4.1 角的概忥的推广、弧度制

1、4.14.1 角的概念的推广、弧度制角的概念的推广、弧度制 一、教学目标：一、教学目标： 1.1.知识目标：知识目标： (1)理解任意角的概念，掌握终边相同角的概念及其表示法； (2)理解弧度制的概念，掌握角度与弧度之间的换算关系，掌握弧长公式； (3)能够准确使用上述概念在坐标系内画出任意角，能够求出与一个角终边相同的在指定范围内的角. 2.2.水平目标：水平目标： 培养学生的发散性思维水平、归纳水平、数形结合水平和逻辑思维水平. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 培养学生勇于探索、寻求规律的思维水平. 二、教学重点：二、教学重点： 终边相同角及弧度制的概念. 三、教学难点：三、教学难点

2、： 弧度制的概念.突破难点的关键是讲清 1 弧度角的定义. 四、教学方法：四、教学方法： 讲授法、图示法与练习法相结合. 五、教学过程：五、教学过程： ( (一一) )角的概念的推广角的概念的推广 1.1.问题的引入问题的引入 列举生产实践中，扳手旋紧或旋松螺丝时所转过的角度，通过学生的形象思维，引入任意角的概念. 2.2.介绍任意角的相关概念介绍任意角的相关概念 (1)角的概念； (2)正角、负角和零角任意角的概念； (3)象限角的概念 把角的顶点放置在坐标原点O,角的始边与x轴的正半轴重合,那么角的终边在第几象限，就把该角 叫做第几象限的角第几象限的角. 例如,图 4-2 所示, 3303

3、9030、 是 第一象限的角； 60,300是第四象限的 角. 终边在坐标轴上的角叫做 界限角界限角.例如, 360,270,180,90,0 ,90 等角都是界限 角. 3.3.终边相同的角的概念终边相同的角的概念 x 0 60 0 300 O y 30 330 0 330 390 0 390 x O O A B 图 41 y 图 42 图 4-2 根据图 42，引导学生发现，有的角当终边一定时，角的表示方法不唯一. 提出问题提出问题：两个角度相差 360 的整数倍，终边一定相同吗？如果回答是肯定的，那么如何表示呢？ 举例：所有与30角终边相同的角(包括30的角)都能够表示为 36030 k

4、 (Zk) 故与30角终边相同的角的集合为 Z, kkS 36030 . 一般地,与角终边相同的角，包括角在内，都能够表示为 360 k (Zk) 的形式，其集合为 Z, kkS 360 例例 1 1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并指出在 360 720范围之间的角： (1) 60； (2) 61125. 解解 (1) 与60终边相同角的集合是 Z,kkS 36060 . 当 1k 时 300360) 1(60 1 ； 当 0k 时 60360060 2 ； 当 1k 时 420360160 3 . 故所求的角为300、60和 420. (2) 与61125终边相同角的集合是 Z,kk

5、S 36061125 . 当 0k 时 61125611253600 1 ； 当 1k 时 44234611253601 2 ； 当 2k 时 44594611253602 3 . 故所求的角为12516、23444和 59444. 解题规律：求与某角在确定范围内的角，要先写出与该角终边相同的角的集合，然后取解题规律：求与某角在确定范围内的角，要先写出与该角终边相同的角的集合，然后取 k k 为不同的为不同的 值，求得相对应的角值，求得相对应的角. . 例例 2 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 解解 在 0 360内,终边在y轴上的角是 90角和 270角,而 90角与 270角相差了

6、180.所以,终 边在y轴上的角的集合是 SZ, nn 90180 当n取奇数时终边在y轴的负半轴上，当n取偶数时终边在y轴的正半轴上. 练习题练习题 4.1.14.1.1 1在 0 360的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限 的角： (1) 265； (2) 1185； (3) 3900. 2. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中在 360 360之间的角写出来. (1) 45； (2) 03824. 参考答案：参考答案： 1(1) 95 ，它是第二象限的角；(2) 105 ，它是第二象限的角； (3) 300 ，它是第四象限的角. 2.(1) ZkkS,36

7、045 ，当 0, 1k 时，得到 315 、 45 ； (2) ZkkS,36003824 ， ，当 3, 2k 时，得到 03104 、 03255 . ( (二二) )弧度制弧度制 1.1.问题的引入问题的引入 在初中学过角度制，但在数学和其他科学研究中，角的大小需要用实数表示，如已知圆的半径及圆 心角所对的弧长，求中心角的大小，就要用一种新的度量制度弧度制. 2.2.弧度制弧度制 (1)弧度的定义 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 1 弧度的角弧度的角.记作 1rad 或 1 弧度. 以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制弧度制. (2)弧长公式 如图 4-3 所示,设圆的半径为

8、r, 若弧 rAB , 则1AOBrad； 若弧 rAC2 ,则2AOB rad； 若弧 rAD 2 1 , 则 2 1 AOBrad. rl (其中为弧度制) (4.1) (3)角度与弧度的互化 180 rad (4.2) 由此得到换算公式 、450170 180 1. (4.3) 1rad 815730.57 180 . (4.4) (4)常用特殊角的度数与弧度的对照表 注意：注意：(1)采用弧度制，每一个角都对应于唯一的实数；反之，每一个实数都对应于唯一的角.这样 度 030456090 180 270 360 弧度0 6 4 3 2 2 3 2 O 图 43 A D B C 角的集合与

9、实数集合之间就建立起了一一对应的关系. (2)用弧度制表示角的大小时，弧度或“rad”能够省略不写. 例例 3 3 把下列各角度化为弧度： (1) 0367； (2) 515 (精确到 0.001). 解解 (1) 8 3 180 5 . 67 5 . 670367； (2) 092 . 0 180 25 . 5 25 . 5 515. 例例 4 4 把下列各弧度化为角度: (1) 6 11 ； (2) 3826 . 1 (精确到 1 ). 解解 (1) 330 180 6 11 6 11 ; (2) 3179 180 3826 . 1 3826 . 1 . 例例 5 5 用弧度制表示与 15

10、0角终边相同的角的集合S. 解解 由于 6 5 180 150150 , 2360 . 所以 Z, 6 5 kkS2 . 注意注意：(1)此处要注意单位制的统一，同一个表达式中，两种单位制不能混合使用. (2)一般地，与角(为弧度制)终边相同的角，包括角在内，都可以表示为 2k (Zk) 的形式,其集合为 Z,2kkS 另外，根据圆弧长公式 (其中角为弧度数)，可解决下面问题. 例例 6 6 已知圆的半径为 20cm，求2148圆心角所对的圆弧长(精确到 1cm). 解解 841 . 0 180 .248 2 . 482148,由公式(4.5)知, 0.841 2017().lrcm 即所求圆

11、弧长为 cm17 . 问问：这个圆弧长公式与初中学过的圆弧长公式是否相同？ 回答回答：角的度量制度发生变化. 练习题练习题 4.1.24.1.2 1.把下列各角度化为弧度: (1) 18； (2) 8419. 2.把下列各弧度化为角度: (1) 6 7 ； (2) 85. 4. 3.求半径为15cm 的圆中,60的圆心角所对弧的弧长. 参考答案：参考答案： 1.(1) 10 ； (2) 3455 . 0 弧度. 2.(1) 210 ； (2) 45277 . 3. 约 7 . 15 cm. 六六. .小结：小结： 1本节课知识结构框图 2需要注意的问题 (1)终边相同角的概念及其表示； (2)

12、弧度制的概念及弧度制与角度制的换算； (3)弧长公式中的角必须用弧度表示. 七七. . 练习与作业：练习与作业： 练习练习：练习 4.1.2，习题 4.1 第 1、2 题. 参考答案：参考答案：1.(略)；2.(1) 2 1 306, ； (2) 度 7584102150 弧度 6 5 4 3 3 4 角 角的概念的推广 表示角的大小的方法 第几象限的角(界限角) 终边相同的角 角度制 弧度制 弧长公式 作业：作业：习题 4.1 第 3、4、5、6 题,达标训练 4.1. 选做：选做：习题 4.1 第 7 题. 4.24.2 任意角的三角函数任意角的三角函数( (一一) ) 一、教学目标：一、

13、教学目标： 1.1.知识目标：知识目标： (1)掌握任意角三角函数的定义、定义域，会利用定义求任意角三角函数值； (2)理解三角函数的几何表示，掌握特殊角三角函数值. 2.2.能力目标：能力目标： 数形结合能力. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 使学生了解从特殊到一般和从一般到特殊的考虑问题的思想方法. 二、教学重点：二、教学重点： 任意角三角函数的概念. 三、教学难点：三、教学难点： 任意角三角函数的概念的理解，解决难点的关键是理解三角函数的几何表示. 四、教学方法：四、教学方法： 讲授法、图示法与练习法相结合. 五、教学过程：五、教学过程： ( (一一) ) 任意角三角函数的定义任意

14、角三角函数的定义 1.1. 问题的引入问题的引入 在初中,我们曾经学习过锐角的正弦、余弦和正切.如果角A是直角三 角形的一个锐角,如图 4-5 所示,那么角A的正弦、余弦、正切分别定义为 Asin 斜边 对边 ； Acos 斜边 邻边 ； 邻边 对边 Atan . 并且知道几个特殊角的三角函数值如下表. 304560 正弦 2 1 2 2 2 3 余弦 2 3 2 2 2 1 正切 3 3 13 想一想想一想：角A的正弦、余弦、正切与直角三角形的那些元素有关？ 图 4-5 C(x,y) y B r (A) O x x y 将锐角三角形放到直角坐标系中，使得A与坐标原点重合，AB边在x轴的正半轴

15、上，如图 4-6 所 示, 设点C的坐标为 ),(yx ，AC边的长度为r(其中 22 yxr )，则角A的正弦、余弦、正切分别 可以写作: r y A sin ； r x A cos ； x y A tan . 2.2. 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 设 cos 是任意大小的角,在角 cos 的终边上取不与原点重合的任意点 ),(yxP ,它到原点的距离是 22 yxr 0(如图 4-7 所示). 那么,角的正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切分别定义为 r y sin ； r x cos ； x y tan . 想一想想一想:如果在角的终边上取不同的点 ),( 111 yxP 和

16、),( 222 yxP ,那么三角函 数值是否发生变化,为什么? 回答回答：不变化，因为此为比值. 类似地，角的余割、正割、余切分别定义为： y r csc ； x r sec , y x cot . 显然，角的余割、正割、余切分别是角正弦、余弦、正切的倒数. 这样,在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值,按照某个对应关系，角的正弦、余弦、正 切、余切、正割、余割都分别有唯一的比值与之对应,它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函 数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数三角函数. 注注：由于角的余割、正割、余切分别是角正弦、余弦、正切的倒数.研究有关余割函数、

17、正割函 数或余切函数问题时,只需利用倒数关系就可以转换为正弦、余弦、正切的问题.所以本章重点研究正弦 函数、余弦函数与正切函数. 3.3. 任意角三角函数的定义域任意角三角函数的定义域 由定义可以看出: 当角的终边在y轴上，即 Z)( 2 kk 时，终边上任意一点的横坐标 x都等于0，此时 x y tan 无意义.除此以外,对于每个确定的角,上面的 sin 、 cos 和 tan 的三 个比值都是唯一确定的.因此正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下： 图 4-7 x y y x O P(x,y) 说明：说明：当角采用弧度制时,角的取值集合与实数集 R R 之间具有一一对应的关系,所以三角函

18、数是三角函数是 以实数以实数为自变量的函数为自变量的函数. 例例 1 1 已知角的终边经过点)3, 2( P,求 sin 、 cos 和 tan . 解解 如图 4-8 所示, 因为 2x , 3y . 所以 13)3(2 22 r . 于是 13 133 13 3 sin r y ； 13 132 13 2 cos r x ； 2 3 tan x y . 例例 2 2 求角 4 5 的正弦、余弦和正切函数值. 解解 如图 4-9 所示,角 4 5 的终边是第三象限的角平分线,在角 4 5 的终边上取点 ) 1, 1(P . 因为 1x , 1y ,所以 2) 1() 1( 22 r . 于是

19、, 2 2 4 5 sin ； 2 2 4 5 cos ； 1 4 5 tan . 想一想想一想：利用定义求任意角三角函数值的步骤如何？ 回答回答：第一步在角的终边上取不与原点重合的任意点 ),(yxP (最好是特殊点)； 第二步求出该点到原点的距离r，其公式为 22 yxr 0； 第三步利用定义求任意角三角函数值. 4.4. 特殊角三角函数值特殊角三角函数值 我们已经知道 30 、 45 、 60 的三角函数值，下面再讨论一下其他几种特殊角的三角函数值. 三角函数定 义 域 sinR R cosR R tan Z, 2 kk 图 4-8 P(2, -3) x y O o 图 4-9 x y

20、O o x y r 由于 0角的终边与 x 轴的正半轴重合，所以对于角终边上的任意点 ),(yxP 都有 0,yrx ，所以， 利用三角函数的定义，有 0 0 0sin r ， 10cos r r ， 0 0 0tan r . 同样还可以求得 2 、 2 3 、 2 等几个界限角的三角函数值，如下表： 角 函数 0 2 2 3 2 sin010-10 cos10-101 tan0 不存在 0 不存在 0 cot 不存在 0 不存在 0 不存在 例例 3 3 求下列各式的值: (1) 270sin60tan290sin3180cos5 ； (2) 4 cos 4 sin 3 sin3 4 tan

21、 6 sin 3 cos . 解解 (1) 270sin60tan290sin3180cos5 2) 1(60213) 1(5 ； (2) 4 cos 4 sin 3 sin3 4 tan 6 sin 3 cos . 2 1 2 2 2 2 2 3 31 2 1 2 1 . 练习题练习题 4.2.14.2.1 1已知角终边上一点P的坐标如下,求 sin 、 cos 和 tan : (1) )4 , 3( ； (2) )0 , 1 ( . 2计算：(1) 180cos180tan30cos290sin5 ； (2) cos 2 3 sin 3 tan 3 1 4 tan 2 cos 2 . 参考

22、答案参考答案 1(1) 5 4 sin ； 5 3 cos ； 3 4 tan . (2) 0sin ； 1cos ； 0tan . 2.(1)原式 2 ； (2) 原式 0 . 六、小结：六、小结： 七七. . 练习与作业：练习与作业： 练习练习：习题 4.2 第 1 题. 参考答案参考答案 (略) 作业作业：习题 4.2 第 2、3 题,达标训练 4.2 第 1、2 题. 4.24.2 任意角的三角函数任意角的三角函数( (二二) ) 一、教学目标：一、教学目标： 1.1.知识目标：知识目标： (1)掌握三角函数在各象限的符号； (2)掌握同角三角函数的基本关系式及其变形公式，并能用以上公

23、式进行简单的三角函数式的计算. 2.2.能力目标：能力目标： 提高学生的归纳能力和逻辑思维能力. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 培养学生勇于探讨的精神. 二、教学重点：二、教学重点： 同角三角函数的基本关系式，三角函数在各象限的符号. 三、教学难点：三、教学难点： 利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式进行简单的三角函数式的计算、化简和证明.注意公式 的变形并在教学中精讲多练是解决难点的关键. 四、教学方法：四、教学方法： 讲授法、发现法、图示法与练习法相结合. 五、教学过程：五、教学过程： 复习复习 1. 请用框图表示任意角三角函数的定义； 2. 请用框图表示任意角三角函数的定义域

24、. 回答：回答：(参考上次课小结(略) 引入新课引入新课 任意角三角函数 定义 定义域 特殊角三角函数值 图 4-10 P(x， y) x y O o ( (二二) ) 正弦及余弦的单位圆表示正弦及余弦的单位圆表示 1.1.单位圆单位圆 在直角坐标系中，以原点为圆心，1个单位长度为半径的圆叫做单位圆单位圆. 设角的终边与单位圆的交点为 ),(yxP ，如图 4-10 所示，那 么 y y 1 sin ， x x 1 cos . 上式说明：的正弦值等于它的终边与单位圆交点P的纵坐标； 的余弦 值等于它的终边与单位圆交点P的横坐标.即角的终边与单位圆的交点为 )sin,(cosP (图 4-11)

25、. 例如， 30 ， 角的终边与单位圆的交点坐标为)30sin,30(cos ； 4 ，角的终边与单位圆的交点坐标为 ) 4 sin(), 4 (cos( . 2.2. 同角三角函数关系同角三角函数关系 引导学生观察单位圆会发现如下规律： 由于角的终边与单位圆的交点为 )sin,(cosP ，根据三角函数的定义和勾股定理，可以得到 cos sin tan x y ， 1cossin 222 r . 由此可以得到同角三角函数的重要关系： cos sin tan ， 1cossin 22 . (4.6) 利用这个结论，可以进行同角三角函数函数之间的转化. 3.3.终边相同角的同名三角函数值相等终边

26、相同角的同名三角函数值相等 由于角的终边与单位圆的交点为 )sin,(cosP ，当终边旋转 360的整数倍角度时，点 )sin,(cosP 又回到原来的位置，所以其三角函数值并不发生变化.由此得到结论：终边相同角的同名 三角函数值相同.即当 Zk 时有 tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k (4.7) 利用这个结论，可以将任意角的三角函数转化为0，2内的角的三角函数. 例例 4 4 求下列各三角函数值: (1) 4 9 cos ； (2) 780sin ； (3) ) 6 11 tan( . 解解 (1) 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos

27、 ； 图 4-11 P(x， y) x y O (2) 2 3 60sin)360260sin(780sin ； (3) 3 3 6 tan) 1(2 6 tan) 6 11 tan( . 4 4三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号 由于角的终边与单位圆的交点为 )sin,(cosP ，当点 )sin,(cosP 在第一象限时，因为第一 象限的点的横坐标与纵坐标都是正数，所以 0cos, 0sin ；当点 )sin,(cosP 在第二象限时， 因为第二象限的点的横坐标是负数与纵坐标是正数，所以 0cos, 0sin ；当点 )sin,(cosP 在 第三象限时，因为第三象限的点的横坐标

28、与纵坐标都是正负数，所以 0cos, 0sin ；当点 )sin,(cosP 在第四象限时，因为第四象限的点的横坐标是正数，与纵坐标是负数，所以 0cos, 0sin .将上面讨论的结果列表如下： 利用这个 结论，可以正 确判断任意角 三角函数值的 符号. 例例 5 5 确定下列各三角函数式的符号: (1) 6 7 sin ； (2) 170cos ； (3) )600tan( . 解解 (1) 因为 6 7 是第三象限的角，所以 6 7 sin 0； (2) 因为 170是第二象限的角，所以 170cos 0； (3) 因为 360)2(120600 ，所以 600 角是第二象限的角， 故

29、)600tan( 0. 例例 6 6 根据条件 sin 0且 tan 0，确定是第几象限的角. 解解 由 sin 0可知，是第三或第四象限的角(或的终边在轴的负半轴上)； 由 tan 0，可知是第二或第四象限的角.所以是第四象限的角. 练习题练习题 4.2.2.14.2.2.1 1求下列各三角函数值 (1) 6 5 cos ； (2) 750sin . 2求下列各式的值: (1) 180cos180tan30cos290sin5 ； (2) cos 2 3 sin 3 tan 3 1 4 tan 3 cos 2 ； 3. 确定下列各三角函数式的符号: 第一象限第二象限第三象限第四象限 sin

30、cos tan (1) 4 7 sin ； (2) 273cos ； (3) )300tan( . 参考答案参考答案 1(1) 2 3 ； (2) 2 1 . 2(1)2； (2) 2 1 . 3(1)负号； (2) 正号； (3) 正号 . 综合利用 2、3、4 的结论，还可以解决下列问题. 例例 7 7 已知 5 4 sin ，且是第二象限的角， 求 cos 和 tan . 解解 由 1cossin 22 ，可得 2 sin1cos .又因为是第二象限的角，故 cos 0. 所以 5 3 ) 5 4 (1sin1cos 22 ； 5 3 5 4 cos sin tan = 3 4 . 注意

31、注意：当求三角函数值需要运用平方关系(此时需要开平方)时，要特别注意符号的选择. 例例 8 8 已知 2tan ，求下列三角函数式的值: (1) cossin2 cos4sin3 ； (2) cossin2 . 解解 1 1 (1)由已知 2tan 得， 2 cos sin ，即 cos2sin .所以 cossin2 cos4sin3 = 3 10 cos3 cos10 cos)cos2(2 cos4)cos2(3 ； (2) 因为 2 cos sin ，将 cos2sin 代入关系式 1cossin 22 中得 5 1 cos2 ， 所以 5 4 5 1 22costan2cossin2

32、2 . 解解 2 2 由题设 2tan 知， 0cos ，所以 (1) 3 10 14 46 1tan2 4tan3 cossin2 cos4sin3 ； (2) 1tan tan2 cossin cossin2 1 cossin2 cossin2 222 5 4 12 22 2 . 例例 9 9 化简下列各式: (1) 1tan cossin ； (2) 1sec2 (为第一象限角). 解解 (1)原式= cos cos cossin cossin 1 cos sin cossin ； (2)原式= tantan cos cos1 1 cos 1 1sec 2 2 2 2 2 . 想一想想一

33、想：如果为第二象限角，上题(2)的结果会怎样？如果去掉所给角的条件，结果又会怎样？ 回答：回答：如果为第二象限角，则原式= tantantan1sec 22 ； 如果去掉所给角的条件，计算时应该讨论. 例例 1010 求证: 22 sectan1 . 证证 左边= 2 22 22 2 2 sec cos 1 cos sincos cos sin 1 =右边 所以原等式成立. 例例 1111 证明恒等式: x x x x cos sin1 sin1 cos . 证证 1 1 左边= x x x xx xx xx x x cos sin1 cos )sin1 (cos )sin1)(sin1 (

34、)sin1 (cos sin1 cos 2 =右边 所以原等式成立. 证证 2 2 因为 xx xxxx x x x x cos)sin1 ( )sin1)(sin1 (coscos cos sin1 sin1 cos = 0 cos)sin1 ( coscos cos)sin1 ( )sin1 (cos 2222 xx xx xx xx ， 所以 x x x x cos sin1 sin1 cos . 证证 3 3 因为 0cosx ，所以 0sin1x ，那么 0 cos sin1 x x . 于是 1 sin1 cos cos sin1 sin1 cos 2 2 x x x x x x

35、右边 左边 . 所以，原等式成立. 注意注意：(1)证明三角恒等式的方法，可以从一边推出另一边；也可以由两边推出同一解析式；两边之 差等于0；两边之比等于 1 或借助其他等式进行恒等变形等.尝试不同的证明和分析方法，可以提高逻辑 思维和推理能力； (2)当选择从一边推出另一边时，一般的判断思路是“由繁到易”. 想一想想一想:例 11 还有没有其他的证明方法？ 回答回答：比如还有(1)证 4 右边左边，所以，原等式成立； (2)证 5 左边-右边0 ，所以，原等式成立. 练习题练习题 4.2.2.24.2.2.2 1.已知 2 1 cos ，且是第四象限的角， 求 sin 和 tan . 2已知

36、 5tan ，求下列三角函数式的值: (1) cos3sin2 cos4sin ； (2) cossin3 . 3证明恒等式: cossin cossin 1tan 1tan . 参考答案参考答案 1(1) 2 3 ； 3 . 2(1) 7 1 ； (2) 26 15 . 3左边 1 cos sin 1 cos sin cos cossin cos cossin cossin cossin 右边. 六、小结：六、小结： 1本节课知识内容 (1)同角三角函数关系 (2)终边相同角的同名三角函数值相等. 同学补上同学补上 同角三角函数关系 1cossin 22 xx x x x cos sin t

37、an 倒数关系 tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k (3)三角函数在各象限的符号. 参考符号表. 2同角三角函数关系式中需要注意的问题 (1)要注意“同角”的概念，无论角如何变形，如 2 、 2 、等等，其“同角”关系不能变； (2)要熟记一些变形公式，如 xxxcostansin . (3)当三角函数值需要运用平方关系(此时需要开平方)时，要特别注意符号的选择. 七七. . 作业：作业： 作业：作业：习题 4.2 第 3、4、5、6、7 题. 4.24.2 任意角的三角函数任意角的三角函数( (三三) ) 一、教学目标：一、教学目标： 1.1.知识目标：知

38、识目标： (1)掌握三角函数的简化公式，并能利用简化公式进行化简和求值； (2)会利用计算器进行多种情况的三角函数的计算. 2.2.能力目标：能力目标： 培养学生灵活运用公式解决问题的能力. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 培养学生勇于探讨的精神. 二、教学重点：二、教学重点： 利用简化公式进行化简、求值和计算器的使用. 三、教学难点：三、教学难点： 三角函数的简化公式的建立.利用三角函数的几何意义讲解是解决难点的关键. 四、教学方法：四、教学方法： 发现法、讲授法、图示法与练习法相结合. 五、教学过程：五、教学过程： 复习复习 1. 请同学用框图描述同角三角函数关系； 2. 三角函数在

39、各象限的符号. 回答回答:请参考上次课小结. 引入新课引入新课 ( (三三) ) 简化公式简化公式 1 1提出问题提出问题 如何将任意角的三角函数求值问题转化为锐角三角函数的求值问题. 2.2. 负角的三角函数简化公式负角的三角函数简化公式 设单位圆 与任意角、 的终边的交点分别是P和 P (图 4-12).显然, 点P与 P 关于x轴对称.如果点P的坐标是 )sin,(cos ,那么点 P 的坐标 是 )sin,(cos .由于点 P 又是角 与单位圆的交点,所以点 P 的 坐标还应 该是 )sin(),(cos( .于是有 cos)cos( , sin)sin( . 由同角三角函数的关系式

40、知 tan cos sin )cos( )sin( )tan( . 于是得到 tan)tan( cos)cos( sin)sin( 利用公式(4.8),可以把求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值. 例例 1212 求下列三角函数值: (1) )60sin( ； (2) ) 3 19 cos( ； (3) )30tan( . 解解 (1) 2 3 60sin)60sin( ； (2) 2 1 3 cos)6 3 cos( 3 19 cos) 3 19 cos( ； (3) 3 3 30tan)30tan( 3.3. 角的三角函数简化公式角的三角函数简化公式 设单位圆与任意角和 的终边的交点

41、分别是P和 P (如图 4-13 所示).不难看出,点P和 P 关 于原点中心对称.如果点P的坐标是 )sin,(cos ,那么由对称关系知,点 P (4.8) 图 4 - 13 x y 图 4-12 x y P P 的坐标应该是 )sin,cos( .又由于点 P 为角 的终边与单位圆的交点,所以点 P 的坐标还应该 是 )sin(),(cos( . 于是,有 cos)cos( , sin)sin( . 由于 与 ,角 3 ,角 3 ,角 ) 12(k ,的终边相同,它们的同名三角函数 值相等,于是得到 tan) 12(tan cos) 12(cos sin) 12(sin k k k 由于

42、任意角都可以化为 )(Zkk 的形式,并且0 2 ,所以利用公式(4.4),(4.6),(4.7),可 以把求任意角的三角函数值的问题转化为求锐角的三角函数值问题. 例例 1313 求下列各三角函数值: (1) 4 9 cos ； (2) 3 8 tan ； (3) ) 6 55 sin( ； (4) 870cos ； (5) )1650sin( . 解解 (1) 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos ； (2) 3 3 tan) 3 tan()3 3 tan( 3 8 tan ； (3) 2 1 6 sin) 6 sin()9 6 sin() 6 55 sin( ； (4)

43、2 3 30cos)30cos()180530cos(870cos ； (5) 2 1 30sin)30sin()180930sin()1650sin( . 例例 1414 求证: (1) sin)sin( ； (2) cos)cos( . 证证 (1) sin)sin()sin()sin( ； (2) cos)cos()cos()cos( . 例例 1515 化简下列各式: (1) )cos()2sin()tan( )2tan()sin()2cos()sin( ； (2) 55sin210sin235sin150sin 222 . 解解 (1) 原式= sin )cos()sin(tan )

44、tan()sin(cossin ; (2) 原式= )3590(sin)18030sin(235sin)18030(sin 222 = 130sin230sin35cos30sin235sin30sin 2222 )(Zk (4.7) = 2 )30sin1 ( 30sin1 2 1 . 练习题练习题 4.2.34.2.3 1求下列各三角函数值： (1) ) 6 tan( ； (2) )390sin( ； (3) 1230cos ； (4) 6 17 sin ； (5) ) 3 8 cos( ； (6) 930tan . 2化简下列各式： (1) )sin( )3tan()2tan()cos(

45、 ； (2) )tan()cos( )tan()tan()2sin( . 参考答案参考答案 1(1) 3 3 ； (2) 2 1 ； (3) 2 3 ； (4) 2 1 ； (5) 2 1 ； (6) 3 3 . 2. (1) tan ， (2) 1 . ( (四四) ) 利用计算器求三角函数值利用计算器求三角函数值 一些特殊角的三角函数值，可以通过简化公式，转化为锐角进行计算.求一般角的三角函数 值，需要使用计算器来进行计算，下面通过例题说明计算方法. 例例 1616 利用计算器,求下列三角函数值(结果保留 4 个有效数字): (1) ) 7 5 sin( ；(2) 6 .227tan ；

46、(3) 5 3 cos ； (4) 5 . 4tan ； (5) 112227cos ；(6) )5200sin( . 解解 利用计算器求 ) 7 5 sin( 的流程图见教材，计算其他的三角函数值时，第三步则换为按相应函数 的键. 设置状态的方法是： 按两次 MODE ，显示 321 GraRadDeg ，表示进入角度单位状态选项，按 1 进入角度计算功能； 按 2 进入弧度计算功能. 输入角度数的方法是： 对于角度制，角度的输入用 键.在输入时要注意按照度、分、秒的顺序输入.有些角只有度、 秒，那么输入时要在分的位置补零，如输入 1532时，则应输入 15 0 32 ； 对于弧度制，可以直

47、接输入.注意有时需要添加括号，如输入 7 5 时，依次按键 ( SHIFT) 5 EXP 7 按照程序计算，得 (1) 7818 . 0 ) 7 5 sin( ；(2) 095 . 1 6 . 227tan ；(3) 5 3 cos -0.3090 (4) 5 . 4tan 4.637；(5) 112227cos 0.8880；(6) )2005sin( 0.4226. 做一做：做一做：利用函数型计算器，验证例 13 中各题结果. 练习题练习题 4.2.44.2.4 1求下列三角函数值: (1) )330sin( ； (2) ) 3 5 cos( ； (3) )45tan( . 2.求下列各三

48、角函数值： (1) 930sin ； (2) ) 3 10 tan( ； (3) ) 3 8 cos( ). 3化简下列各式： (1) )tan()cos( )tan()2sin( ； (2) cot)tan( )1080cos( )720sin( . 参考答案参考答案 1. (1) 2 1 ； (2) 2 1 ； (3) 1 . 2. (1) 2 1 ； (2) 3 ； (3) 2 1 . 3. (1) tan ； (2) tan . 六、小结：六、小结： 1本节课知识内容 2需要注意的问题 (1)要熟记特殊角三角函数值和三角函数的符号； (2)要熟记三角函数的定义域和值域； (3)要灵活选

49、用公式解决有关问题； *(4)综合利用简化公式、终边相同角的三角函数公式以及三角函数在各象限的符号等知识点，可以 简化一些三角函数的计算. 化简、求值、证明 同角三角函数的关系 三角函数的几何表示 三角函数简化公式 单 位 圆 任意角的三角函数 七七. .作业：作业： 作业作业：习题 4.2 第 3、8 题,达标训练 4.2 第 3、4、5、6、7 题. 4.34.3 三角函数的图像（一）三角函数的图像（一） 一、教学目标：一、教学目标： 1.1.知识目标：知识目标： （1）掌握正弦函数的图像，理解和掌握正弦函数的性质； （2）能够用五点法作出三角函数在一个周期上的图像. 2.2.能力目标：能

50、力目标： 培养学生的识图能力和数形结合能力. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 通过教学，使学生了解数形结合中的哲学思想. 二、教学重点：二、教学重点： 正弦函数的图像和性质. 三、教学难点：三、教学难点： 三角函数的周期以及数形结合的思想.解决难点的关键是讲清函数周期的定义，并结合单位圆进行分 析研究. 四、教学方法：四、教学方法： 讲授法、图示法与练习法相结合. 五、教学过程：五、教学过程： （一）（一） 正弦函数的图像及性质正弦函数的图像及性质 1.1. 周期周期 由正弦函数的定义域、值域和简化公式 )(sin)2sin(Zkk 可以看到，当角相差 )(2Zkk 时,函数值相同,即正

51、弦函数值是按照一定规律重复出现的.这种现象同本章引言中提到扳手 每旋转过 360就回到原来位置的现象一样，都是周期现象 周期现象. 想一想想一想：在单位圆中，能否观察出正弦函数的周期现象？ (根据图像分析，略) 一般地,对于函数 )(xfy ,如果存在一个不为零的常数T,当x取定义域D内的每一个值时,都有 DTx ,并且等式 )()(xfTxf 成立,那么,函数 )(xfy 叫做周期函数周期函数,常数T叫做这个函数的周期周期. . 显然,正弦函数是周期函数, 2 , 4 , 6 ,及 2 , 4 ,都是它的周期. 通常把周期最小的正数叫做函数的最小正周期最小正周期，简称周期周期，仍用T表示.今

52、后我们研究的函数的周期,都 是指最小正周期.因此,正弦函数的周期都是正弦函数的周期都是 2 . 2.2. 正弦函数的图像正弦函数的图像 由周期性的定义可知,在区间长度为 2 的区间上,例如 2 , 0 , 0 ,2 , 4 ,2 ,，正弦函数的图 像相同，它们可以由平移 2 , 0 上的图像得到.因此，我们重点研究正弦函数在 2 , 0 上的图像. 下面采用描点法作函数 xysin 在 2 , 0 上的图像. 把区间 2 , 0 分成 12 等份,并且分别求得函数 xysin 在各分点及区间端点的函数值,列表如下： 以表中 的 yx, 值为 坐标描点， 用光滑曲线 联结这些点，得到 2 , 0

53、,sinxxy 的图像(如图 4-15 所示). （注：插入动画）（注：插入动画） 将该图像向左或向右平移 2 , 4 ,就得到 R,sinxxy 的图像(如图 4-16 所示).正弦函数的 图像叫做正弦曲线正弦曲线. （注：插入动画）（注：插入动画） 3.3. 课件欣课件欣 赏赏： 通过课件的 演示，说明正弦 函数图像的几何 作法. * * 4.4. 有界有界 函数的概念函数的概念 我们发现，正弦曲线夹在两条直线 11yy、 之间，即对任意的角x，都有 1sinx 成立，函数的这种性质叫做有界性有界性. 一般地，设函数 )(xfy 在区间 ),(ba 有定义，如果存在一个正数 M，对任意的

54、),(bax 都有 x0 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 112 xysin 00.50.8710.870.500-0.50-0.87-1-0.87-0.500 图 4-15 x y 2 x 2 x 2 3 2 x x 0 - 1 1 图 4-16 x y 0 2 y 4 y 2 y 4 y 1 - 1 Mxf)( ，那么函数 )(xfy 叫做区间 ),(ba 内的有界函数有界函数.如果这样的M不存在，函数 )(xfy 叫 做区间 ),(ba 内的无界函数无界函数. 显然，正弦函数是 R 内的有界函数. 5.5. 正弦函数的性质正弦函数的性质 观察正弦曲线,可以

55、得到 R,sinxxy 的如下性质: (1) 定义域：实数集 R R. (2) 值域： 1 , 1 . (3) 有界性：正弦函数是 R R 内的有界函数. (4) 周期性: xysin , Rx 是周期函数,周期为 2 . (5) 奇偶性: xysin , Rx 是奇函数. (6) 单调性:由 xysin 的图像或单位圆可知, 正弦函数在每一个闭区间 kk2 2 ,2 2 ( Zk )上都是单调增函数,其函数值由 1 增大到1,当 Z)(2 2 kkx 时, 1y xam ；在每一个闭 区间 kk2 2 3 ,2 2 ( Zk )上都是单调减函数,其函数值由1减小到 1 ,当 Z)(2 2 k

56、kx 时, 1y nim . 6.6. 五点法作图五点法作图 通过对正弦曲线的观察和对正弦函数的性质的研究,可以发现 xysin 在 2 , 0 上的图像中有以下五 个关键点: )0 , 0( , 1 , 2 , 0 , , 1, 2 3 , 0 ,2 这五个点描出后,正弦函数 xysin , 2 , 0 x 的图像的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求 不高时,经常首先描出这关键的五个点,然后用光滑的曲线把它们联结起来,从而得到正弦函数在 2 , 0 上 的简图.这种作图方法叫做“五点法五点法”. 例例 1 1 利用“五点法”作函数 xysin1 在 2 , 0 上的图像. 解解 列表 x

57、0 2 2 3 2 xsin010-10 xysin1 12101 以表中每组 ),(yx 为坐标描点连线,得 xysin1 在 2 , 0 上的图像（图 4-17）. 图 4-17 x 2 1 o y 2 32 2 例例 2 2 已知 a 4 2 sin , 求a的取值范围. 解解 因为 1sinx ，所以 1 4 2 a ,即 1 4 2 a . 当 4a 时,不等式转化为 24 a . 于是有 24a 或 24a , 解得 2a 或 6a . 故a的取值范围是 ), 62 ,( . 例例 3 3 求使函数 xy2sin 取得最大值的x的集合,并指出最大值是多少. 解解 设 xu2 ,则使

58、函数 uysin 取得最大值 1 的集合是 Z,2 2 kkuu ， 即 kux2 2 2 , 解得 kx 4 . 故所求集合为 Z, 4 kkxx ，函数 xy2sin 的最大值是1. 想一想：想一想：求形如函数 xysin 、 )sin(xy 、 )sin(xAy 和 kxAy)sin( 的最大值与最小值，有什么解题规律？ 解题规律解题规律: 形如函数 xysin 、 )sin(xy 、 )sin(xAy 和 kxAy)sin( 的 最大值与最小值分别是函数的系数 )0(AAA、 . 例例 4 4 不通过求值,比较 ) 18 sin( 与 ) 10 sin( 的值的大小. 解解 因为 21

59、0 18 2 ，且 xysin 在 2 , 2 是单调增函数, 所以 ) 18 sin() 10 sin( . 练习题练习题 5.3.15.3.1 1利用“五点法”作函数 xysin 在 2 , 0 上的图像. 2利用“五点法”作函数 xysin2 在 2 , 0 上的图像. 参考答案：参考答案：（略） 六、小结：六、小结： 七七. . 练习与作业：练习与作业： 练习练习：习题 4.3 第 1 题. 参考答案：参考答案：（略） 作业：作业：习题 4.3 第 2(1) 、3（1）、4、5（1）题,达标训练 4.3 第 1、2 题. 4.34.3 三角函数的图像（二）三角函数的图像（二） 一、教学

60、目标：一、教学目标： 1.1.知识目标：知识目标： （1）掌握余弦函数和正切函数的图像； （2）理解和掌握余弦函数和正切函数的性质； （3）能够用五点法作出三角函数在一个周期上的图像. 2.2.能力目标：能力目标： 培养学生的识图能力和数形结合能力. 3.3.思想品质目标：思想品质目标： 通过教学，使学生了解数形结合中的哲学思想. 二、教学重点：二、教学重点： 余弦函数和正切函数的图像和性质. 三、教学难点：三、教学难点： 数形结合的思想.解决难点的关键是结合单位圆以及与正弦函数进行对比分析研究. 正弦函数 周期的概念 正弦函数的图像 一个周期内的图像 定义域内的图像 五点法作图 正弦函数的性