复数题型归纳(史上最全)(最新整理)_1

1、北师大版数学选修 2-2 第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷一、选择题：1、复数 z = 1+ i （ i 是虚数单位），则复数(z +1)(z -1) 虚部是()【答案】d a、-1+2 ib、-1c、2 id、21、a = 0 是复数a + bi(a, b r) 为纯虚数的（）【答案】ba、充分条件b、必要条件c、充要条件d、非充分非必要条件 1、已知复数 z1 = 3 + 4i ， z2 = t + i ，且 z1 az2 是实数，则实数t 等于(a)期中考试题3443a.b.cd433434解析 z1z2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因为 z1z2是实数，所以 4t30

2、，所以 t .因此选 a.1、若复数(m2 - 3m - 4) + (m2 - 5m - 6)i 是虚数，则实数m 满足（）【答案】d第 4 页 共 11 页（ a） m -1m 6（b） ） m 6(c)m -1或 m 6(d)m -1且1、若 z1 , z2 c ，则 z1 z2 + z1 z2 是（）【答案】b a纯虚数b实数c虚数d无法确定1、若(x2 -1) + (x2 + 3x + 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是（ ）【答案】aa1b-1c 1d 以上都不对1. 已知复数 z = m + 2i, z = 3 - 4i, 若 z1 为实数，则实数m 的值为() 【答案】d12a

3、、2b -2z2c、 3d - 3222 i 表示虚数单位，则i1 + i 2 + i 3 + l + i 2008 的值是（）答案aa0b1c i22、已知 z = - 1+ i , 则1+ z50 + z100 的值为（a）a、 ib、1c、 2 + i(2 + 2i)4d - id、3(1- 3i)52 、 复数等于（）答案:ba1+ 3ib -1+ 3ic1- 3id -1- 3i2、复数( 1- i )10 的值是（）【答案】a1+ ia1b1c32d322、已知 x + 1 = 1，则 x1996 +x1x1996的值为（ ）【答案】aa -1b1c -id i2、 f (n) =

4、 in + i-n , (n n + ) 的值域中，元素的个数是（b）a、2b、3c、4d、无数个3、在复平面内，若复数满足| z +1|=| z - i | ，则所对应的点的集合构成的图形直线 y = -x3、| z + 3 + 4i | 2 ，则| z | 的最大值为（b）a3b7c9d53. 若 z c 且| z |= 1，则| z - 2 - 2i | 的最小值是（c）2a 2b 2+ 1c 2- 1d2223如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()a1b.2c2d.5解析|zi|zi|2，则点 z 在以(0,1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点 z

5、 到(1，1)的距离由图知最小值为 1.答案a3若 z= 2 且 z + i = z - 1 ，则复数 z =z = 2 (1 - i) 或 z = -2 (1 - i)3如果 z c ，且 z = 1，则 z -1 - 2i 的最大值为【答案】5+13若 z c 且| z + 2 - 2i |= 1,则| z - 2 - 2i | 的最小值是（b）答案:a2b3c4d53. 已知复数 z = x + yi( x, y r ， x 1 )，满足 z -1 = x ，那么 z 在复平面上对2应的点(x, y) 的轨迹是()a圆b椭圆c双曲线d抛物线1解析 zxyi(x，yr，x2)，满足|z1|

6、x，(x1)2y2x2，故 y22x1. 答案 d3、已知方程| z - 2 | - | z + 2 |= a 表示等轴双曲线，则实数a 的值为（a）2a、2b、2c、d、2224. 已知复数 z = -1+ i ，则z 在复平面内对应的点在第几象限()【答案】c a一b二c三d四4. 在复平面内，复数 2 - i 对应的点位于()【答案】d1 + ia.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限a第一象限1+ ib第二象限c第三象限d第四象限已知 i 为虚数单位，则 i 所对应的点位于复平面内点() 【答a 第一象限1 + ib 第二象限c 第三象限d 第四象限4在复平面内，复数 i+ (

7、1+3i)2 对应的点位于()【答案】b4案】a5、(m + i)3 r ，则实数m 的值为（b）a 、2b、333c 、 d、 3 235、若 x c ，则方程| x |= 1+ 3i - x 的解是（c）a 、 1 +3 ib 、 x = 4, x = -1c、-4 + 3id 、 1 -3 i2212225、复数 z = 1+ cosa+ i sina,(pa 2p) 的模是（b）a2 cosab2-2 cosa2c2 sin ad2-2 tan a26 2 + i1 - 2i+ 2 - i1 + 2i的值是()【答案】caib2ic0d 4 56复数 z = 1- 3i 的虚部是()【

8、答案】b1+ ia 2b - 2(1 + 2i)2 - (2 - i)2c 2id - 2i61 - i1 + i等于()【答案】ba 3 - 4ib - 3 + 4ic 3 + 4id - 3 - 4i6若复数1+ ai （i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数 a 等于()【答案】d2 + ia-1b - 1 3c 13d36. 已知复数 z1= 3 - bi, z2= 1 - 2i, 若 z1 是实数，则实数b 的值为()【答案】az2a6b-6c0d 1 67. 对于两个复数a = - 1 +3 i ， b = - 1 -3 i ，有下列四个结论： ab = 1；a = 1；b222

9、2ab= 1 ； a3 + b3 = 1 ，其中正确的结论的个数为（）【答案】ba 1b2c 3d47. 下面是关于复数 z =21- i的四个命题:【答案】cp1 : z= 2 ,p : z2 = 2ip3 : z 的共轭复数为-1+ ip4 : z 的虚部为12其中真命题为()a. p2 , p3b. p1 , p2c. p2 , p4d. p3 , p422228. 若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0 ，则 z 3 的值为（）【答案】ca. 2b. - 2c. 2id. - 2i12定义运算|a b|adbc，则对复数 zxyi(x，yr)符合条件|z 1 |32ic d的复数

10、 z 等于z 2i|解 析由 定 义 运 算 ， 得 z 1 2zi z 3 2i， 则 z 32i (32i(12i(z 2i1812i i.(12i(12i(5518答案 i55二、填空题：1. 若复数 z = 2t 2 - 3t - 2 + (t 2 - 4)i(t r) 为纯虚数，则 t 的值为 【答案】- 122. 已知i 为虚数单位，复数 z = 2 + i ，则 | z | .【答案】1 - i第 6 页 共 11 页1023. 若 i 为虚数单位，则复数 3 - i 1+ i【答案】1- 2i4. 已知2 - im1 + i= 1 - ni ，其中m, n 是实数， i 是虚数

11、单位，则m - ni =【答案】5. 若(a - 2i)i = b - i ，其中a, b r ， i 是虚数单位，复数a + bi = 【答案】-1+ 2ia + 3i6. 若复数 1 + 2i （ a r ， i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 【答案】- 67、设w= - 1 +3 i ，则集合 a= x | x = wk +w-k (k z ) 中元素的个数是2 。228、已知复数 z = 2 - i, z = 1- 3i ，则复数i + z2 =i z51211310 1- i 613 - 229、计算： - 2 +2 i - =答案： -+i22三、解答题：【复数的分类问题

12、】1、实数m 取什么值时，复数 z = m(m -1) + (m -1)i 是(）实数(）纯虚数(）虚数【答案】(1）m=1(2）m=02、已知复数 z = (2m2 + 3m - 2) + (m2 + m - 2)i ， (m r) 根据下列条件，求m 值.()z 是实数； ()z 是虚数；(） z 是纯虚数；()z = 0 .【答案】 (1)当 m2+m2=0，即 m=2 或 m=1 时，z 为实数； (2)当 m2+m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数；2m2 + 3m - 2 = 0m = 1 或m = -2(3)当 m2 + m - 2 0，解得2，即m =m -2且m 11时

13、，z 为纯虚数；22m2 + 3m - 2 = 0m = 1 或m = -2(4)当 m2 + m - 2 = 0，解得2，即 m=2 时，z=0.m2 - m - 6m = -2或m = 123、m 取何值时，复数 z =+ (m m + 3- 2m -15)i()是实数；()是纯虚数.【答案】(1)(2)m2 - 2m - 15 0m + 3 0m2 - m - 6 = 0 m = 3或m = -2当m = 3或m = -2时，z是纯虚数.4、设复数 z = lg(m2 - 2m - 2)+ (m2 + 3m + 2)i ，当m 取何实数时？() z 是纯虚数；() z 对应的点位于复平面

14、的第二象限。lg(m2 - 2m - 2) = 0【答案】（1） z 是纯虚数当且仅当m2，+ 3m + 2 0解得， m = 3lg(m2 - 2m - 2) 0- 1 m 1 -33, 或1 + m 3m -1所以当- 1 m 1 -3或1 +3 m 3 时，z 对应的点位于复平面的第二象限。第 7 页 共 11 页【求复数类型】1、设复数 z 满足z =，且(1 + 2i) z ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直10线 y = x 上，求 z .10【答案】设 z = x + yi （ x、y r ）| z |=， x2 + y2 = 10而(1 + 2i)z = (1 + 2i

15、)(x + yi) = (x - 2 y) + (2x + y)i又 (1 + 2i ) z 在复平面上对应的点在直线 y = x 上， x - 2 y = 2x + y x2 + y2 = 10x = 3x = -3即x = -3y， y = -1或 y = 1即 z = (3 - i)2、求虚数 z ，使 z + 9 r ，且 z - 3 = 3 .z解：设 z = a + bi(a, b z且b 0) ，则 ： z + 9 = a + bi +z9a + bi= (a +9aa 2 + b 2) + (b -9ba 2 + b 2)i ， 由 z + 9 r 得zb -9ba 2 + b

16、 2= 0 ，又b 0 ，故 a 2 + b 2 = 9 ；a = 3又由 z - 3 = 3 得：(a - 3) 2 + b 2= 3 ，由得2， 即 z = 3 +3323 3 i2或 z = 3 - 323 i 。2b = 23、把复数 z 的共轭复数记作 z ，已知(1 + 2i)z = 4 + 3i ，求 z 及 z 。z解：设 z = a + bi(a, b r) ，则 z = a - bi ，由已知得(1 + 2i)(a - bi) = 4 + 3i ，化简得： (a + 2b) + (2a - b)i = 4 + 3i ，所以 a + 2b = 4,2a - b = 3 ，解得

17、 a = 2, b = 1 ，所以 z = 2 + i ，z = 2 + i = 3 + 4 i 。 z2 - i554、设a, b 为共轭复数，且(a + b)2 - 3abi = 4 -12i，求a, b 的值。【教师用书】解：设a = x + yi, b = x - yi, (x, y r) 。带入原方程得4x2 = 4,4x2 - 3(x2 + y2 )i = 4 -12i ，由复数相等的条件得3(x2 + y2 ) = 12.第 11 页 共 11 页解得x = 12 y = x = -133或 y = .对应四组解略。5、已知 z,w为复数， (1+ 3i) z 为纯虚数，w=求复

18、数w。（教师用书章末小结题）z2 + i，且|w|= 5。解法 1：设 z = x + yi, (x, y r) ， 则 (1+ 3i) z = (x - 3y) + (3x + y)i 为纯虚数， 所以x = 3y 0 ，因为|w|=|z2 + i|= 5，所以| z |= 5 15 + 5i10；又 x = 3y 。2x2 + y2解得 x = 15, y = 5; x = -15, y = -5计算）所以w= = (7 - i) 。（还可以直接2 + i解法2：设wx+yi(x，yr)，w =z z = w(2 + i ) = (x + yi) (2 + i )2 + i2依题意得(1+

19、3i)(2+i)w(1+7i)w为实数，且|w|5，7x - y = 0 x2 + y2 = 50 ，x = 1x = -1解之得 y = 7 或 y = -7 ，w1+7i 或w17i。解法3：（提示：设复数z，直接按照已知计算，先纯虚数得a = 3b ，再模长得w=6、已知复数满足| z - 4 |=| z - 4i |, 且 z + 14 - z 为实数，求。z -17b - bi）5解： z = x + yi, (x, y r) ，因为| z - 4 |=| z - 4i |, 带入得 x = y ，所以 z = x + xi, x r又因为 z +14 - z z -114 - z为

20、实数，所以 z += z +z -114 - z，z -1化简得，所以有 z - z = 0 或| z -1|2 = 13由 z - z = 0 得 x = 0 ；由| z -1|2 = 13 得 x = -2,或x = 3 。所以 z = 0; z = -2 - 2i; z = 3 + 3i.（也可以直接用代数形式带入运算）7、求同时满足下列两个条件的所有复数；（1） z + 10 r ，且1 z + 10 6 ；（2）的实部与虚部都是整数。zz解：设 z = x + yi, (x, y r)1010则 z += x + yi += x + yi +10(x - yi)= x(1+10) +

21、 y(1-10)izx + yix2 + y2x2 + y2x2 + y210因为 z + r ，所以 y(1-z10x2 + y2) = 0 。所以 y = 0或x2 + y2 = 10 。当 y = 0 时， z = x ，又1 6 ，所z以在实数范围内无解。2210zz z1当 x + y = 10 时，则 z += z += z + z = 2x 。由1 2x 6 x 3zz2因为 x, y 为正整数，所以 x 的值为 1，或 2，或 3。当 x = 1时, y = 3; 当 x = 2时, y = 6(舍) ；当 x = 3时, y = 1。则 z = 1 3i或, z = 3 i

22、。【根的问题】1、关于 x 的方程是 x 2 - (tanq+ i)x - (2 + i) = 0 ；若方程有实数根，求锐角q和实数根；解：设实数根是 a ，则 a 2 - (tanq+ i)x - (2 + i) = 0 ，a 2 - a tanq- 2 = 0,即 a 2 - a tanq- 2 - (a +1)i = 0 ， a 、 tanq r ， a + 1 = 0; a = -1, 且tanq= 1 ，又0 qp，q=2p, a = -1；42、若关于 x 的方程 x2 + (1+ 2i)x + 3m + i = 0 有实根，则实数m 等于()a. 1b. 1 ic - 1d -

23、1 i1212【答案】a【向量计算】12121、在复平面上，设点 a、b、c ，对应的复数分别为i,1, 4 + 2i 。过 a、b、c 做平行四边形 abcd ，求此平行四边形的对角线 bd 的长。解：由题知平行四边形三顶点坐标为 a(0,1), b(1, 0), c(4, 2) ，设 d 点的坐标为 d(x, y)uuruuurx - 4 = -1,x = 3。因为 ba = cd ，得(-1,1) = (x - 4, y - 2) ，得 y - 2 = 1. 得 y = 3 ，即 d(3, 3)=uuur所以 bd(2, 3)， 则| bd |=。132、(本小题满分 12 分) 在复平

24、面上，正方形 abcd 的两个顶点 a，b 对应的复数分别为1+ 2i ， 3 - 5i 。求另外两个顶点 c，d 对应的复数。uuur解：设 d（x,y）ad = x + yi - (1+ 2i) = x -1+ ( y - 2)i = (x -1, y - 2)- -=uuuruuuradab(x 1) 27( y2)0(x -1)2 + ( y - 2)2uuur5353ad = ab =x = -6 或 x = 8 z = -6或z= 8 + 4i y = 0 y = 4ddbcad由 zuuur = zuuur zc - zb = zd - za zc = zd - za + zbz

25、d = -6或 zd = 8 + 4iz = -4 - 7iz = 10 - 3i c c3、 在 复 平 面 内 ，o 是 原 点 ，uuuroa ，uuuroc ，uuurab 表 示 的 复 数 分 别 为-2 + i，3 + 2i，1 + 5i ，那么uuur bc 表示的复数为 4-4i4. 如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+ 2i ， -2 + i ,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()a3ib3ic13id13i解析ocoaob12i2i13i，所以 c 对应的复数为13i.答案d【杂乱】21、计算(1 + 2i) i100 + (1 - i )5 2 - (1 + i )201 + i解：(1 + 2i) i100 + (1 - i )5 2 -1 + i1 + i220()2、已知复数 z= (1+ 2i) 1+ (-i)5 2 - i10= (1+ i )2 - i10 = 1+ 2i= m + (4 - m2 )i ， (m r) ， z= 2 cosq+ (l+ 3sinq)i ，