确定最大边（不妨设为 c）；（2） 若 c2a2b2，则abc 是以c 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中

3、 c 为最大边）4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。5. 勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边。（2） 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3） 用于证明线段平方关系的问题。n（4） 利用勾股定理，作出长为的线段二、平方根：（1119 的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果 x2=a，那么 x 就叫做 a 的平方根

4、。2、平方根的性质：a一个正数有两个平方根，它们互为相反数；aa一个正数 a 的正的平方根，记作“”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“ ”，这两个平方根合起来记作“”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这2里“”，亦可写成“”）0 只有一个平方根，就是 0 本身。算术平方根是 0。负数没有平方根。3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、（1） 平方根是它本身的数是零。a 2a 2（2）算术平方根是它本身的数是 0 和 1。（3） (a )2 = a(a 0),= a(a 0),= -a(a 0).（4）一个数的两个平方根之和为 0三、立方根：（1

5、9 的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果 x3=a，那么 x 就叫做 a 的立方根。记作“ 3 a ”。2、立方根的性质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.3 a互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3 - a = -3 a3 (3 a )3 = a3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是 1，0，-1。5、平方根和立方根的区别：a（1） 被开方数的取值范围不同：在中，

6、 a 0 ，在3 a 中，a 可以为任意数值。（2） 正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根： 不同点：a（1） 任何数都有立方根，正数和 0 有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：中的被开方数 a 是非负数； 3 a 中的被开方数可以是任何数.（2） 正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3） 立方根等于本身的数有 0、1、1，平方根等于本身的数只有 0共同点：0 的立方根和平方根都是 0四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，）。有理数：有限小数或无限循环小数注

7、意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数有理数实数有限小数或无限循环小数分数无理数 （无限不循环小数）实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数

8、。取近似值的方法四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a 10n (其中1 a 1） 试说明： c= 90 。3. 若 d abc 的三边 a 、b 、 c 满足条件 a 2 + b 2 + c 2 + 338 = 10a + 24b + 26c ，试判断dabc 的形状。a - 64. 已知+ 2 b - 8 + (c - 10)2 = 0, 则以a 、b 、c 为边的三角形是 （二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1） 一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙

9、底 0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动米（2） 如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米， 如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3） 如图，梯子 ab 斜靠在墙面上，acbc，ac=bc，当梯子的顶端 a 沿 ac 方向下滑 x米时，梯足 b 沿 cb 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（ ）a. x = yb. x yc. x yd. 不能确定（4） 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m，当他把绳子

10、的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列式子总能成立的是（）a. ab = b 2b. a 2 + b 2 = 2h 2c. 1 + 1 = 1d.1 + 1 = 1abh变：a 2b 2h 2如图，在 rtabc 中，acb=90，cdab 于 d，设 ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。+=111求证：（1）a 2b 2h 2（2） a + b c + h（3） 以 a + b，h，c + h 为三边的三角形是直角三角形cadb试一试：（1）只需证明 h 2 ( 1a

11、 2+ 1 ) = 1 ，从左边推到到右边b 2（2） (a + b)2 (c + h)2（3） (a + h)2 + h 2 = (c + h)2 ，注意面积关系 ab = ch 的应用3. 爬行距离最短问题：1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm，得到c1 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1） 假设昆虫甲在顶点c1 处静止不动，如图 a，在盒子的内部我们先取棱 bb1 的中点 e，再连结 ae、 ec1 ，昆虫乙如果沿途径 a e c1 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 a 沿这

12、条路爬行， 同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2） 如图 b，假设昆虫甲从点c1 以 1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿c1c 向下爬行，同时昆虫乙从顶点 a 以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点c1 沿棱c1c 向顶点 c 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间b1db1dd1c1d1c1 a1a1ccabab图 a图 b2. 如图，一块砖宽 an=5，长 nd=10，cd 上的点 f 距地面的高 fd=8，地面上 a 处的一只蚂蚁到 b 处吃食

13、，要爬行的最短路线是cm3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 dm 、3 dm 、2 dm ，a 和 b 是这个台阶两相对的端点，a 点有一只昆虫想到 b 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 b点的最短路程是分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 a 爬到点 b，则它走过的路程最短为d. 5a（ ）a.3ab. (1 +2 )ac. 3amqabpn4.折叠问题：1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8，将abc 折叠，使点 b 与点 a重合，折痕为 de，则 cd 等于（）252275a.b.c.d.4343dcaeb31.

14、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。2. 如图， 山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，水平距离是米。米， 则这两株树之间的垂直距离是3. 如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 b、c 两点，在江对岸取一点 a，使 ac 垂直江岸，测得 bc50 米，b60，则江面的宽度为。（三）求边长：1. （1）在 r t dabc 中， a 、b 、c 分别是 a、 b、 c 的对边， c= 90已知： a =6， c =10，求b ；已

15、知： a =40， b =9，求c ；2. 如图所示，在四边形 abcd 中， bad= 90 ， dbc= 90 ，ad=3，ab=4，bc=12， 求 cd。（五）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 a 点出发沿正东方向 an 航行，在 a 点望湖中小岛 m，测得 man30，当他到 b 点时，测得mbn45，ab100 米，你能算出 am 的长吗？mabn2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（六）利用三角形面积相等：1

16、.如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得abc，则边 ac 上的高为（）a. 32 2b. 5 10ac. 3 5 5d. 45 5cb（七）旋转问题：1. 如图，点 p 是正abc 内的点，且 pa=6，pb=8，pc=10，若将pac 绕点 a 旋转后， 得到 p ab ，则点 p 与点 p之间的距离为，apb= appbc2. 如图， d abc 为等腰直角三角形， bac= 90 ，将d abh 绕点 a 逆时针旋转到d ach 处，若 ah=3，试求出 h、 h 两点之间的距离。3. 如图所示，p 为正方形 abcd 内一点，将d abp 绕 b 顺时针旋转90 到d

17、 cbe 的位置， 若 bp= a ，求：以 pe 为边长的正方形的面积已知直角三角形 abc 中， acb= 90 ，ca=cb，圆心角为45 ，半径长为 ca 的扇形 cef绕点 c 旋转，且直线 ce、cf 分别与直线 ab 交于点 m、n，当扇形 cef 绕点 c 在 acb的内部旋转时，如图，试说明 mn 2 = am 2 + bn 2 的理由。camnb ef如图所示， 已知在 d abc 中， ab=ac， bac= 90 ， d 是 bc 上任一点， 求证： bd2 +cd 2 = 2 ad 2 。已知aob=90，在aob 的平分线 om 上有一点 c，将一个三角板的直角顶点

18、与点 c重合，它的两条直角边分别与 oa、ob（或它们的反向延长线）相交于点 d、e。当三角板绕点 c 旋转到 cd 与 oa 垂直时，如图，易证： od + oe =2oc ；当三角板绕点 c 旋转到 cd 与 oa 不垂直时，如图、这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段 oe、oc、od 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想， 不需证明。试一试：对于第 1 问，od=ce，问题的实质是2oe 2 = oc 2 ， oe =通过作辅助线，将问题转化为第 1 问可解决。2 oc ，对于第二问，2（八）折叠问题：1. 如图，矩形纸片 abcd 的长 ad=9，宽 a

19、b=3，将其折叠，使点 d 与点 b 重合，那么折叠后 de 的长是多少？2. 如图，在长方形 abcd 中，将d abc 沿 ac 对折至d aec 位置，ce 与 ad 交于点 f。（1）试说明：af=fc；（2）如果 ab=3，bc=4，求 af 的长3. 如图，在长方形 abcd 中，dc=5，在 dc 边上存在一点 e，沿直线 ae 把abc 折叠， 使点 d 恰好在 bc 边上，设此点为 f，若abf 的面积为 30，求折叠的aed 的面积adebfc4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8，现将直角边 ac 沿直线 ad折叠，使它落在斜边 ab 上，且与

20、 ae 重合，你能求出 cd 的长吗？5.如图，b=90，ab=bc=4，ad=2，cd=6（1） acd 是什么三角形？为什么？（2） 把acd 沿直线 ac 向下翻折，cd 交 ab 于点 e，若重叠部分面积为 4，求 de 的长。daebcc一、平方根：（一）文字类题目：一个数的平方等于它本身，这个数是； 一个数的平方根等于它本身，这个数是；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 一个数的立方根等于它本身，这个数是；一个正数的两个平方根的和是 一个正数的两个平方根的商是（二）. 定义：1.（1） 81 的平方根是 9 的数学表达式是（）a.81 = 9b. 81 = 9c.81 = 9d

21、.81 = 981 的平方根是（）a. 9b. 9c. 9d. 39表示， =。916 的数是，将 16 开平方得，因此平方与互为逆运算。14 的平方根是；的平方根是。的平方根是 0.81。49（2） 数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由。（1）-64；（2）（-4） 2 ；（3）-5 281（4）（3） 若 3a+1 没有算术平方根，则 a 的取值范围是 若 3x-6 总有平方根，则 x 的取值范围是。1若式子 x 的平方根只有一个，则 x 的值是。3x - 11 - x（4）已知+= y + 4 ，那么 x - y = - a 2已知 a 为实数，那么等于（）a. ab

22、. ac. -1d. 0y - 4（5）若(x - 3)2 += 0 ，则 x + y = b 2 - 4已知 a 2 - 9 += 0 ，那么a + b = x - 2 y - 3已知 x 、 y 满足：+ (2x - 3y - 5)2 = 0 ，那么 x -8 y 的立方根为 a + b（6） 代数式- 3 -的最大值是，这时a 、b 之间的关系是 （7） 若（8） 若= 10 ，则m =；若mx(- x)2= 3 ，则 x=，= 4 ，则m 的平方根是 3 m= 3 ，则 x= （9）下列个数中： (- 100)2，0，- 6，3 8，(- 2)2 ，- (- 5)6 没有平方根的有 个

23、a - 122. 已知abc 的三边分别是 a、b、c，且满足+ b 2 - 4b + 4 = 0 ，求 c 的取值范围。2a + 6已知a 、b 为实数，且+ b -= 0 ，解关于 x 的方程：（ a +2） x + b 2 = a -1。39 - 10a已知 4 a 2 -49=0，求的值。3. 列方程求值：（1） x 2 =196；（2）5 x 2 -10=0；（3）36（ x -3） 2 -25=04. （1）已知一个正数的平方根是 2 x -1 和 3- x ，求这个数x - y + 3x + y -1（2）已知与是一个数的两个平方根，求( x - y )2 的平方根。5. 估算：

24、（1） 比较大小：55 - 123与与5247（2） a、b 为两个连续的整数，且 a b ，则 a + b = 2373满足-x的整数是；实数的绝对值是-。40（3） 若m =- 4 ，则估计m 的值所在的范围是（）a.1 m 26. 计算：b. 2 m 3c. 3 m 4d. 4 m 53(- 2)23（1）+= （2）、下列计算正确的是（）1 9164 12- 25510.25a、=4b、= 22c、= 0.05d、 -= 57. 平方根的性质：0.01=； (1 4(- 5)225 )2 = ；= ；162(- 16)2=；=；=。二、立方根1. 定义：（1）如果 a 是 x 的立方根

25、，那么下列说法正确的是（）a. a 也是 x 的立方根b. a 是-x 的立方根c. a 是-x 的立方根d. a 和 a 都是-x 的立方根（2）下列各式： 3 9 = 3；3 0.001 = 0.1；3 - 0.1 = -0.1；3 0.8 = 0.2 ，其中错误的有个2. 根据定义求值：（1） 求值：32 10273-8125-（2） -（2） 方程：(x - 3)3 = -1x3 = - 1252163. 估算：（1） 估计 68 的立方根大小在（）a. 2 与 3 之间b.3 与 4 之间c.4 与 5 之间d.5 与 6 之间（2） 通过估算3 420 的整数部分为（）a. 6b.

26、 7c. 8d. 9（3） 3 100 估算到个位= 4. 平方根与立方根相结合：（1） 若 2x+1 的平方根是 5 ，那么 5x+4 的立方根是 x1（2） 已知= 8 ，求3 -8x 的值。91 + 7n（3） 已知 m 满足 2m - 1 = 3 ，k、n 满足(k - 3)2 +3= 0 ，求 k m2 - 3n 的值三、实数：1. 实数的定义：1. 判断下列说法是否正确，为什么？（1） 无限小数是无理数；（2） 有理数都是是有限小数；（3） 无理数都是无限小数；（4） 带根号的数都是无理数（5） 任何实数的偶次幂都是正实数；（6） 在实数范围内，若 x = y ，则 x = y 。

27、（7）0 是最小的实数；（8）0 是绝对值最小的实数；（9） 数轴上的点与有理数是一一对应的（10） 数轴上的点与实数是一一对应的2. 下列说法正确的是（）a.不存在最小的实数b.有理数是有限小数c.无限小数都是无理数d.带根号的数都是无理数3.下列说法正确的是（）a.无限小数是无理数b.不循环小数是无理数c.无理数的相反数还是无理数d.两个无理数的和还是无理数4. 把下列各数填入相应的集合内：-p， - 3.14， -3，1.732，0，0.3 ，18，25， 21 ，7， -163631273 1 、3 - 8 、0、p、0.5 、3.14159、-0.0200200020.1212112

28、111223（1） 有理数集合（2） 无理数集合（3） 正实数集合（4） 负实数集合2. 有效数字、科学记数法、近似数：注意：2000 有 4 个有效数字，精确到个位2 103 有 1 个有效数字，精确到千位1. 有几个有效数字，保留几个有效数字：用四舍五入法，按要求取近似值：.地球上七大洲的面积约为 149480000（保留 2 个有效数字）25.8 万（保留 2 个有效数字）小明身高 1.595m（保留 3 个有效数字）0.0608，0.0608002. 精确到哪一位：由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？小明身高 1.59m；地球的半径约为 6.4103；组成云的

29、小水滴很小，最大的直径约为 0.2mm；某种电子显微镜的分辨率为 1.410-8；70 万9.03 万1.8 亿 6.40 1050.0900803.精确到 0.1，0.01 等：精确到个位（或精确到 1）是 精确到十分位（或精确到 0.1）是 精确到百分位（或精确到 0.01）是 精确到千分位（或精确到 0.001）是 小亮用天平称得罐头的质量为 2.026kg，按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数：精确到 0.01kg;精确到 0.1kg;精确到 1kg.某人一天饮水 1890ml（精确到 1000ml）的眼睛可以看见的红光的波长为 0.000077cm（精确到 0.00001）4. 科学记数法：（1） 用科学记数法表示 91800000，正确的是（）a、918105b、91.8106c、9.18105d、9.18107（2）