高中数学 探究导学课型 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 新人教版必修4

1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(二,自主预习】 1.你能根据同角三角函数基本关系式tan= 从 两角和与差的正弦、余弦公式出发,推导出用任意角 ,的正切值表示tan(+),tan(-)的公式吗? 试一试,提示:当cos(+)0时,tan(+)= 当coscos0时,分子分母同除以coscos,得 tan(+)= 根据,的任意性,在上面式子中,以-代替得 tan(-),2.在两角和与差的正切公式中,的取值是任意的吗? 提示:在公式T(+),T(-)中,都不能等于k+ (kZ,结合以上探究过程,试着写出两角和与差的正切公式: tan(+)= .(T(+) tan(-)= .(T(,

2、深度思考】 结合教材P130例4(3)你认为应如何应用两角和差的正 切公式? 第一步:_. 第二步:_,将已知或所求式化成符合公式的形式,正用或反用公式求值,预习小测】 1.若tan =3,则tan的值为(,2. =(,解析】选A. =tan(82-22) =tan60=,3.若tan=3,则tan =. 【解析】因为tan=3,所以tan =-2. 答案:-2,4.已知tan=2,tan=5,则tan(-)=. 【解析】tan(-)= 答案,备选训练】已知cos=- , ,求 tan . (仿照教材P129例3的解析过程,解析】因为cos,互动探究】 1.tan(+)= 等价于tan+tan

3、= tan(+)(1-tantan)吗,提示:是的.当k+ (kZ),k+ (kZ), +k+ (kZ)时,有前一个式子两边同乘以 1-tantan可得后一个式子,当tantan=1时, +=k+ ,kZ,tan(+)无意义,所以 tantan1,所以后一个式子两边同除以 1-tantan可得前一个式子成立,故两式等价,2.两角和与差的正切公式的常用变形有哪些? 提示:(1)tan+tan=tan(+)(1-tantan). (2)tan-tan=tan(-)(1+tantan). (3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+). (4)tantan= (5)tantan= -1

4、,探究总结】 知识归纳,注意事项:(1)必须在定义域范围内使用上述公式.tan,tan,tan()只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能用诱导公式. (2)注意公式的结构,尤其是符号,题型探究】 类型一:公式的应用和变形应用 【典例1】(1) =. (2)(2016烟台高一检测)tan19+tan26 +tan19tan26,解题指南】(1)根据tan60= ,把 用tan60代 换,逆用两角和的正切公式. (2)tan19+tan26与tan19tan26同时出现在 tan(19+26)的展开式中,可先用tan(19+26)与 tan19tan26表示出tan19+tan26,再化简求值,

5、解析】(1) =tan(60+75)=tan135=-1. 答案:-1,2)因为tan(19+26)= 所以tan19+tan26 =tan(19+26)(1-tan19tan26), =1-tan19tan26, 所以tan19+tan26+tan19tan26 =1-tan19tan26+tan19tan26=1. 答案:1,规律总结】利用公式T()化简求值的两点说明 (1)分析式子结构,正确选用公式形式: T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换,2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:

6、 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“ ” 时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代 换,如“1=tan ”“ =tan ”,这样可以构造出利 用公式的条件,从而可以进行化简和求值,巩固训练】求下列各式的值,2)(1+tan25)(1+tan 20,解析】(1)原式= =tan(45-75)=tan(-30)=-tan30= (2)原式=1+tan20+tan25+tan25tan20 =tan(20+25)(1-tan20tan25)+1+ tan25tan20 =2,类型二:给值求值(角) 【典例2】(1)(2016金华高一检测)已知tan(-) = ,tan=- ,(

7、0,),则2-=. (2)已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且tanA,tanB是 方程3x2+8x-1=0的两个实根,求tanC,解题指南】(1)由=(-)+,求出的正切,再由2-=+(-),求2-的正切,从而得出2-的值. (2)利用根与系数的关系求出tanAtanB和tanA+tanB,再求出tan(A+B),由A+B+C=得出tanC的值,解析】(1)tan=tan(-)+ 又(0,),所以 , tan(2-)=tan+(,而tan=- ,(0,),故 , 所以2-(-,0),所以2-=- . 答案:,2)因为tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个实根,所以 tanA

8、+tanB=- ,tanAtanB=- , 所以tan(A+B)= =-2.又A+B+C=, 所以tanC=tan-(A+B)=-tan(A+B)=2,延伸探究】 1.典例(2)中条件“tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个实根”去掉,问法改为“求证tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC,证明】因为A,B,C是三角形的内角,由两角和的正切公式及tan(A+B)=-tanC得 tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB) =-tanC+tanAtanBtanC, 所以tanA+tanB+tanC=tanAtanB

9、tanC,2.典例(2)中的方程“3x2+8x-1=0”改为“3x2+8x-m =0”,求tanC的取值范围,解析】由题意得=82+12m0,所以m- .因为 tanA,tanB是方程3x2+8x-m=0的两个实根,所以 tanA+tanB=- ,tanAtanB=- ,则A,B中有一个为钝角, 从而- 0,tan(A+B)= 所以tanC=tan-(A+B)= 由m0得0tanC,规律总结】 1.从三个角度入手直接利用公式T()求值 (1)复角化单角:公式tan(-)= 及 tan(+)= 反映了复角化单角的思想,即 要求的正切函数值,只需知道tan和tan的值, 代入求解便可,2)整体意识

10、:公式T()中有两个小团体“tantan”及“tantan”,求解时可利用整体思想代入求解. (3)角的配凑:公式T()中,只代表了角的某一形式,其可能是单纯的,也可能是某些小团体,2.利用公式T()求角的步骤 (1)求值.计算待求角的正切函数值. (2)求范围.借助已知角的范围及题目隐含信息,求相关角的范围,注意角的范围越小越好. (3)求角.借助角的范围及角的三角函数值求角,补偿训练】已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且ab, 则 =() A.7B.-7C. D.,解析】选A.因为a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且ab, 故3cosx=4sinx,即tanx=,类型三:和(差)角的正切公式的综合应用 【典例3】已知ABC中,tanB+tanC+ tanBtanC= , 且 tanA+ tanB=tanAtanB-1,试判断ABC的形状,解题指南】利用条件,逆用两角和的正切公式求C与A的值进而判断ABC的形状,解析】因为 tanA+ tanB=tanAtanB-1, 所以 (tanA+tanB)=tanAtanB-1, 所以 所以tan(A+B)=- , 又因为0A+B,所以A+B= ,所以C=