反比例函数专题综合题讲解(含答案)(最新整理)

1、学大教育科技（北京）有限公司beijing xueda century education technologyk反比例函数专题综合讲解(解答题)22（ 2010 四川成都） 如图， 已知反比例函数 y =与一次函数 y = x + b 的图象在第一象限相交于点xa(1, -k + 4) （1） 试确定这两个函数的表达式；（2） 求出这两个函数图象的另一个交点 b 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x的取值范围k【答案】解：（1）已知反比例函数 y =经过点 a(1, -k + 4) ，x -k + 4 = k ，即-k + 4 = k1 k = 2a(1，2)一次函数

2、 y = x + b 的图象经过点 a(1，2)， 2 = 1+ b b = 12反比例函数的表达式为 y =，x一次函数的表达式为 y = x +1。 y = x +1（2）由 y = 2x消去 y ，得 x2 + x - 2 = 0 。即(x + 2)(x -1) = 0 , x = -2 或 x = 1 。x = -2x = 1 y = -1或 y = 2 。 y = -1 或 y = 2点 b 在第三象限，点 b 的坐标为(-2，-1) 。由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时， x 的取值范围是 x -2 或0 x 1。m29（2010 江苏徐州）如图，已知 a(n，-2)，

3、b(1，4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y=x两个交点，直线 ab 与 y 轴交于点 c(1) 求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求aoc 的面积；m的图象的(3)求不等式 kx+b-x【答案】 0 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围.【答案】解：（1）在 y = kx + 2 中，令 x = 0 得 y = 2点 d 的坐标为（0，2）（2） apodrtpac rtdoc oc = 1 od = oc = 1ap=6oa2apac3又bd= 6 - 2 = 4由 spbd=4 可得 bp=2mp(2，6)把 p(2，6)分别代入 y = kx +

4、2 与 y =可得x一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为： y = 12x（3）由图可得 x217（2010 江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动某化工厂 2009 年 1 月的利润为 200 万元设 2009 年 1 月为第 1 个月，第 x 个月的利润为 y 万元由于排污超标，该厂决定从2009 年 1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从 1 月到 5 月，y 与 x 成反比例到 5 月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加 20 万元（如图）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后 y 与 x 之

5、间对应的函数关系式治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到 2009 年 1 月的水平？当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【答案】当 1 x 5 时，设 y = k ，把（1，200）代入，得xk = 200 ，即 y = 200 ；当 x = 5 时， y = 40 ，所以当 x 5x时， y = 40 + 20(x - 5) = 20x - 60 ；当 y=200 时，20x-60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过 13-5=8 个月后，该厂利润达到 200 万元；=200对于 y，当 y=100 时，x=2；对于 y=20x

6、-60，当 y=100x时，x=8，所以资金紧张的时间为 8-2=6 个月学大教育科技（北京）有限公司beijing xueda century education technology16（2010 ft东）如图,已知直线 y =（1） 求 k 的值；1 x 与双曲线 y =2k (k 0) 交于 a，b 两点，且点 a 的横坐标为 4.x第页关注成长每一天（2） 若双曲线 y =k (k 0) 上一点 c 的纵坐标为 8，求aoc 的面积；xk（3） 过原点 o 的另一条直线 l 交双曲线 y =(k 0) 于 p，q 两点（p 点在第一象限），若由点 a，b，p，qx为顶点组成的四边形面

7、积为 24，求点 p 的坐标【答案】(1）点 a 横坐标为 4 ，当 x = 4 时，y = 2 点 a 的坐标为（4，2 ）2点 a 是直线 y =1 x 与双曲线 y =（k0）的交点，82 x k = 42 = 83(2)解法一： 点 c 在双曲线 上，当 y = 8 时，x = 1 点 c 的坐标为（1，8）4过点 a、c 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 m、n，得矩形 dmon s 矩 形 ondm= 32 ， sonc = 4 ， scda = 9， soam = 4saoc= s 矩形 ondmsoncscdasoam = 32494 =15.6解法二：过点c、a 分别做

8、x 轴的垂线，垂足为 e、f，8 点 c 在双曲线 y =上，当 y = 8 时，x = 1。x 点 c 的坐标为（1，8）8 点 c、a 都在双曲线 y =上，x scoe = saof = 4 scoe + s 梯形 cefa = scoa + saof . scoa = s 梯形 cefa1 s 梯形 cefa =2 scoa = 15（2+8）3 = 15，（3） 反比例函数图象是关于原点 o 的中心对称图形 ， op=oq，oa=ob 四边形 apbq 是平行四边形 spoa =11s 平行四边形 apbq =4424 = 6设点 p 的横坐标为 m（m 0 且 m 4 ），8得 p

9、（m，） .7m过点 p、a 分别做 x 轴的垂线，垂足为 e、f， 点 p、a 在双曲线上，spoe = saof = 4若 0m4， spoe + s 梯形 pefa = spoa + saof，18 s 梯形 pefa = spoa = 6 (2 +2) (4 - m) = 6m解得 m= 2，m= 8（舍去） p（2，4）8若 m 4， saof+ s 梯形 afep = saop + spoe， s 梯形 pefa = spoa = 618 (2 + 2) (m - 4) = 6 ，解得 m= 8，m =2 （舍去） p（8，1）m 点 p 的坐标是 p（2，4）或 p（8，1）91

10、8（2010 河北）如图 13，在直角坐标系中，矩形 oabc 的顶点 o 与坐标原点重合，顶点 a，c 分别在坐标轴上，顶点 b 的坐标为（4，2）过点 d（0，3）和 e（6，0）的直线分别与 ab，bc 交于点 m，n（1） 求直线 de 的解析式和点 m 的坐标；（2） 若反比例函数 y = m （x0）的图象经过点 m，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 n 是x否在该函数的图象上；（3） 若反比例函数 y = m （x0）的图象与mnb 有公共点，请直接写出 m 的取值范围xyd ambnoce【答案】解：（1）设直线 de 的解析式为 y = kx + b ，点 d ，e

11、的坐标为（0，3）、（6，0）， 3 = b,k = - 1 , 10 = 6k + b.x解得 2b = 3. y = -2x + 3图 13点 m 在 ab 边上，b（4，2），而四边形 oabc 是矩形，点 m 的纵坐标为 2又 点 m 在直线y = - 1 x + 3 上， 2 = - 1 x + 3 x = 2 m（2，2）22（2） y = m （x0）经过点 m（2，2），xm = 4 y = 4 .x又 点 n 在 bc 边上，b（4，2），点 n 的横坐标为 4 点 n 在直线 y = - 1 x + 3 上， 2y = 1 n（4，1）学大教育科技（北京）有限公司beiji

12、ng xueda century education technology 当 x = 4 时，y = 4 = 1，点 n 在函数xy = 4x的图象上第页关注成长每一天（3）4 m 819（2010 ft东省德州） 探究(1) 在图 1 中，已知线段 ab，cd，其中点分别为 e，fycbado若 a (-1，0)， b (3，0)，则 e 点坐标为；若 c (-2，2)， d (-2，-1)，则 f 点坐标为；(2) 在图 2 中，已知线段 ab 的端点坐标为 a(a，b) ，b(c，d)，求出图中 ab 中点 d 的坐标（用含 a，b，c，d 的代数式表示），并给出求解过程 xybdao

13、x 归纳无论线段 ab 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 a(a，b)，b(c，d)， ab 中点为 d(x，y) 时，x= ，y= （不必证明）第 22 题图 1 运用在图 2 中，一次函数 y = x - 2 与反比例函数 y = 3 的图象交点为 a，bx求出交点 a，b 的坐标；若以 a，o，b，p 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点 p的坐标第 22 题图 23y=yxboxay=x-21【答案】解： 探究(1)(1，0)；(-2， )；2(2) 过点 a，d，b 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 a， d ， b ，则 aa bb cc d 为 ab

14、 中点，由平行线分线段成比例定理得 a d = d b第 22 题图 3ybdaoad bxo d = a +c - a2= a + c2即 d 点的横坐标是b + da + c2a + cb + dy y= 3xb同理可得 d 点的纵坐标是2a + cb + d归纳：，ab 中点 d 的坐标为(，)22oxap22 y = x - 2x = 3 ，x = -1 ，y=x-2，运用：由题意得 y = 3. 解得 y = 1 . 或 y = -3 . 即交点的坐标为 a(-1，-x3)，b(3，1) 以 ab 为对角线时，由上面的结论知 ab 中点 m 的坐标为(1，-1) 平行四边形对角线互相

15、平分，om=op，即 m 为 op 的中点p 点坐标为(2，-2) 同理可得分别以 oa，ob 为对角线时，点 p 坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) 满足条件的点 p 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) 25（2010 湖北荆州）已知：关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2k - 1)x + k 2 = 0 的两根 x , x 满足 x 2 - x 2 = 0 ，1212学大教育科技（北京）有限公司beijing xueda century education technology双曲线 y =4kx (x0)经过 rtoab 斜边 ob 的中点 d，与直

16、角边 ab 交于 c（如图），求 sobc 第页关注成长每一天【答案】解：q x 2 + (2k - 1)x + k 2 = 0 有两根d = (2k - 1)2 - 4k 2 0 即k 14由 x 2 - x 2 = 0 得 ： (x - x )(x + x ) = 0121212当 x1+ x2= 0 时， - (2k - 1) = 01解得 k =，不合题意，舍去2当 x1 - x2 = 0 时， x1 = x2 ， d = (2k - 1) - 4k= 0221解得： k =14符合题意双曲线的解析式为： y =11x过 d 作 deoa 于 e， 则sdode = sdoca = 2

17、 1 = 2deoa，baoas ob 21deabodeoba doba = = 4 sd= 4 = 2sdode13 od oba2 sdobc= sdoba - sdoca = 2 - 2 = 23k26（2010 北京）已知反比例函数 y=的图像经过点 a（x，1）（1） 试确定此反比例函数的解析式（2） 点 o 是坐标原点，将线段 oa 绕点 o 顺时针旋转 30得到线段 ob，判断点 b 是否在反比例函数的图像上，并说明理由3（3） 已知点 p（m，m+6）也在此反比例函数的图像上（其中 m 0），过 p 点作 x 轴的的垂线，交 x 轴31于点 m，若线段 pm 上存在一点 q，

18、使得oqm 的面积是2值，设 q 点的纵坐标为 n，求 n22n+9 的1- 3【答案】解：（1）由题意德 1=解得k= 反比例函数的解析式为 y= -33x3（2）过点 a 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 c，在 rtaoc 中，oc=，ac=1oc 2 + ac 2可得 oa=2，aoc=30由题意，aoc=30，ob=oa=2， boc=603过点 b 做 x 轴的垂线交 x 轴于点 d，在 rtbod 中，可得，bd=，333od=1 点 b 坐标（1，）将 x=1 代入 y=- 中，得 y=3x点 b（1，）在反比例函数 y=- 的图像上3x（3）由 y=- 得 xy=3x 点 p（

19、m，m+6）在反比例函数的 y=- 的图像上，m03x333 m（m+6 ）= m2 + 2 3m +1 = 0pqx 轴q 点的坐标（m，n）31 oqm 的面积为11 om.qm= m0 m.n=1 m2n2 + 2 3mn2 + n2 = 0222n2 - 2 3n = -1 n2 + 2 3n + 9 = 8 27（2010 河南）如图，直线 y= k x+b 与反比例函数 y= k2 等(x0)的图象交于 a(1,6)，b(a,3)两点.1x（1） 求 k1 、k2 的值；(2) 直接写出k x +6 一 k2 0 时的取值范围；1x(3) 如图，等腰梯形 obcd 中，bcod,o

20、b=cd，od 边在 x 轴上，过点 c 作 ceod 于 e，ce 和反比例函数的图象交于点 p.当梯形 obcd 的面积为 l2 时，请判断 pc 和 pe 的大小关系，并说明理由.【答案】（1）由题意知 k2 = 16 = 6反比例函数的解析式为 y = 6 .x6又 b（a，3）在 y =的图象上，a = 2 b（2,3）.x 直线 y = k1x + b 过 a（1,6），b（2,3）两点，k1 + b = 6,k1 = -3, 2k + b = 3. b = 9.1（2）x 的取值范围为 1 x 0，b0），则当 x=1 时，a+b=4 即 b=4a.联立y = 4x，得 ax2

21、+bx4=0，即 ax2 +（4a）x4=0， y = ax + b4方法 1：（x1）（ax+4）= 0，解得 x1=1 或 x= ，a设直线 ab 交 y 轴于点 c，则 c（0，b），即 c（0，4a）11415由 saob=saoc+sboc= 2a(4 - a) 1+ 2a(4 - a) a = 2 ，整理得 a2+15a16=0，a=1 或 a=16（舍去） b=41=3 直线 ab 的解析式为 y=x+3115方法 2：由 saob= 2|oc|x2x1|= 2(x + x )2 - 4x x121 221而|x x |=a + 4a + 4( 4 - a )2 - 4a( -4

22、)aa=| =(a 0) ，|oc|=b=4a，aa1a + 415可 得 (4 - a)() =，解得 a=1 或 a=16（舍去）.2a243（2010 广东湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含量达到最大值为 4 毫克。已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含量 y（毫克）与时间 x（小时）成正比例；2 小时后 y 与 x成反比例（如图所示）。根据以上信息解答下列问题：(1).求当0 x 2 时，y 与 x 的函数关系式； (2).求当 x 2 时，y 与 x 的函数关系式；(3).若每毫升血液中的含量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有

23、效时间是多长？【答案】.解：(1)当0 x 2 时，设函数解析式为 y = k1x ，由题意得1 分4 = 2k1 ，解得 k1 = 23 分当0 x 2 时，函数解析式为 y = 2x4 分(2) 当 x 2 时，设函数解析式为 y = k2 ，由题意得5 分x4 = k2 ，解得 k22= 87 分当 x 2 时，函数解析式为 y = 88 分x8(3) 把 y=2 代入 y=2x 中，得 x=19 分把 y=2 代入 y =中,得 x=410 分x41311 分答：服药一次，治疗疾病的有效时间是 3 小时12 分44（2010 内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数 y m （x0，m

24、是常数）的图像经过点 a（1，4）、点 b（a，xb），其中 a1.过点 a 作 x 中的垂线，垂足为 c，过点 b 作 y 轴的垂线，垂足为 d，ac 与 bd 相交于点 m，连结 ad、dc、cb 与 ab.（1） 求 m 的值；（2） 求证：dcab；（3） 当 adbc 时，求直线 ab 的函数解析式.【答案】解：（1）点 a（1，4）在函数 y m 的图像上，x4 m ，得 m42 分1（2）点 b（a，b）在函数 y m 的图像上，ab4.x又acx 轴于 c，bdy 轴于 d 交 ac 于 m，acbd 于 mm（1，b），d（0，b），c（1，0）tanbac bm a - 1

25、 a - 1 1 ，tandcm dm 1am4 - bab - bbmcb4 分学大教育科技（北京）有限公司beijing xueda century education technologytanbac tandcm，所以锐角bacdcm，dcab6 分说明：利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，易证abmcdm，易得bacdcm.评分标准为证出相似得到 4 分，证出平行得到 6 分.（3）设直线 ab 的解析式为 ykxbabcd，adbc，四边形 abcd 是平行四边形或等腰梯形. 四边形 abcd 是平行四边形时，ac 与 bd 互相平分， 又acbd，b（2，2）k + b =

26、 4k = -2 2k + b = 2 ，解得b = 6第页关注成长每一天直线 ab 的解析式为：y2x68 分当四边形 abcd 是等腰梯形时，bd 与 ac 相等且垂直，acbd4，b（4，1）同理可求直线 ab 的解析式为 yx510 分30.如图，直线 ab 过点 a（m,0），b(0，n)(m0，n0).反比例函数 y =mm的图象与 abx交于 c，d 两点.p 为双曲线 y =各自的要求解答问题.上任一点，过 p 作 pqx 轴于 qpry 轴于 r.请分别按（1）（2）（3）x（1） 若 m+n=10，n 为值时aob 面积最大？最大值是多少？（2） 若 saoc=scod=s

27、dob，求 n 的值.1（3） 在（2）的条件下，过 o，d，c 三点作抛物线，当抛物线的对称轴为 x=1 时，矩形 proq 的面积是多少？30.解：（1）由 sdaob = 2 mn, m + n = 10, 得s= 1 n(10 - n) = - 1 n 2 + 5n = - 1 (n - 5)2 + 25 .daob222225当 n=5 时，saob 的最大值为.2（2）ab 过（m，0），（0，n）两点，求得 ab 的方程为 y = - nmx + n .当 saoc=scod=sdob 时，有 ac=dc=db，过 c，d 作 x 轴的垂线，可知 d，c 的横坐标分别为 m ,3n2 m .将 x =3m 代入 y =39m ，得 y=3.将 y=3， x =xm 代入直线方程 y = - n3 mx + n得-+ n = 3 . n =.32