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文档简介

1、第6章复习,例1,解,由题设条件得,解得,例2,解,过已知直线的平面束方程为,由题设知,由此解得,代回平面束方程为,例3,解,将两已知直线方程化为参数方程为,即有,第7章 多元函数微分学,第一节 多元函数的概念 及其极限和连续,拉格朗日,17361813,只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士,拉格朗日Lagrange, Joseph Louis 法国数学家、力学家及天文学家,1）邻域,一、多元函数的概念,2）区域,例如,即为开集,连通的开集称为区域或

2、开区域,例如,例如,有界闭区域,无界开区域,例如,3）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,4） 二元函数 的图形,如下页图,二元函数的图形通常是一张曲面,或 f (x, y)A, (0),二. 二元函数的极限,二元函数极限定义，可相应的推广到n元函数上去,定义4.1.2 设函数z=f (x, y)在 U ( )上有定义，对于任意的PU( ), 如果点P (x, y)与定点 之间的距离 趋于零时，f (x, y)趋向于一个常数A，则我们称A是P趋于P0时函数f (x, y)的极限，记作,说明,1）定义中 的方式是任意的,2）二元函数的极限也叫二重

3、极限,3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,确定极限不存在的方法,例 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化,故极限不存在,二元函数的连续性,则称函数f( x,y)在点 处连续,如果f (x,y)在D内每一点都连续，则称f (x,y)在D内连续，或称f(x,y)是D内的连续函数，其几何图形是空间中一张连续曲面,若f (x,y)在点 不连续，则称 是f (x,y)的间断点,定义 设函数f (x,y)在区域D内有定义， D,如果,和一元函数类似，二元连续函数有如下性质,介值定理：定义在有界闭区域上的二元连续函数，如果其最大值与最小值不等，则该函数在区域D上至少有一次取得介于最大值与最小值之

4、间的任何数值,最值定理：定义在有界闭区域D上的二元连续函数，在定义域D上必能取得最大值和最小值,连续函数的复合函数仍为连续函数,若f (x,y),g (x,y)是区域D内的连续函数，则 f (x,y)g (x,y),f (x,y)g (x,y)，f (x,y)g (x,y)，(g (x,y)0)，均为D内的连续函数,解,取,故函数在(0,0)处连续,当 时,例 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的

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