复数经典例题(最新整理)

1、经典例题透析类型一：复数的有关概念a2 - 7a + 6例 1已知复数 z =+ (a2a2 -1- 5a - 6)i (a r) ，试求实数 a 分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的 a 值.解析：（1） 当 z 为实数时，a2 - 5a - 6 = 0a = -1或a = 6有a2 -1 0 a 1 a = 6 ，当 a = 6 时，z 为实数.（2） 当 z 为虚数时，a2 - 5a - 6 0a -1且a 6有a2 -1 0 a 1 a 1且a 6

2、，当 a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z 为虚数.（3） 当 z 为纯虚数时，a2 - 5a - 6 0有 a2 - 7a + 6 =a -1且a 6a = 6 a a2 -10不存在实数 a 使 z 为纯虚数.a2 - 7a + 62总结升华：由于 ar，所以复数 z 的实部与虚部分为a2 -1与 a- 5a - 6 .求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；求解第（3）小题时，既要考虑实数为 0（当然也要考虑分母不为 0），还需虚部不为 0，两者缺一不可.举一反三：【变式

3、1】设复数 z=a+bi（a、br），则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（）aa=0ba=0 且 b0ca0 且 b=0da0 且 b0【答案】a；由纯虚数概念可知：a=0 且 b0 是复数 z=a+bi（a、br）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 a.【变式 2】若复数(a2 - 3a + 2) + (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为（）a.1b.2c.1 或 2d.-1【答案】b； (a2 - 3a + 2) + (a -1)i 是纯虚数， a2 - 3a + 2 = 0 且 a -1 0 ，即 a = 2 .【变式 3】如果复数(m

4、2 + i)(1+ mi) 是实数，则实数 m=（）22a1b1cd -【答案】b；【变式 4】求当实数 m 取何值时，复数 z = (m2 - m - 2) + (m2 - 3m + 2)i 分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1） 当 m2 - 3m + 2 = 0 即 m = 1或 m = 2 时，复数 z 为实数；（2） 当 m2 - 3m + 2 0 即 m 1且 m 2 时，复数 z 为虚数；m2 - m - 2 = 0（3）当m2- 3m + 2 0即 m = -1时，复数 z 为纯虚数.类型二：复数的代数形式的四则运算例 2. 计算：（1） in(n n+

5、) ；(2) (1+ i)8(1 - 4i)(1 + i) + 2 + 4i(3) (1+ 2i) (1- 2i) ;(4)解析：3 + 4i(1) i2 = -1 ， i3 = i2 i = -i ， i4 = i2 i2 = 1 ，同理可得：当 n = 4k +1 (k n+ ) 时， i4k+1 = i4k i = (i4 )k i = i当 n = 4k + 2 (k n+ ) 时， i4k+2 = i4k i2 = -1，当 n = 4k + 3(k n+ ) 时， i4k+3 = i4k i3 = -i当 n = 4k + 4 (k n+ ) 时， i4k = i4k i4 = (

6、i4 )k = 1，i-1-i in = 1（n = 4k +1，k n）（n = 4k + 2，k n）（n = 4k + 3，k n）（n = 4k + 4，k n）(n n+ )(2) (1+ i)8 = (1+ i)2 4 = (2i)4 = 24 i4 = 161+ 2i(1+ 2i)(1+ 2i)12 + (2i)2 + 4i-3 + 4i34(3) (1+ 2i) (1- 2i) = -+i1- 2i(1- 2i)(1+ 2i)12 - (2i)2555(4)(1 - 4i)(1 + i) + 2 + 4i 3 + 4i= 1+ 4 - 3i + 2 + 4i 3 + 4i= 7

7、 + i =3 + 4i(7 + i)(3 - 4i) 32 + 42= 21+ 4 + 3i - 28i = 25 - 25i = 1- i.2525总结升华：熟练运用常见结论：1） in 的“周期性”（ n n+ ）2） (1 i)2 = 2i3） (a + bi)(a - bi) = a2 + b2举一反三：【变式 1】计算：（1）(56i)+(2i)(3+4i)（2） (1+ 2i)(3 - 4i)(2 - i)（3） i i2 i3 l i100(1+ i)3 - (1- i)3（4） (1+ i)2 - (1- i)2 ；【答案】（1）(56i)+(2i)(3+4i)=(52)+(

8、61)i(3+4i)=(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.（2） (1+ 2i)(3 - 4i)(2 - i) = (11+ 2i)(2 - i) = 24 - 7i（3） i i2 i3 l i100 = i1+2+l+100 = i5050 = (i4 )1262 i2 = i2 = -1（4）(1+ i)3 - (1- i)3(1+ i)2 - (1- i)2= (1+ i)2 (1+ i) - (1- i)2 (1- i) = 2i(1+ i) + 2i(1- i) 2i - (-2i)4i= 2i 2 = 1 4i【变式 2】复数2i (1+ i )2 = ()a.

9、 -4b. 4c. -4id. 4i【答案】a； 2i (1+ i )2 = 2i (1+ 2i -1) = 2i 2i = 4i2 = -41 +3i3 - i【变式 3】复数等于()3a. ib. -ic.+ i31 +3i3 - i1 +3i-i(1 +3i)1d. - i【答案】a；= i ，故选 a-i)【变式 4】复数(i - 1 3 等于()ia.8b.8c.8id.8i1 3-1 333【答案】d； (i - ) = (i +) = (2i) = 8i = -8i .ii类型三：复数相等的充要条件例 3、已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x1)+(3y)i=yi，求 x

10、、y.思路点拨：因 xr，y 是纯虚数，所以可设 y=bi（br 且 b0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：y 是纯虚数，可设 y=bi（br，且 b0），则(2x1)+(3y)i(2x1)+(3bi )i（2x1+b）+3i， yi =bii=（b1）i由(2x1)+(3y)i=yi 得（2x1+b）+3i=（b1）i，2x -1+ b = 0由复数相等的充要条件得b = 43 ， x = - 32， y = 4i .b -1 = 3x = - 2总结升华：1. 复数定义：“形如 z = a + bi （ a, b r ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成

11、这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2. 复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数 a+bi 与c+di（a，b，c，dr）相等的充要条件是 a=c 且 b=d，可得到两个实数等式.3. 注意左式中的 3y 并非是(2x1)+(3y)i 的虚部，同样，在右边的 yi 中 y 也并非是实部.举一反三：【变式 1】设 x、y 为实数，且x +y=5 ，则x + y = 1 - i1 - 2i1 - 3i【答案】由x +y=5得 x (1+ i) + y (1+ 2i) = 5 (1+ 3i)1- i1

12、- 2i1- 3i2510即 5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)， 即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，5x + 2 y - 5 = 0故5x + 4 y -15 = 0 x + y = 4, 解得x = -1 y = 5【变式 2】若 zc 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则 z=.【答案】设 z=a+bi(a,br)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1 且 a=-3，即 z=-3-i.1+ 2i【变式 3】设复数 z 满足z= i ，则 z = （）a -2 + ib -2 - ic 2 - i 1+ 2ii(1+ 2i

13、)i - 2d 2 + i【答案】 z = 2 - i ，故选 c.i-1-1类型四：共轭复数例 4：求证：复数 z 为实数的充要条件是 z = z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设 z = a + bi （a，br），则 z = a - bi充分性：q z = z a + bi = a - bi b = -b b = 0 z r;必要性：q z r, b = 0 a + bi = a - bi z = z综上，复数 z 为实数的充要条件为 z = z举一反三：【变式 1】 x, y r ，复数(3x + 2 y) + 5xi 与复数( y - 2)i +18 的共

14、轭复数相等，求 x，y.【答案】( y - 2)i +18 = 18 + (2 - y)i18 - ( y - 2)i = (3x + 2 y) + 5xi 3x + 2 y = 18 x = -22 - y = 5x y = 12【变式 2】若复数 z 同时满足 z - z = 2i ， z = iz （i 为虚数单位），则 z= .【答案】1+i【变式 3】已知复数 z=1+i，求实数 a、b 使 az + 2bz = (a + 2z)2 .【答案】z=1+i， az + 2bz = (a + 2b) + (a - 2b)i ，(a + 2z)2 = (a + 2)2 - 4 + 4(a

15、+ 2)i= (a2 + 4a) + 4(a + 2)ia、b 都是实数，由 az + 2bz = (a + 2z)2 得a + 2b = a2 + 4a,a - 2b = 4(a + 2).两式相加，整理得 a2+6a+8=0解得 a1=2，a2=4， 对应得 b1=1，b2=2.所求实数为 a=2，b=1 或 a=4，b=2.类型五：复数的模的概念例 5、已知数 z 满足 z+|z|=2+8i，求复数 z.a2 + b2法一：设 z=a+bi（a，br），则| z |=，a2 + b2代入方程得 a + bi += 2 + 8i .a2 + b2a + b = 8z=15+8i= 2a =

16、 -15，解得b = 8法二：原式可化为：z=2|z|+8i，|z|r，2|z|是 z 的实部.(2- | z |)2 + 82于是| z |=，即|z|2=684|z|+|z|2，|z|=17，代入 z=2-|z|+8i得 z=15+8i.举一反三：【变式】已知 z=1+i，a，b 为实数.（1）若w= z2 + 3z - 4 ，求|w| ；（2）若z2 + az + b z2 - z +1= 1- i ，求 a，b 的值.【答案】（1）w= (1+ i)2 + 3(1- i) - 4 = 2i + 3 - i - 4 = i -12|w|=（2）z2 + az + b= (1+ i)2 +

17、 (1+ i)a + b= (2 + a)i + b + a = (a + 2) - (b + a)iz2 - z +1(1+ i)2 - (1+ i) +1i (a + 2) - (a + b)i = 1- ia + 2 = 1a = -1b a + b = 1 = 2类型六：复数的几何意义例 6、已知复数 z = (m2 - 2m - 3) + (m2 - 4m + 3) i （mr）在复平面上对应的点为 z，求实数 m 取什么值时，点 z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点 z 的位置确定复数 z 实部与虚部取值情况.解析：（1） 点 z 在实轴上，即复数

18、z 为实数， 由 m2 - 4m + 3 = 0 m = 3或m = 1当 m = 3或m = 1时，点 z 在实轴上.（2） 点 z 在虚轴上，即复数 z 为纯虚数或 0， 故 m2 - 2m - 3 = 0 m = -1或m = 3当 m = -1或m = 3 时，点 z 在虚轴上.3）点 z 在第一象限，即复数 z 的实部虚部均大于 0m2 - 2m - 3 0由m2 - 4m + 3 0，解得 m1 或 m3当 m1 或 m3 时，点 z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式 1】在复平面内，复数 z = sin

19、 2 + i cos 2 对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】p 2 0 ， cos 2 0 - (m - 1) 1. m 的取值范围为 m (1, +) .【变式 3】已知 z 是复数， z + 2i 和限，求实数 a 的取值范围.zz - i均为实数，且复数(z + ai)2 对应的点在第一象【答案】设 z = x + yi ( x, y r )， z + 2i = z = x + (2 + y)i ，由题意得 y = -2 ，z= x - 2i = 1 (x - 2i)(2 - i) = 1 (2x + 2) + 1 (x - 4)i ，2 - i2 - i5

20、55由题意得 x = 4 ， z = 4 - 2i (z + ai)2 = (12 + 4a - a2 ) + 8(a - 2)i ，12 + 4a - a2 0根据已知条件有8(a - 2) 0实数 a 的取值范围是 a (2, 6) .，解得2 a 6 ，1【变式 4】已知复数 z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数w= z +在复平面上z对应的点的轨迹方程.1111【答案】设 z=a+ai（a0）则w= z += (a + ai) += a + (a -)i2za + ai2a2ax = a + 12a令 y = a - 12a，消 a 得 x2y2=2（ x ）.“”“”at the end, xiao bian gives you a