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1、显函数,2. 隐函数,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数,例如, 方程,C 0 时, 能确定隐函数,C 0 时, 不能确定隐函数,2) 方程能确定隐函数时,研究其求导方法问题,本节讨论,一、一个方程的情形,一元隐函数存在定理1,能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有,隐函数的求导公式,定理证明略,推导求导公式,两边对 x 求导,则,解,令,则,连续,一阶导数,例2 设方程,确定一个隐函数,解 令,由隐函数求导公式，得,则,求,两边对x求导,另解,解出,隐函数存在定理2,

2、一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有,连续偏导数的函数,它满足条件,并有,且,两边对x求偏导,同样可得,则,推导求偏导公式,隐函数的求导公式,解,令,则,思路,解,令,则,整理得,整理得,整理得,则,于是,二、方程组的情形,雅可比(1804 1851,德国数学家,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础,他对行列,式理论也作了奠基性的工作,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式,并应用在微积,分中,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微,分方程,他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献,二、

3、方程组的情形,下面推导公式,即,等式两边对x求导,现,这是关于,的,二元线性方程组,方程组有唯一解,类似，对,等式两边对y求导,得关于,的线性方程组,解方程组得,特别地，方程组,解1,直接代入公式,解2,运用公式推导的方法,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算,则,这样一次就可求得全部的一阶偏导数,全微分法,利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接 求全微分,分以下几种情况,隐函数的求导法则,小结,思考题,思考题解答,作 业,p.89 习题7-5,2; 3; 6; 8; 9; 11,备用题,分别由下列两式确定,又函数,有连续的一阶偏导数,1. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,2001考研,解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在

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