九年级数学上册锐角三角函数课件湘教版

1、期末复习,第,4,章,锐角三角函数,题,型,归,类,过,关,训,练,题,型,归,类,题型一,锐角三角函数的概念,1,如图,1,在,Rt,ABC,中,BAC,90,AD,BC,于点,D,则下列,结论不正确的是,A,sin,B,AD,AB,B,sin,B,AC,BC,C,sin,B,AD,AC,D,sin,B,CD,AC,C,图,1,2,如图,2,在网格中，小正方形的边长均为,1,点,A,B,C,都在格点上，则,ABC,的正切值是,A,2,B,2,5,5,C,5,5,D,1,2,D,图,2,解析,1,在,Rt,ABC,中,BAC,90,sin,B,AC,BC,AD,BC,sin,B,AD,AB,s

2、in,B,sin,DAC,CD,AC,综上，只有,C,不正确故选,C,2,如答图，连接,AC,例,1,答图,由勾股定理，得,AC,2,AB,2,2,BC,10,AB,2,AC,2,BC,2,ABC,为直角三角形,CAB,90,tan,ABC,AC,AB,1,2,故选,D,点悟,把握好锐角三角函数的定义是解这类问题的关键当题中没有直角,三角形时，通常根据已知条件构造一个直角三角形，然后利用三角函数的定义求,解,变式跟进,1,2018,井研县模拟,如图,3,在平面直角坐标系中,的一边与,x,轴正半,轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点,A,1,2,那么,sin,的值为,A,2,5,5,B,1,2,C

3、.2,D,5,5,A,解析,由图可得,OA,1,2,2,2,5,sin,2,5,2,5,5,故选,A,图,3,2,如图,4,Rt,ABC,中,C,90,AB,6,cos,B,2,3,则,BC,的长为,A,4,B,2,5,C,18,13,13,D,12,13,13,解析,cos,B,BC,AB,BC,AB,cos,B,6,2,3,4,A,图,4,题型二,特殊角的三角函数值,已知,均为锐角，且满足,sin,1,2,tan,1,2,0,则,解析,sin,1,2,tan,1,2,0,sin,1,2,tan,1,30,45,30,45,75,75,点悟,解这类问题，关键是熟悉,30,45,60,角的三角

4、函数值本题中,同时要注意非负数性质的应用,变式跟进,3,cos 45,的值等于,A,1,2,B,2,2,C,3,2,D,3,B,4,2018,广西北部经济湾区,计算,4,3tan 60,12,1,2,1,解,原式,4,3,3,2,3,2,3,2,题型三,解直角三角形,如图,5,在,ABC,中,A,30,B,45,BC,6,求,AB,的长,图,5,解,如答图，过点,C,作,CD,AB,B,45,CD,BD,BC,6,CD,BD,3,A,30,tan 30,CD,AD,AD,CD,tan 30,3,3,3,3,AB,AD,BD,3,3,例,3,答图,点悟,在一个三角形中,如果已知角度或者角的三角函

5、数值求线段的长度,通常可考虑利用解直角三角形的知识求解如果没有直角三角形，可通过作辅助,线构造直角三角形,变式跟进,5,如图,6,在,ABC,中,AD,BC,垂足是,D,若,BC,14,AD,12,tan,BAD,3,4,求,sin,C,的值,图,6,解,AD,BC,tan,BAD,BD,AD,tan,BAD,3,4,AD,12,BD,9,CD,BC,BD,14,9,5,在,Rt,ADC,中,AC,AD,2,CD,2,12,2,5,2,13,sin,C,AD,AC,12,13,6,2018,秋,渝中区校级月考,如图,7,已知四边形,ABCD,中,B,90,ADC,90,AB,6,CD,4,BC

6、,的延长线与,AD,的延长线交于点,E,结果保留根,号,图,7,1,若,A,60,求,BC,的长,2,若,sin,A,4,5,求,AD,的长,解,1,A,60,B,90,AB,6,tan,A,BE,AB,BE,AB,tan,A,6,tan 60,6,3,又,CDE,90,CD,4,E,90,60,30,sin,E,CD,CE,CE,CD,sin,E,4,sin 30,8,BC,BE,CE,6,3,8,2,B,90,AB,6,sin,A,BE,AE,4,5,设,BE,4,x,则,AE,5,x,得,AB,3,x,3,x,6,解得,x,2,BE,8,AE,10,tan,E,AB,BE,3,4,又,t

7、an,E,CD,DE,4,DE,4,DE,3,4,解得,DE,16,3,AD,AE,DE,10,16,3,14,3,题型四,利用解直角三角形测量物体的高度,或宽度,如图,8,大楼,AB,右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼,DE,在小楼的顶端,D,处测得障碍物边缘点,C,的俯角为,30,测得大楼顶端,A,的仰角为,45,点,B,C,E,在同一水平直线上,已知,AB,80 m,DE,10 m,求障碍物,B,C,两点间的距离,结果精确到,0.1 m,参考数据,2,1.414,3,1.732,图,8,解析,如答图，过点,D,作,DF,AB,于点,F,过点,C,作,CH,DF,于点,H,通过解,R

8、t,AFD,得到,DF,的长度，再通过解,Rt,CDE,得到,CE,的长度，则,BC,DF,CE,例,4,答图,解,如答图，过点,D,作,DF,AB,于点,F,过点,C,作,CH,DF,于点,H,则,DE,CH,BF,10 m,在,Rt,ADF,中,AF,80,10,70 m,ADF,45,DF,AF,70 m,在,Rt,CDE,中,DE,10 m,DCE,30,CE,DE,tan 30,10,3,3,10,3,m,BC,DF,CE,70,10,3,70,17.32,52.7 m,答：障碍物,B,C,两点间的距离约为,52.7 m,点悟,仰角、俯角问题通常涉及两个仰角或两个俯角或一个仰角、一个

9、俯,角，解题时，往往是利用三角函数的定义分别在那两个角所在的直角三角形中求,出相应线段的长度，从而得解当题中的关系比较复杂时，有时也可先设未知数,用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程,求解,变式跟进,7,如图,9,某建筑物,AC,顶部有一旗杆,AB,且点,A,B,C,在同一条直线上,小明在地面,D,处观测旗杆顶端,B,的仰角为,30,然后他正对建筑物的方向前进了,20,m,到达地面的,E,处，又测得旗杆顶端,B,的仰角为,60,已知建筑物的高度,AC,为,12 m,求旗杆,AB,的高度,结果精确到,0.1 m,参考数据,3,1.73,2,1.41,图,9,解,

10、BEC,60,BDE,30,DBE,60,30,30,BE,DE,20 m,在,Rt,BEC,中,BC,BE,sin 60,20,3,2,10,3,17.3 m,AB,BC,AC,17.3,12,5.3 m,答：旗杆,AB,的高度约为,5.3 m,题型五,利用解直角三角形解决方位角问题,如图,9,一艘轮船位于灯塔,P,的南偏西,60,方向，距离灯塔,20,海里的,A,处，它向东航行多少海里到达灯塔,P,南偏西,45,方向上的,B,处,参考数据,3,1.732,结果精确到,0.1,图,9,解,如答图，过点,A,作,AC,PC,由题意得,APC,60,BPC,45,AP,20,在,Rt,APC,中

11、,cos,APC,PC,AP,PC,20,cos 60,10,AC,20,2,10,2,10,3,在,Rt,PBC,中,BPC,45,例,5,答图,PBC,为等腰直角三角形,BC,PC,10,AB,AC,BC,10,3,10,7.3,答：它向东航行约,7.3,海里到达灯塔,P,南偏西,45,方向上的,B,处,点悟,对于方位角问题，首先要明白方位角的表示方法，然后是将实际问,题抽象成数学问题，将它转化到直角三角形中去求解,变式跟进,8,2018,桂林,如图,11,所示，在某海域，一艘指挥船在,C,处收到渔船在,B,处,发出的求救信号经确定，遇险抛锚的渔船所在的,B,处位于,C,处的南偏西,45,

12、方,向上，且,BC,60,海里；指挥船搜索发现，在,C,处的南偏西,60,方向上有一艘海监,船,A,恰好位于,B,处的正西方向于是命令海监船,A,前往搜救，已知海监船,A,的,航行速度为,30,海里,小时，问渔船在,B,处需要等待多长时间才能得到海监船,A,的,救援,结果精确到,0.1,小时，参考数据,2,1.41,3,1.73,6,2.45,图,11,解,A,在,B,的正西方，延长,AB,交南北轴于点,D,则,AB,CD,于点,D,如,答图,BCD,45,BD,CD,BD,CD,在,Rt,BDC,中,cos,BCD,CD,BC,BC,60,海里,即,cos 45,CD,60,2,2,解得,C

13、D,30,2,海里,变形跟进,8,答图,BD,CD,30,2,海里,在,Rt,ADC,中,tan,ACD,AD,CD,即,tan 60,AD,30,2,3,解得,AD,30,6,海里,AB,30,6,30,2,30,6,2,海里,海监船,A,的航行速度为,30,海里,小时,渔船在,B,处需要等待的时间为,AB,30,30,6,2,30,6,2,2.45,1.41,1.0,小时,答：渔船在,B,处需要等待约,1.0,小时,题型六,利用解直角三角形解决坡度问题,2018,秋,渝中区期末,如图,12,所示，某人在山坡坡脚,A,处测得电视塔,尖点,C,的仰角为,60,沿山坡向上走到,P,处再测得,C,

14、的仰角为,45,已知,OA,200,m,山坡坡比为,1,3,且,O,A,B,在同一条直线上求电视塔,OC,的高度以及此,人所在的位置点,P,的铅直高度,测倾器的高度忽略不计，结果保留根号,图,12,解,如答图，过点,P,作,PE,OB,于点,E,PF,CO,于点,F,在,Rt,AOC,中,AO,200 m,CAO,60,CO,AO,tan 60,200,3,m,设,PE,x,m,tan,PAE,PE,AE,1,3,AE,3,x,m,例,6,答图,在,Rt,PCF,中,CPF,45,CF,200,3,x,PF,OA,AE,200,3,x,PF,CF,200,3,x,200,3,x,解得,x,50

15、,3,1) m,答,电视塔,OC,的高度是,200,3,m,此人所在的位置点,P,的铅直高度是,50,3,1) m,点悟,对于坡度问题,将坡比转化为线段的比,并寻找合适的直角三角形,利用直角三角形的边角关系建立方程是解题的关键,变式跟进,9,图,13,是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是,10 m,CB,DB,坡面,AC,的倾斜角为,45,为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面,DC,的坡度,i,3,3,若新坡角下需留,3 m,宽的人行道，问离原坡角,A,点处,10 m,远的,建筑物是否需要拆除,参考数据,2,1.414,3,1.732,图,13,解,建筑物需要拆除理由如下,C

16、B,AB,CAB,45,BC,10 m,AB,BC,10 m,在,Rt,BCD,中，新坡面,DC,的坡度,i,3,3,即,BC,BD,3,3,10,BD,3,3,解得,BD,10,3,m,AD,BD,AB,10,3,10,7.3 m,3,7.3,10.310,建筑物需要拆除,过,关,训,练,1,如果锐角,的正弦值为,3,3,那么下列结论中正确的是,A,30,B,45,C. 30,45,D,45,60,C,2,如图,14,在,Rt,ABC,中,C,90,B,30,AB,8,则,BC,的长是,图,14,A,4,3,3,B,4,C.8,3,D,4,3,D,解析,在,Rt,ABC,中,C,90,B,3

17、0,AB,8,cos,B,BC,AB,即,cos 30,BC,8,BC,8,3,2,4,3,故选,D,3,下列式子中错误的是,A,cos 40,sin 50,B,tan 15,tan 75,1,C,sin,2,25,cos,2,25,1,D,sin 60,2sin 30,解析,A,sin 50,cos (90,50,cos 40,故正确,B,15,75,90,画图计算可知,B,正确,C,sin,2,25,cos,2,25,1,正确,D,sin 60,3,2,sin 30,1,2,则,sin 60,2sin 30,错误,故选,D,D,4,如图,15,小雅家,图中点,O,处,门前有一条东西走向的公

18、路，经测得有一水,塔,图中点,A,处,在距她家北偏东,60,方向的,500 m,处,那么水塔所在的位置到公路,的距离,AB,是,A,A,250 m,B,250,3,m,C,500,3,3,m,D,500,2,m,图,15,解析,由题意得,AOB,90,60,30,OA,500 m,AB,OB,ABO,90,AB,1,2,OA,250 m,故选,A,5,如图,16,热气球的探测器显示，从热气球,A,处看一栋楼顶部,B,处的仰角,为,30,看这栋楼底部,C,处的俯角为,60,热气球,A,处与楼的水平距离为,120 m,则这栋楼的高度为,A,160,3,m,B,120,3,m,C,300 m,D,1

19、60,2,m,A,图,16,解析,如答图，过点,A,作,AD,BC,于点,D,则,BAD,30,CAD,60,AD,120 m,在,Rt,ABD,中,BD,AD,tan 30,120,3,3,40,3,m,在,Rt,ACD,中,CD,AD,tan 60,120,3,120,3,m,BC,BD,CD,160,3,m,故选,A,第,5,题答图,6,2018,秋,南昌期末,如图,17,小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆,的高度,旗杆,PA,的高度与拉绳,PB,的长度相等,小明将,PB,拉到,PB,的位置,测,得,PB,C,B,C,为水平线,测角仪,B,D,的高度为,1 m,则旗杆,PA,的高度,

20、为,A,1,1,sin,m,B,1,1,sin,m,C,1,1,cos,m,D,1,1,cos,m,A,图,17,7,如图,18,在,Rt,ABC,中,C,90,AB,13,AC,7,则,sin,B,图,18,7,13,8,如图,19,在,ABC,中,C,150,AC,4,tan,B,1,8,图,19,1,求,BC,的长,2,利用此图形求,tan 15,的值,结果精确到,0.1,参考数据,2,1.4,3,1.7,5,2.2,解,1,过,A,作,AD,BC,交,BC,的延长线于点,D,如答图,1,所示,在,Rt,ADC,中,AC,4,ACB,150,ACD,30,AD,1,2,AC,2,CD,A

21、C,cos 30,4,3,2,2,3,在,Rt,ABD,中,tan,B,AD,BD,2,BD,1,8,BD,16,BC,BD,CD,16,2,3,第,8,题答图,1,2,在,BC,边上取一点,M,使得,CM,AC,连接,AM,如答图,2,所示,ACB,150,AMC,MAC,15,MD,4,2,3,tan 15,tan,AMD,AD,MD,2,4,2,3,1,2,3,1,2,1.7,0.3,第,8,题答图,2,9,2018,邵阳,某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造,成斜坡式自动扶梯如图,20,所示，已知原阶梯式自动扶梯,AB,的长为,10 m,坡角,ABD,为,30,改造后

22、的斜坡式自动扶梯的坡角,ACB,为,15,请你计算改造后的,斜坡式自动扶梯,AC,的长度,结果精确到,0.1,m,参考数据,sin,15,0.26,cos,15,0.97,tan 15,0.27,图,20,解,在,Rt,ABD,中,ABD,30,AB,10 m,AD,AB,sin,ABD,10,1,2,5 m,在,Rt,ACD,中,ACD,15,sin,ACD,AD,AC,AC,AD,sin,ACD,5,sin 15,5,0.26,19.2 m,答：改造后的斜坡式自动扶梯,AC,的长度约为,19.2 m,10,2018,宿迁,如图,21,为了测量山坡上一棵树,PQ,的高度，小明在点,A,处,利

23、用测角仪测得树顶,P,的仰角为,45,然后他沿着正对树,PQ,的方向前进,10 m,到,达点,B,处，测得树顶,P,和树底,Q,的仰角分别是,60,和,30,设,PQ,AB,且垂足为,C,图,21,1,求,BPQ,的度数,2,求树,PQ,的高度,结果精确到,0.1 m,参考数据,3,1.73,解,1,PBC,为直角三角形，且,PBC,60,BPQ,90,60,30,2,PBQ,PBC,QBC,60,30,30,PBQ,BPQ,BQ,PQ,设,CQ,的高度为,x,则,PQ,BQ,2,x,BC,3,CQ,3,x,A,45,AC,PC,即,10,3,x,2,x,x,解得,x,5,3,3,3,PQ,2

24、,5,3,3,3,15.8 m,树,PQ,的高度约为,15.8 m,11,2018,衢州,五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头,A,处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家,C,在自己的北偏东,45,方向，于是沿河,边笔直的绿道,l,步行,200 m,到达,B,处,这时定位显示小陈家,C,在自己的北偏东,30,方向，如图,22,所示,图,22,根据以上信息和对话，请你帮小明算一算，他还需沿绿道继续直走多少米才,能到达桥头,D,处,结果精确到,1 m,参考数据,2,1.414,3,1.732,解,设,BD,x,m,则,AD,200,x,m,在,Rt,ACD,中,CAD,45,CD,AD

25、,200,x,m,在,Rt,BCD,中,CBD,60,CD,BD,tan 60,3,x,m,200,x,3,x,解得,x,200,3,1,100,3,1,273,答：小明还需沿绿道继续直走约,273 m,才能到达桥头,D,处,12,2018,德州,如图,23,两座建筑物的水平距离,BC,为,60 m,从,C,点测得,A,点的仰角,为,53,从,A,点测得,D,点的俯角,为,37,求两座建筑物的高度,参考数据,sin 37,3,5,cos 37,4,5,tan 37,3,4,sin 53,4,5,cos 53,3,5,tan 53,4,3,图,23,解,如答图，过点,D,作,DE,AB,于点,E

26、,则,DE,BC,60 m,第,12,题答图,ACB,53,tan 53,4,3,在,Rt,ABC,中,tan,ACB,AB,BC,AB,BC,tan,ACB,60,4,3,80 m,ADE,37,tan 37,3,4,在,Rt,ADE,中,tan,ADE,AE,DE,AE,DE,tan,ADE,60,3,4,45 m,BE,AB,AE,80,45,35 m,CD,BE,35 m,答：建筑物,AB,的高度约为,80 m,建筑物,CD,的高度约为,35 m,13,如图,24,禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在,A,处接到指挥部通知,在他们北偏东,45,方向上距离,12,海里的,B,处有一艘捕渔船,正在沿南偏东,75,方向以,10,海里,h,的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以,14,海里,h,的速度沿北偏东某一方向出发，在,C,处成功